S3.代数扩域上一节的结果告诉我们，把域F上一个超越元或一个代数元添加于F所得到的单扩域的结构完全不同我们有以下事实：设E是F的一个扩域，并且E含有F上的超越元．那么总存在E 的一个子域 T，FCTCE使得T是由添加F上的超越元于而得到的，而E只含T上的代数元。这一事实的证明已超出本书的范围．这个事实告诉我们，一个扩域可以分成两部分：一个超越的、一个代数的部分．我们以下将不再讨论超越的扩域，而只对代数的扩域作一些进一步的研究
§3.代数扩域 上一节的结果告诉我们，把域 上一个超越元或一个代数 元添加于 所得到的单扩域的结构完全不同． 我们有以下事实：设 是 的一个扩域，并且 含有 上的超越元．那么总存在 的一个子域 ， 使得 是由添加 上的超越元于而得到的，而 只含 上的代数元． F F E F E F E T F T E T F E T 这一事实的证明已超出本书的范围．这个事实告诉 我们，一个扩域可以分成两部分：一个超越的、一 个代数的部分．我们以下将不再讨论超越的扩域， 而只对代数的扩域作一些进一步的研究．
定义若域 F的一个扩域 E 的每一个元都是 F上的一个代数元，那么E叫做F的一个代数扩域（扩张）：我们首先提出以下问题：假定E=F(S）是添加集合 S与 F 域所得的扩域，并且 S的元都是 F上的代数元，那么E的元是否都是F上的代数元？为了解答这个问题，我们需要扩域的次数这一个概念。假定E是域 F的一个扩域．那么对于 E的加法 F×E和到 E的乘法来说，E 作成 F上的一个向量空间E，或者有一个维数n，n是正整数；或者是一个无限维空间
， F E F E F 定义 若域 的一个扩域 的每一个元都是 上的一 个代数元，那么 叫做 的一个代数扩域（扩张）． E F S = ( ) S F S F E F 我们首先提出以下问题：假定 是添加集合 与 域所得的扩域，并且 的元都是 上的代数元，那 么 的元是否都是 上的代数元？ 为了解答这个问题，我们需要扩域的次数这一个概念． 假定 是域 的一个扩域．那么对于 的加法 和到 的乘法来说， 作成 上的一个向量空间 ，或 者有一个维数 ， 是正整数； 或者是一个无限维空间． E F E F E E E F E n n
定义若是域 F 的一个扩域E 作为 F上的向量空间有维数n，那么 n 叫做扩域 E在F上的次数，记做(E:F）：这时E叫做域F的一个有限扩域；否则E叫做域F的一个无限扩域.关于扩域的次数我们有重要的定理1令Ｉ是域 F的有限扩域，而 E是 Ｉ的有限扩域那么E也是F的有限扩域，并且(E: F)=(E: I)(I: F)
定义 若是域 的一个扩域 作为 上的向量空间 有维数 ，那么 叫做扩域 在 上的次数，记 做 ．这时 叫做域 的一个有限扩域；否则 叫做域 的一个无限扩域． F E F n n E F ( : ) E F E F E F 关于扩域的次数我们有重要的 I F E I E F ( : ) ( : )( : ) E F E I I F = 定理１ 令 是域 的有限扩域，而 是 的有限 扩域．那么 也是 的有限扩域，并且
证明设(I:F)=r，(E:I)=s，而αi，α2，.….，α,是向量空间I在域F上的一个基，β，β，..，β，是向量空间 E 在域 I 上的一个基.看 E 的元 α,β,(i=l,2,...,r; j=l,2,...,s)我们只须证明，这rs个元是向量空间E在域F上的一个基．设Za,α,β,=0 (a, eF)i,J那么E(Ea,α,)β,=0, Ea,α,e1
证明 设 ， ，而 ， ，. ， 是向量 空间 在域 上的一个基， ， ，.， 是向量空 间 在域 上的一个基．看 的元 （ １，２，.， ； １，２，.， ） ( : ) I F r = ( : ) E I s = 1 2 r I F 1 2 s E I E i j i = r j = s 我们只须证明，这 个元是向量空间 在域 上的 一个基．设 那么 ， rs E F , 0 ij i j i j a = ( ) ij a F ( ) 0 ij i j j i a = ij i i a I
由β于对于I来说线形无关，我们得Za,α,=0(i=l,2，...,s)但 α对于F来说线形无关，因而a,=0 (i=l,2,...,r;j=l,2,...,s)这就是说，以上 rs 的个 E的元 α,β,对于 F来说线形无关．现在假定の是E的一个任意元．因为 β，是1上的E的一个基，0=o,β,i (0,el)
由 于对于 来说线形无关，我们得 （ １，２，.， ） j I 0 ij i i a = i = s 但 对于 来说线形无关，因而 （ １，２，.， ； １，２，.，） i F 0 ij a = i = r j = s 这就是说，以上 的个 的元 对于 来说线形 无关．现在假定 是 的一个任意元．因为 是 上的 的一个基， rs E i j F E j I E j j j = ( ) j I
又由于α是F上的I的一个基，, =Ec,α;(c, E F)这样，我们有0=Zcfα,β,i,j这就证明了，α,β，是向量空间E在域F上的一个基．证完.推论 1令F,F,…,F是域，其中后一个是前一个的有限扩域．那么以下等式成立：(F : F) =(F : F-)(F- :F-2)..(F: F)现在我们证明下述几个定理来解答前面提出的问题
又由于 是 上的 的一个基， 这样，我们有 i F I j ij i i =c ( ) ij c F , ij i j i j = c 这就证明了， 是向量空间 在域 上的一个 基．证完． i j E F 推论１ 令 是域，其中后一个是前一个的有限扩 域．那么以下等式成立： 现在我们证明下述几个定理来解答前面提出的问题． 1 , , , F F Ft 1 1 2 1 ( : ) ( : )( : ) ( : ) F F F F F F F F t t t t = − − −
定理2令 E=F(α）是域 F的一个单代数扩域．那么 E是 F 的一个代数扩域证明令α在F上的极小多项式的次数是n：由V，2，定理2，E= F(α）的每一个元都可以唯一地表成ao +aα +...+an-ian-!(a, E F)的形式．这就是说，元1，α，…，α"-i 作成 F上的向量空间 E 的一个基，因此 E 是 F 的一个 n 次有限扩域．令β是E的一个任意元．那么1，β,β2，…，β"这 n+1个元对于 F 来说相形相关：因此，在 F 中存在不都等于零的n+1个元 b，b，..，b，，能使b, +b,β+...+b,βn = 0这就是说，E的任意元都是F上的代数元，而E是F的代数扩域．证完
定理２ 令 是域 的一个单代数扩域．那么 是 的一个代数扩域． 证明 令 在 上的极小多项式的次数是 ．由 Ⅴ，２，定理２， 的每一个元都可以唯一地 表成 E F = ( ) F E F F n E F = ( ) 1 0 1 1 n n a a a − + + + − ( ) i a F 的形式．这就是说，元１， ，.， 作成 上的向量 空间 的一个基，因此 是 的一个 次有限扩 域．令 是 的一个任意元．那么１， ， ，.， 这 个元对于 来说相形相关．因此，在 中存在不 都等于零的 个元 ， ，.， ，能使 n 1 − F E E F n E 2 n n+1 F F n+1 0 b 1 b n b 0 1 0 n n b b b + + + = 这就是说， E 的任意元都是 F 上的代数元，而 E 是 F 的 代数扩域．证完．
由定理2的证明可以得到以下两个重要事实推论2令 F(α)是 F域的一个单代数扩域，而 α 在F上的极小多项式的次数是 n：那么 F(α)是 F 的一个n 次扩域.推论3域F的有限扩域一定是F的代数扩域定理3令E=(α，α，α)，其中每一个α,都是域 F上的代数元．那么，E是F的有限扩域，因而是F的代数扩域
由定理２的证明可以得到以下两个重要事实． 推论２ 令 是 域的一个单代数扩域，而 在 上的极小多项式的次数是 ．那么 是 的一个 次 扩域． F( ) F F n F( ) F n 推论３ 域 F 的有限扩域一定是 F 的代数扩域． 定理３ 令 ，其中每一个 都是域 上的代数元．那么 是 的有限扩域，因而是 的代数扩域． 1 2 ( ) E = ， ， ， t i F E F F
证明我们用归纳法。由定理2，当 t=1的时候，定理成立。假定，当我们只添加t-1个元 α，α2，.…，α-于时，F(α，α…，是的有限扩定理成立，也就是说，假定域.F(α，αz，α）的情形．我们知道，现在来看F(α, α2*, α,)=F(α, α2", α,-)(α,)由于α是F上的代数元，所以它也是F(α，α2，α-）上的代数元．因此F(α，α）是F(α，α-）的单代数扩域，而由推论2，F(α，α）是F(α，α）的有限扩域
t =1 t −1 1 2 t−1 F 1 2 1 ( ) F ， ， ， t− 证明 我们用归纳法． 由定理２，当 的时候，定理成立． 假定，当我们只添加 个元 ， ，.， 于时， 定理成立，也就是说，假定 是的有限扩 域． 现在来看 F( ) 1 2 ， ， ， t 的情形．我们知道， 1 2 1 2 1 ( ) ( )( ) F F ， ， ， t t t = ， ， ， − 由于 是 上的代数元，所以它也是 上 的代数元．因此 是 的单代数 扩域，而由推论２， 是 的 有限扩域． t F 1 2 1 ( ) F ， ， ， t− 1 ( ) F ， ， t 1 1 ( ) F ， ， t− 1 ( ) F ， ， t 1 1 ( ) F ， ， t−
由于FcF(α), α2,"", α-1)cF(α, α2,""", α,)根据定理1，F(α，α，α）是 F的有限扩域，于是由推论3，它是F的代数扩域．证完.推论4一个域F上的两个代数元的和、差、积与商（分母不为零）仍是F上的代数元。定理4令 E=F(S)，这里集合 S 只包含域 F 上的代数元：那么E是F的代数扩域。证明令β是E的任意元．根据V，1，（1）式，β= fi(aa,., α.)f(αpα,αn)
由于 根据定理１， 是 的有限扩域，于是由 推论３，它是 的代数扩域．证完． 1 2 1 1 2 ( ) ( ) F F F ， ， ， t t − ， ， ， 1 2 ( ) F ， ， ， t F F 推论４ 一个域 上的两个代数元的和、差、积与商 （分母不为零）仍是 上的代数元． 定理４ 令 ，这里集合 只包含域 上 的代数元．那么 是 的代数扩域． F F E F S = ( ) S F E F 证明 令 是 的任意元．根据Ⅴ，１，（１） 式， E 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) n n f f = ， ， ， ， ，