84.多项式的分解域我们都知道所谓代数基本定理是什么。这个定理告诉我们，复数域C上一元多项式环C[xl的每一个n次多项式在C里有n个根，换一句话说，C[x]的每一个多项式在Cx里都能分解为一次因子的乘积。若是一个域E上的一元多项式环E[xl的每一个多项式在Exl里都能分解为一次因子的乘积，那么E显然不再有真正的代数扩域。这样的一个域叫做代数闭域
§4.多项式的分解域 我们都知道 所谓代数基本定理是什么。这个定理告 诉我们，复数域C上一元多项式环 的每一个n次多 项式在C里有n个根，换一句话说， 的每一个多项式 在 里都能分解为一次因子的乘积。 C x C x C x 若是一个域E上的一元多项式环 的每一个多项式 在 里都能分解为一次因子的乘积，那么E显然不再 有真正的代数扩域。这样的一个域叫做代数闭域。 E x E x
我们有以下事实：对于每一个域F都存在F的代数扩域E，而E是代数闭域这一事实的证明也超出本书范围。但分裂的理论可以在一定意义下离补这一个缺陷。定义Fxl的n次多项式(x）域F的一个扩域E叫做在F上的一个分裂域（或根域），假如（有时简称在E里）f（x）可以分解为（i）在E里次因子的积：(α, EE)f(x)=a, (x-α)(x-α)...(x-αn)（ii）在一个小于E的中间域 I(FcIcE)里，f(x)不能这样地分解
我们有以下事实：对于每一个域F都存在F的代数 扩域E，而E是代数闭域。 这一事实的证明也超出本书范围。但分裂的理论 可以在一定意义下离补这一个缺陷。 定义 域F的一个扩域E叫做 的n次多项式 在F上的一个分裂域（或根域），假如 （ⅰ）在 里（有时简称在E里） 可以分解为 一次因子的积： （ⅱ）在一个小于E的中间域 里， 不 能这样地分解。 F x f x( ) E x f x( ) f x a x x x E ( ) = − − − n n i ( 1 2 )( ) ( ) ( ) I F I E ( ) f x( )
按这个定义，E是一个使得f(x)能够分解为一次因子的F的最小扩域。我们先看一看，一个多项式的分裂域应该有什么性质。定理1令E是域F上多项式f(x)的一个分裂域：(1)f(x)=a,(x-α)(x-α2)..(x-α,) (α, EE)那么E=F(α,α2,,αn)证明 我们有FcF(α,α2,"..,αn)cE并且在F(αj,α2,,αn）中，f(x)已经能够分解成（1）的形式。因此根据多项式的分裂域的定义，E = F(α1,α2, "",αn)
按这个定义，E是一个使得 能够分解为一次因子 的F的最小扩域。我们先看一看，一个多项式的分裂 域应该有什么性质。 f x( ) 定理 1 令E是域F上多项式 的一个分裂域： （1） 那么 f x( ) f x a x x x E ( ) = − − − n n i ( 1 2 )( ) ( ) ( ) E F = ( 1 2 , , , n ) 证明 我们有 并且在 中， 已经能够分解成（1）的 形式。因此根据多项式的分裂域的定义， F F E ( 1 2 , , , n ) F ( 1 2 , , , n ) f x( ) E F = ( 1 2 , , , n )
根据这个定理，如果有F上的多项式f(x)的分裂域日存在，那么E刚好是把f(x）的根添加于F所得的扩域。因此我们也把多项式的分裂叫做它的跟域。现在我们证明多项式的分裂域的存在
根据这个定理，如果有F上的多项式 的分裂域E 存在，那么E刚好是把 的根添加于F所得的扩域。 因此我们也把多项式的分裂叫做它的跟域。现在我们 证明多项式的分裂域的存在。 f x( ) f x( )
定理2给了域F上一元多项式环F[xl的一个n次多项式 f(x)，一定存在f(x)在F的分裂域E。证明假定在F[x]里,f (x)= fi(x)gi (x)这里f(x)最高系数为1的不可约多项式。那么存在一个域E, = F(α)而 α,在F上的极小多项式是f(x)在 E,里 fi(α)=0，所以 x-αlf(x)因此在 E,里f (x)=(x-α)f2(x)g2(x)
定理 2 给了域F上一元多项式环 的一个n次多 项式 ，一定存在 在F的分裂域E。 F x f x( ) f x( ) 证明 假定在 里， 这里 最高系数为1的不可约多项式。那么存在一 个域 而 在F上的极小多项式是 在 里 ，所以 因此在 里 F x f x f x g x ( ) = 1 1 ( ) ( ) f x 1 ( ) E F 1 1 = ( ) 1 f x 1 ( ) E1 f 1 ( ) = 0 x f x −1 | ( ) E1 f x x f x g x ( ) = − ( 1 2 2 ) ( ) ( )
这里,f(x)是E[xl里最高系数为1的不可约多项式。这样存在一个域E, = E, (α)= F(α)(α2)= F(α1,α2)而α,在 E,上的极小多项式是 (x)在E,[x]是f(x)=(x-α)(x-α2)f (x)g (x)f(x)是E,[xl的最高系数为1的不可约多项式。这样我们又可以利用f(x)来得到域 E,=F(α,α2,α)使得在E,[x里f(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3) f4(x)g4 (x)这样一步一步地我们可以得到域E= F(αj,α2,"",α,)使得在E[x]里证完f(x)=a, (x-α)(x-α2)...(x-αn)
这里 是 里最高系数为1的不可约多项式。这 样存在一个域 而 在 上的极小多项式是 在 是 是 的最高系数为1的不可约多项式。这样我 们又可以利用 来得到域 ，使得在 里 这样一步一步地我们可以得到域 使得在 里 证完 f x 2 ( ) E x 1 E E F F 2 1 2 1 2 1 2 = = = ( ) ( )( ) ( , ) 2 E1 f x 2 ( ) E x 2 f x x x f x g x ( ) = − − ( 1 2 3 3 )( ) ( ) ( ) f x 3 ( ) E x 2 f x 3 ( ) E F 3 1 2 3 = ( , , ) E x 3 f x x x x f x g x ( ) = − − − ( 1 2 3 4 4 )( )( ) ( ) ( ) E F = ( 1 2 3 , , , ) E x f x a x x x ( ) = − − − n n ( 1 2 )( ) ( )
域F上一个多项式f(x）当然可能有不同的在F上的分裂域。但是这些域都同构。要证明这一点，我们需要两个引理。引理1令L和L是两个同构的域。那么多项式环L[x]和L[x]也同构证明令αa是L与L间的同构映射，我们规定一个L[x]到 [x]的映射Ea,x-Eaix@:Φ显然是 L[x]与[x]间的一一映射。我们看 L[x] 的两个元 f(x)和g(x) :
域F上一个多项式 当然可能有不同的在F上的分 裂域。但是这些域都同构。要证明这一点，我们需要 两个引理。 f x( ) 引理 1 令 和 是两个同构的域。那么多项式环 和 也同构。 L L L x L x 证明 令 是 与 间的同构映射，我们规定一 个 到 的映射 显然是 与 间的一一映射。我们看 的两 个元 和 ： a a L L L x L x : i i i i a x a x → L x L x L x f x( ) g x( )
f(x)=Eax →Eaix =f(x)g(x)=Ebx →Ebix =g(x)那么E(a, +b)x →E(a, +b)x =E(a, +b)xf(x)+g(x)→f(x)+g(x)2Z ab. e -2( ab. =(Z ab.(i+j=kkCi+j=ki+j=kf(x)g(x)→于(x)g(x)所以Φ是同构映射。证完
( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i f x a x a x f x g x b x b x g x = → = = → = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i k k k i i i i i i k i j k k i j k k i j k a b x a b x a b x f x g x f x g x a b c a b x a b x f x g x f x g x + = + = + = + → + = + + → + → = → 那么 所以 是同构映射。证完
在上述同构映射Φ这下，L[x]的一个不可约多项式的象显然是L[xl的一个不可约的多项式。引理 2 令L与 是同构的域，p(x)是 L[x]的一个最高系数为1的不可约多项式，p(x)是与 p(x)对应的L[xl的不可约多项式。又假定 L(α)与各 L(α)是 L与 L 的单扩域，满足条件 p(α)=0和 p(α)=0 。那么存在 L(α)与L(α)尖的一个同构映射，并且这个同构映射能够保持原来的L与L间的同构映射
在上述同构映射 这下， 的一个不可约多项式的 象显然是 的一个不可约的多项式。 L x L x 引理 2 令 与 是同构的域， 是 的一个最 高系数为1的不可约多项式， 是与 对应的 的不可约多项式。又假定 与各 是 与 的单 扩域，满足条件 和 。那么存在 与 尖的一个同构映射，并且这个同构映射能够保 持原来的 与 间的同构映射。 L L p x( ) L x p x( ) p x( ) L x L( ) L( ) L L p( ) = 0 p( ) = 0 L( ) L( ) L L
证明 假定 p(x)的次数是n，那么p(x)的次数也是n。这样，若αα是L与L间的同构映射，那么Za,α→Za,ad :=(是一个L(α)与 L(α)间的一一映射，看 L(α)的两个元F(α)=a,αl,g(α)=Zbα=0由于Z(a +b)α' →(a +b)=(a+b)ai=0有f(x)+g(x)→ (a)+g(a)
证明 假定 的次数是n，那么 的次数也是n。 这样，若 是 与 间的同构映射，那么 是一个 与 间的一一映射，看 的两个元 由于 有 p x( ) p x( ) a a L L : 1 1 0 0 n n i i i i i i a a − − = = → L( ) L( ) L( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 , n n i i i i i i f a g b − − = = = = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 n n n i i i i i i i i i i i i a b a b a b − − − = = = + → + = + f x g x f g ( ) + → + ( ) ( ) ( )