s10.不变子群、商群10.1定义10.2例子10.3等价条件10.4商群
§10.不变子群、商群 • 10.1 定义 • 10.2 例子 • 10.3 等价条件 • 10.4 商群
10.1定义这一节单要讲到一种重要的子群，就是不变子群给了一个群G，一个子群H，那么H的一个右陪集Ha未必等于H的左陪集aH，这一点我们在上一节的例2里已经看到
10.1 定义 这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群． 给了一个群 ，一个子群 ，那么 的一个右陪 集 未必等于 的左陪集 ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到． G H H Ha H aH
定义一个群G的一个子群N叫做一个不变子群,假如对于G的每一个元α来说,都有aN=Na注1.一个不变子群N的一个左(或右)陪集叫做N的一个陪集注2．aN=Na意味着：an=na吗？反过来呢？注3.aN=Na在元素间意味着什么？注4.不变子群又称为正规子群
一个不变子群 的一个左(或右)陪集叫做 的一个陪集. 意味着: 吗? 反过来呢? 在元素间意味着什么? 不变子群又称为正规子群 N N aN Na = an na = aN Na = 注1. 注2. 注3. 注4. 定义 一个群 的一个子群 叫做一个不变子 群,假如对于 的每一个元 来说,都有 G N G a aN Na =
10.2例子例1一个任意群G的子群G和e总是不变子群，因为对于任意G的元a来说，Ga=aG=Gea=ae=a例2C刚好包含群G的所有有以下性质的元 n，na=an,不管α是G的哪一个元证明：C是G的一个不变子群
10.2 例子 例１ 一个任意群 的子群 和 总是不变子群，因 为对于任意 的元 来说， G G e G a Ga aG G = = ea ae a = = 例２ 刚好包含群 的所有有以下性质的元 ， ， 不管 是 的哪一个元 C G n na an = a G 证明: C 是 G 的一个不变子群．
证明：(1）C是子群.因为eEN，所以N是非空的.又 na=an, na=an =nnza=annzna= an = n-'a= n-'ann-l = n-'nan-l = an-这就是说，N是一个子群(2）aN=Na.G的每一个元α可以同的每一个元n交换，所以Na=aN，即 N是不变子群这个不变子群℃叫做G的中心
证明: (2) . 的每一个元 可以同 的每一个元 交换，所以 ，即 是不变子群． aN Na = G a N n Na aN = N (1) C 是子群.因为 e N ，所以 N 是非空的． 这就是说， N 是一个子群． n a an 1 1 = ， 2 2 1 2 1 2 n a an n n a an n = = 1 1 1 1 1 1 na an n a n ann n nan an − − − − − − = = = = 又 这个不变子群 C 叫做 G 的中心．
例3一个交换群G的每一个子群 H都是不变子群．因为G的每一个元α可以和任意一元x交换，x=ax，所以对于一个子群H来说，Ha= aH例4 G=S,.那么N=((I)，(123)，(132))是一个不变子群注5.从这个例子可以总结出一般性结论吗？
例３ 一个交换群 的每一个子群 都是不变子群．因 为 的每一个元 可以和任意一元 交换， ， 所以对于一个子群 来说， G H G a x xa ax = H Ha aH = 例４ ．那么 ， ， 是一个不变子群． G S = 3 N ={(1) (123) (132)} 注5. 从这个例子可以总结出一般性结论吗?
10.3等价条件现在复习一下群G的子集的乘积：设A，B是群G的两个非空子集，规定AB=(ab|ae A,be B) , A'={a-"|aEA)容易证明：(AB)C=A(BC) , A(BUC)=(AB)U(AC)(AB)-" =B-"A-",(A-")- = A由于结合律成立，S，S,，...，Sm的乘积用符号S,S,...Sm来表示
10.3 等价条件 现在复习一下群 的子集的乘积: 设A，B是群 的两个非空子集,规定 G G AB ab a A b B = { , } 1 1 A a a A { } − − ， = 容易证明: 1 1 1 ( ) , AB B A − − − = 1 1 ( ) A A − − = ( ) ( ) AB C A BC = ， A B C AB AC ( ) ( ) ( ) = 由于结合律成立, ， ，.， 的乘积用符号 来表示． 1 S 2 S m S 1 2 m S S S
定理1一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是：aNa-l = N对于G的任意一个元α都对证明.证完注5.aNa-=N可以换成α'Na=N？
定理１一个群 的一个子群 是一个不变子 群的充分而且必要条件是： G N 1 aNa N − = 对于 G 的任意一个元 a 都对． 证明 .证完 注5. 可以换成 ? 1 aNa N − = 1 a Na N − =
定理 2一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是：aEG, nEN=ana-lEN证明这个条件的必要性是显然的，是定理1的直接结果：我们证明它也是充分的。条件anaeN意味着aNa-'N(*)因为α-l也是G的元，在（＊）中以α-代α，证完
证明 这个条件的必要性是显然的，是定理１ 的直接结果．我们证明它也是充分的． 定理２ 一个群 的一个子群 是一个不变子 群的充分而且必要条件是： G N a G 1 n N ana N − ， 条件 ana N −1 意味着 1 aNa N − （＊） 因为 也是 的元，在（＊）中以 代 , .证完 1 a − G 1 a − a
注6.要测验一个子群是不是不变子群，用定理2的条件一般比较方便。注7.用定理2的条件可以改写成aeG,nEN=a-naEN注8.ana"eN等价于aNa-≤N注9.a-'naeN等价于.....??
要测验一个子群是不是不变子群，用 定理２的条件一般比较方便． 注6. 用定理２的条件可以改写成 a G 1 n N a na N − ， 注7. 1 ana N − 1 aNa N − 注8. 等价于 1 a na N − 注9. 等价于‥‥‥？？