第五章平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表1.平面向量的有关示.概念.1.数学抽象.2.通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几2.平面向量的线性2.直观想象.何意义运算.3.数学运算3.共线向量定理的3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两应用个向量共线的含义.4.了解向量的线性运算性质及其几何意义知识逐点夯实重点准遂点清结论要牢记课前自修【重点准·逐点清]重点一向量的有关概念1：向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（模）.2.零向量：长度为0的向量，记作03.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：零向量与任一向量平行.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量。6.相反向量：长度相等且方向相反的向量[提醒]】（1任意向量a的模都是非负实数，即a|≥0(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量第1页共70页
第 1 页 共 70 页 第五章 平面向量、复数 第一节 平面向量的概念及线性运算 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景， 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表 示． 2.通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几 何意义． 3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两 个向量共线的含义． 4.了解向量的线性运算性质及其几何意义 1.平面向量的有关 概念． 2.平面向量的线性 运算． 3.共线向量定理的 应用 1.数学抽象． 2.直观想象． 3.数学运算 [重点准·逐点清] 重点一 向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(模)． 2．零向量：长度为0的向量，记作 0. 3．单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：零向量与任一向量 平行． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． [提醒] (1)任意向量 a 的模都是非负实数，即|a|≥0； (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a 平行的单位向量
aa有两个，即向量一和-[a][a][逐点清]1.(多选)以下说法正确的是(A，零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量解析：选ABD对于A，根据零向量的性质，可知A是正确的；对于B，由零向量的模是0，单位向量的模是1，所以B是正确的；对于C，平行向量的方向相同或相反，所以C是不正确的；对于D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以D是正确的，故选AB、D.重点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律ath交换律：a+b=b+a;求两个向量和的三角形法则加法结合律：(a+b)+c=a+(b运算b/atb.+c)平行四边形法则求a与b的相反减法a-b=a+(-b)向量一b 的和的三角形法则运算[a]=[[a]，当>0 时，2a(μa)=(2μ)a;与a的方向相同；求实数1与向量数乘(2+μ)a=1a+μa;当<0时，a与a的方向a的积的运算相反；(a+b)=ra+ab当2=0时，2a=0第2页共70页
第 2 页 共 70 页 有两个，即向量 a |a| 和－ a |a| . [逐点清] 1．(多选)以下说法正确的是( ) A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量 解析：选 ABD 对于 A，根据零向量的性质，可知 A 是正确的； 对于 B，由零向量的模是 0，单位向量的模是 1，所以 B 是正确的； 对于 C，平行向量的方向相同或相反，所以 C 是不正确的； 对于 D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以 D 是正确的，故选 A、 B、D. 重点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的 运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c) 减法 求 a 与 b 的相反 向量－b 的和的 运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向 相反； 当 λ＝0 时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
【提醒】向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量的终点”；平行四边形法则要素是“起点重合”，[逐点清]2.（必修4第86 贡例 4 改编)如图，口ABCD的对角线交于 M，若AB=a，D=b,用a，b表示MD为()B.A.oC.D.34舞析:选D -b-(-)--0--2a+2h213.（多选)给出下面四个选项，其中正确的是()A. AB+BA=0B. AB + BC = ACC. AB+ AC-BCD. 0-AB-BA解析：选ABD因为AB+BA=AB-AB=0，A正确；AB+BC=AC，由向量加法知B正确；AB+AC-BC，不满足加法运算法则，C错误；由AB+BA=0，所以BA=0-AB，故D正确.故选A、B、D.4.（必修4第87贡练习2题改编）化简：(1)(AB + MB)+ BO +OM=(2)+QP+MN-MP=解析：(1)原式=AB+BO+OM+MB-AB(2)原式=NP+PN=0.答案：(1)AB(2)0重点三向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得b=.a.第3页共70页
第 3 页 共 70 页 [提醒] 向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法 则要素是“起点重合，指向被减向量的终点”；平行四边形法则要素是“起点重合”． [逐点清] 2．(必修 4 第 86 页例 4 改编)如图，▱ABCD 的对角线交于 M，若 AB ―→＝a，AD―→＝b，用 a，b 表示MD ―→为( ) A． 1 2 a＋ 1 2 b B． 1 2 a－ 1 2 b C．－ 1 2 a－ 1 2 b D．－ 1 2 a＋ 1 2 b 解析：选 D MD―→＝ 1 2 BD―→＝ 1 2 ( AD―→－AB―→)＝ 1 2 (b－a)＝－ 1 2 a＋ 1 2 b. 3．(多选)给出下面四个选项，其中正确的是( ) A． AB ―→＋ BA―→＝0 B． AB ―→＋ BC―→＝ AC ―→ C． AB ―→＋ AC―→＝ BC ―→ D．0－ AB ―→＝ BA―→ 解析：选 ABD 因为 AB ―→＋ BA―→＝ AB ―→－ AB―→＝0，A 正确； AB ―→＋ BC―→＝AC―→，由向量加法知 B 正确； AB ―→＋ AC―→＝BC―→，不满足加法运算法则，C 错误； 由AB―→＋ BA ―→＝0，所以BA―→＝0－ AB ―→，故 D 正确．故选 A、B、D. 4．(必修 4 第 87 页练习 2 题改编)化简： (1)( AB ―→＋MB ―→)＋ BO―→＋OM―→＝ ； (2) NQ ―→＋ QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝ . 解析：(1)原式＝ AB―→＋BO―→＋OM―→＋MB ―→＝ AB ―→. (2)原式＝ NP ―→＋ PN―→＝0. 答案：(1) AB―→ (2)0 重点三 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa
[提醒]］只有（≠0才保证实数入的存在性和唯一性.[逐点清]5.（必修4第77贡习题A组3题改编）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(AA. EF-CDB.AB与DE共线C.BD与CD是相反向量D. AE:LAC解析：选D选项D中，AE-,A-c,所以 D 错误.6.（易错题)对于非零向量a，b，“a十b=0”是“a//b”的(9A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A若a+b=0，则a=-b，所以allb.若allb，则a+b=0不一定成立.故前者是后者的充分不必要条件，故选A。【记结论提速度][记结论]1.若 P为线段AB 的中点，0为平面内任一点，则OP-;(i+OB).22.0A=2OB+μOC(a，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则2+μ=1.[提速度]1.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=）-I:AR3ACACA.B.44AB+!C.ACD.AB+AC4444解析：共70页第4页
第 4 页 共 70 页 [提醒] 只有 a≠0 才保证实数 λ 的存在性和唯一性． [逐点清] 5．(必修 4 第 77 页习题 A 组 3 题改编)如图，D，E，F 分别是△ABC 各边的中点，则 下列结论错误的是( ) A． EF ―→＝ CD―→ B． AB ―→与 DE ―→共线 C． BD―→与 CD―→是相反向量 D． AE ―→＝ 1 2 | AC―→| 解析：选 D 选项 D 中，AE―→＝ 1 2 AC ―→，所以 D 错误． 6．(易错题)对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A 若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b.若 a∥b，则 a＋b＝0 不一定成立．故 前者是后者的充分不必要条件，故选 A． [记结论·提速度] [记结论] 1．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP ―→＝ 1 2 ( OA ―→＋OB ―→)． 2． OA ―→＝λOB ―→＋μ OC ―→ (λ，μ 为实数)，若点 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1. [提速度] 1．在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB―→＝( ) A． 3 4 AB ―→－ 1 4 AC―→ B． 1 4 AB ―→－ 3 4 AC―→ C． 3 4 AB ―→＋ 1 4 AC―→ D． 1 4 AB ―→＋ 3 4 AC―→ 解析：
选A如图所示，=D+DB=AD+C-(AB +AC)+(AB - AC) =-I，故选A.42.已知A，B，C是直线1上不同的三个点，点0不在直线1上，则使等式x20A+xOB+BC=0成立的实数x的值为解析：BC=OC-OB，2OA+xOB+OC-OB=0,即OC=-x2OA-(x1)OB，：A，B，C三点共线，.-x-(x-1)=1，即x+x=0，解得x=0或x=-1当x=0时，x0A+x0B+BC=0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x=-1答案：-1考点分类突破课堂讲练理解透规律明变化究其本考点一平面向量的有关概念[基础自学过关][题组练透]1.设ao为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=aao;②若a与a平行，则a=aao；③若a与a平行且a=l，则a=ao，假命题的个数是（A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与[aao的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与ao平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-aao，故②③也是假命题，a.b2.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0成立的是（[al (blA. a=2bB.al/b第5页共70页
第 5 页 共 70 页 选 A 如图所示， EB―→＝ED―→＋DB ―→＝ 1 2 AD―→＋ 1 2 CB ―→＝ 1 2 × 1 2 ( AB ―→＋AC―→)＋ 1 2 ( AB―→－AC―→)＝ 3 4 AB―→－ 1 4 AC ―→，故选 A． 2．已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x 2OA ―→＋ xOB ―→＋ BC ―→＝0 成立的实数 x 的值为 ． 解析：∵ BC ―→＝OC ―→－OB ―→，∴x 2 OA ―→＋xOB ―→＋OC ―→－OB ―→＝0，即 OC ―→＝－x 2 OA ―→－(x－ 1) OB ―→，∵A，B，C 三点共线， ∴－x 2－(x－1)＝1，即 x 2＋x＝0，解得 x＝0 或 x＝－1.当 x＝0 时，x 2 OA ―→＋xOB ―→＋BC―→ ＝0，此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去．故 x＝－1. 答案：－1 平面向量的有关概念 [基础自学过关] [题组练透] 1．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向 时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题． 2．设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使 a |a| ＋ b |b| ＝0 成立的是( ) A．a＝2b B．a∥b
D.albC.a=4abbba解析：选C=0得一a≠0，则a与b共线且方向由十0，即a=[a] [b][b][b][alab相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使=0成立.对照各个选项可[al (b]知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反：选项C中a与b的方向相反：选项D中a与b互相垂直，因此选C[练后悟通]平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性：(2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关：(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆；a(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量[a]平面向量的线性运算考点二[定向精析突破]考向1向量的线性运算[例1](1)(2021·西安五校联考)如图，AB是圆0的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则AB=（OA.AC-ADB. 2AC-2ADC. AD -ACD. 2AD-2AC第6页共70页
第 6 页 共 70 页 C．a＝－ 1 3 b D．a⊥b 解析：选 C 由 a |a| ＋ b |b| ＝0 得 a |a| ＝－ b |b| ≠0，即 a＝－ b |b| ·|a|≠0，则 a 与 b 共线且方向 相反，因此当向量 a 与向量 b 共线且方向相反时，能使 a |a| ＋ b |b| ＝0 成立．对照各个选项可 知，选项 A 中 a 与 b 的方向相同；选项 B 中 a 与 b 共线，方向相同或相反；选项 C 中 a 与 b 的方向相反；选项 D 中 a 与 b 互相垂直，因此选 C. [练后悟通] 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性； (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关； (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的 移动混淆； (4)非零向量 a 与 a |a| 的关系： a |a| 是与 a 同方向的单位向量． 平面向量的线性运算 [定向精析突破] 考向 1 向量的线性运算 [例 1] (1)(2021·西安五校联考)如图，AB 是圆 O 的一条直径，C，D 是半圆弧的两个三等分点，则 AB―→＝( ) A． AC ―→－ AD―→ B．2 AC―→－2AD―→ C． AD―→－ AC―→ D．2AD―→－2 AC―→
(2)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF=()2AB+3ADA.4AB+3ADB.23ADC.SAFD. -AD[解析】（(1)连接CD(图略），因为C,D是半圆弧的两个三等分点，所以CDIIAB，且AB=2CD，所以AB=2CD=2(AD-AC)=2AD-2AC，故选D.(2)DF=AF-AD, AE= AB + BEE为BC的中点，F为AE的中点，AF-AE, BE-BC.2.DF-AF-AD-AE-AD-(AB+BE)-AD-↓AB +IBC - AD ,24又，-故选D4[答案] (1)D (2)D考向2根据向量线性运算求参数[例2]在△ABC中，AB=2，BC=3，ZABC=60°，AD为BC边上的高，0为AD的中点，若AO=AB+μBC，其中，μER，则2+u等于（B.A. 1221c. 3D.3[解析】由题意易得AD=AB+BD=AB+BC则 2A0 =AB +BC,即A0 =-↓AB +IBC.132611所以入=2.M=6第7页共70页
第 7 页 共 70 页 (2)如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中 点，则 DF ―→＝( ) A．－ 1 2 AB ―→＋ 3 4 AD―→ B． 1 2 AB―→＋ 2 3 AD―→ C． 1 3 AB ―→－ 1 2 AD―→ D． 1 2 AB ―→－ 3 4 AD―→ [解析] (1)连接 CD(图略)，因为 C，D 是半圆弧的两个三等分点，所以 CD∥AB，且 AB ＝2CD，所以 AB ―→＝2CD―→＝2( AD―→－ AC ―→)＝2AD―→－2AC―→，故选 D. (2) DF ―→＝ AF―→－AD―→， AE―→＝AB―→＋ BE ―→. ∵E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中点， ∴ AF―→＝ 1 2 AE ―→， BE―→＝ 1 2 BC ―→， ∴ DF ―→＝ AF ―→－AD―→＝ 1 2 AE ―→－AD―→＝ 1 2 ( AB―→＋BE―→)－AD―→ ＝ 1 2 AB―→＋ 1 4 BC ―→－AD―→， 又BC―→＝AD―→，∴ DF ―→＝ 1 2 AB ―→－ 3 4 AD―→.故选 D. [答案] (1)D (2)D 考向 2 根据向量线性运算求参数 [例 2] 在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的 中点，若AO―→＝λAB―→＋μBC ―→，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ 等于( ) A．1 B． 1 2 C． 1 3 D． 2 3 [解析] 由题意易得AD―→＝ AB―→＋BD―→＝ AB―→＋ 1 3 BC―→， 则 2AO―→＝AB―→＋ 1 3 BC ―→，即AO―→＝ 1 2 AB ―→＋ 1 6 BC―→. 所以 λ＝ 1 2 ，μ＝ 1 6
112故2+μ=2+63[答案] D[规律探求]考向1是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：看一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连向量和个用三角形法则，性考向2是考向1的逆运算。解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值（1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解；找共(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角性形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解[跟踪训练]1.设 D 是△ABC所在平面内一点，AB=2DC，则（）A.BD=AC-ABB 丽-c-2C. BD-,ACD. BD-AC-↓ABAC-AB2解析: 通A m-配+- 2-.---.2. 在平行四边形 ABCD 中,E,F分别为边 BC,CD 的中点，若AB=xAE +yAF (xJER)，则x-y=解析：由题意得AE-AB+BE-AB+D，AF-AD +DF-AD+AB因为AB=xAE+yAF第8页共70页
第 8 页 共 70 页 故 λ＋μ＝ 1 2 ＋ 1 6 ＝ 2 3 . [答案] D [规律探求] 看 个 性 考向 1 是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为： 一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连向量和 用三角形法则． 考向 2 是考向 1 的逆运算．解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量 的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值 找 共 性 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出 发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解； (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角 形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知 向量有直接关系的向量来求解 [跟踪训练] 1．设 D 是△ABC 所在平面内一点， AB ―→＝2DC ―→，则( ) A． BD―→＝ AC―→－ 3 2 AB ―→ B． BD―→＝ 3 2 AC―→－ AB ―→ C． BD―→＝ 1 2 AC―→－ AB ―→ D． BD―→＝ AC―→－ 1 2 AB ―→ 解析：选 A BD―→＝ BC ―→＋CD―→＝ BC ―→－DC ―→＝AC―→－ AB ―→－ 1 2 AB―→＝ AC ―→－ 3 2 AB―→. 2．在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若 AB―→＝x AE ―→＋yAF―→ (x， y∈R)，则 x－y＝ . 解析：由题意得 AE ―→＝ AB―→＋ BE ―→＝ AB―→＋ 1 2 AD―→， AF ―→＝AD―→＋DF ―→＝AD―→＋ 1 2 AB―→， 因为AB―→＝x AE ―→＋yAF―→
所以AB：AD2所以解得x：y==0所以x-y=2.答案：2考点三共线向量定理的应用[师生共研过关][例3]设两个非零向量a与b不共线(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线。[解] (1)证明 : : AB =a+b, BC =2a + 8b, D =3(a - b) ,. BD = BC + CD =2a + 8b+3(a - b) = 5(a +b) = 5AB ,AB，BD共线，又它们有公共点B，.A，B，D三点共线.(2):ka+b与a+kb共线，.存在实数>，使ka+b=a(a+kb），即(k-2)a=(ak-1)b又a，b是两个不共线的非零向量，[k-a=0,..k2-1=0...k=±1[ak-1=0.[对点变式]1.(变条件)若将本例(1)中“BC=2a+8b”改为“BC=a+mb”，则 m为何值时,A,B，D三点共线？解：BD=BC+CD=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,第9页共70页
第 9 页 共 70 页 所以AB―→＝ x＋ y 2 AB―→＋ x 2 ＋y AD―→， 所以 x＋ y 2 ＝1， x 2 ＋y＝0， 解得 x＝ 4 3 ， y＝－ 2 3 ， 所以 x－y＝2. 答案：2 共线向量定理的应用 [师生共研过关] [例 3] 设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若 AB―→＝a＋b， BC―→＝2a＋8b， CD―→＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． [解] (1)证明：∵ AB ―→＝a＋b， BC ―→＝2a＋8b，CD―→＝3(a－b)， ∴ BD―→＝ BC ―→＋CD―→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB―→， ∴ AB―→，BD―→共线，又它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线． (2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴ k－λ＝0， λk－1＝0. ∴k 2－1＝0.∴k＝±1. [对点变式] 1.(变条件)若将本例(1)中“ BC―→＝2a＋8b”改为“ BC―→＝a＋mb”，则 m 为何值时，A， B，D 三点共线？ 解： BD―→＝ BC―→＋CD―→＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b
若A，B，D三点共线，则存在实数入，使BD=2AB，[4=2 ,即4a+(m-3)b=2(a+b),解得m=7.[m-3=1,故当m=7时，A，B，D三点共线.2.（变条件)诺将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka+b与a+kb反向共线，所以存在实数.，使ka+b=2(a+kb)(a<0)，[k=),所以所以k=±1.又<0，k=2，所以k=-1[ka=1,故当k=-1时，两向量反向共线[解题技法]利用向量共线定理证明三点共线若存在实数入，使AB=AC，则A，B，C三点共线.存在实数入，向量共线的！共线向量A，B，C在双线的著然奥素成共[提醒】（1使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点：[跟踪训练]1.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=—4a-b,CD=—5a—3b,则四边形ABCD的形状是(）A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对解析：选C由已知，得AD=AB+BC+D=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC故ADⅡBC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.2.已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB=,PA+PB，其中 1ER，则点P一第10页共70页
第 10 页 共 70 页 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使BD―→＝λ AB ―→， 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴ 4＝λ， m－3＝λ， 解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线． 2.(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？ 解：因为 ka＋b 与 a＋kb 反向共线， 所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)， 所以 k＝λ， kλ＝1， 所以 k＝±1.又 λ<0，k＝λ，所以 k＝－1. 故当 k＝－1 时，两向量反向共线． [解题技法] 利用向量共线定理证明三点共线 若存在实数 λ，使 AB―→＝λ AC ―→，则 A，B，C 三点共线． [提醒] (1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量； (2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点． [跟踪训练] 1．在四边形 ABCD 中，AB―→＝a＋2b，BC―→＝－4a－b，CD―→＝－5a－3b，则四边形 ABCD 的形状是( ) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析：选 C 由已知，得AD―→＝ AB ―→＋ BC―→＋CD―→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 BC―→， 故AD―→∥ BC ―→.又因为AB―→与CD―→不平行，所以四边形 ABCD 是梯形． 2．已知 P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB―→＝λ PA―→＋ PB ―→，其中 λ∈R，则点 P 一