圆与圆的位置关系2. 5. 2
2.5.2 圆与圆的位置关系
情境引入·助学助教如图为在某地12月24日拍到的日环食全过程
如图为在某地 12 月 24 日拍到的日环食全过程．
可以用两个圆来表示变化过程O00QQQO根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？能否通过些数量关系表示这些圆的位置关系？
可以用两个圆来表示变化过程． 根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？能否通过 一些数量关系表示这些圆的位置关系？
一新知初探一1.圆与圆的位置关系两圆相交有两个公共点只有一个公共点外切和 内切两圆相切两圆相离没有公共点外离和内含
1．圆与圆的位置关系 两圆相交 有_公共点 两圆相切 _和_ _公共点 两圆相离 _和_ _公共点 两个 外切 内切 只有一个 外离 内含 没有
题型一：圆与圆的位置关系的判断例1：已知oC:x2+y?+2x+8y-8=0,oC,:x2+y-4x-4y-2=0,试判断解法一：将两个圆方程联立，得方程组(1)x2+y2+2x+8y-8=0,(2)x2+y2-4x-4y-2=0.(3)(1)-(2)，得x+2y-1=01- x由（3）得y=2把上式代入（1），并整理得x2-2x-3=0(4)方程（4)的判别式（-2)2-4×1×(-3)=16>0所以方程（4）有两个不等实数根，方程组有两解。故两圆相交：
解法一： 将两个圆方程联立,得方程组 把上式代入（1），并整理得 故两圆相交． 方程（4）的判别式 所以方程（4）有两个不等实数根，方程组有两解。 题型一：圆与圆的位置关系的判断 例1：已知 试判断 2 2 2 2 1 2 C x y x y C x y x y : 2 8 8 0, : 4 4 2 0, + + + − = + − − − =
解法二：把圆的方程都化成标准形式为C :(x+1)* +(y+4) =25C:(x-2)+(y-2)2=10r=5;C的坐标是-1,-4半径长C, 的坐标是(2,2),半径长 r =V10;所以圆心距C,C|=V(-1-2)+(-4-2)=3V5r-=5+V10,+r=5-V0两圆半径的和与差而5-V10<3V5<5+V10即 r-<3/5<n+r所以两圆相交
解法二：把圆的方程都化成标准形式为 的坐标是 ,半径长 的坐标是 ,半径长 所以圆心距 两圆半径的和与差 而 即 所以两圆相交
2.圆与圆位置关系的判定方法(1)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断>0→相交，圆Ci方程消元一元二次方程=0→内切或外切圆C2方程L<0外离或内含
(1)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 圆 C1方程 圆 C2方程 ――→ 消元 一元二次方程 Δ＞0⇒_， Δ＝0⇒_， Δ＜0⇒_. 相交 内切或外切 外离或内含 2.圆与圆位置关系的判定方法
(2)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：外离外切相交内切内含位置关系drd图示120ri+r2d=ri+r2d=ri-r2l的关系d<ri+r2Iri-ral
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d 与 r1，r2 的关系 _ _ _ _ _ _ _ d ＞ r 1 ＋ r 2 d ＝ r 1 ＋ r 2 |r 1 － r 2|＜ d ＜ r 1 ＋ r 2 d ＝|r 1 － r 2| 0 ＜ d ＜ |r1－r2| (2)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则 两圆的位置关系的判断方法如下：
练习2.已知圆 Ci：x2十y2—2ax—2y十α2—15=0，圆C2：x2+y2一4ax一2y+4α2=0(a>0).试求α为何值时，两圆 Ci，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含
练 习 2．已知圆 C1：x 2＋y 2－2ax－2y＋a 2－15＝0， 圆 C2：x 2＋ y 2－4ax－2y＋4a 2＝0(a＞0)．试求 a 为何值时，两圆 C1，C2的位置关 系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
[解]］圆 C1，C2 的方程，经配方后可得C1: (x一a)2+(y—1)2=16,C2: (x-2a)2+(v1)2=1, :. 圆心 Ci(a,1), C2(2a,1)半径 r1=4,r2=1.:|CiC2|=V(a-2a)2+(1-1)=a(1)当|CiC2l=ri十r2=5，即a=5时，两圆外切;当|CiC2l=r1一r2=3，即a=3时，两圆内切.(2)当35，即a>5时，两圆外离.(4)当|CiC2l<3，即a<3时，两圆内含
[解] 圆 C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a) 2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a) 2＋(y－1)2＝1，∴圆心 C1(a,1)，C2(2a,1)， 半径 r1＝4,r2＝1.∴|C1C2|＝ (a－2a) 2＋(1－1) 2＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即 a＝5 时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即 a＝3 时，两圆内切． (2)当 3＜|C1C2|＜5，即 3＜a＜5 时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即 a＞5 时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即 a＜3 时，两圆内含