
圆与圆的位置关系2. 5. 2
2.5.2 圆与圆的位置关系

情境引入·助学助教如图为在某地12月24日拍到的日环食全过程
如图为在某地 12 月 24 日拍到的日环食全过程.

可以用两个圆来表示变化过程O00QQQO根据上图,结合平面几何,圆与圆的位置关系有几种?能否通过些数量关系表示这些圆的位置关系?
可以用两个圆来表示变化过程. 根据上图,结合平面几何,圆与圆的位置关系有几种?能否通过 一些数量关系表示这些圆的位置关系?

一新知初探一1.圆与圆的位置关系两圆相交有两个公共点只有一个公共点外切和 内切两圆相切两圆相离没有公共点外离和内含
1.圆与圆的位置关系 两圆相交 有_公共点 两圆相切 _和_ _公共点 两圆相离 _和_ _公共点 两个 外切 内切 只有一个 外离 内含 没有

题型一:圆与圆的位置关系的判断例1:已知oC:x2+y?+2x+8y-8=0,oC,:x2+y-4x-4y-2=0,试判断解法一:将两个圆方程联立,得方程组(1)x2+y2+2x+8y-8=0,(2)x2+y2-4x-4y-2=0.(3)(1)-(2),得x+2y-1=01- x由(3)得y=2把上式代入(1),并整理得x2-2x-3=0(4)方程(4)的判别式(-2)2-4×1×(-3)=16>0所以方程(4)有两个不等实数根,方程组有两解。故两圆相交:
解法一: 将两个圆方程联立,得方程组 把上式代入(1),并整理得 故两圆相交. 方程(4)的判别式 所以方程(4)有两个不等实数根,方程组有两解。 题型一:圆与圆的位置关系的判断 例1:已知 试判断 2 2 2 2 1 2 C x y x y C x y x y : 2 8 8 0, : 4 4 2 0, + + + − = + − − − =

解法二:把圆的方程都化成标准形式为C :(x+1)* +(y+4) =25C:(x-2)+(y-2)2=10r=5;C的坐标是-1,-4半径长C, 的坐标是(2,2),半径长 r =V10;所以圆心距C,C|=V(-1-2)+(-4-2)=3V5r-=5+V10,+r=5-V0两圆半径的和与差而5-V10<3V5<5+V10即 r-<3/5<n+r所以两圆相交
解法二:把圆的方程都化成标准形式为 的坐标是 ,半径长 的坐标是 ,半径长 所以圆心距 两圆半径的和与差 而 即 所以两圆相交

2.圆与圆位置关系的判定方法(1)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断>0→相交,圆Ci方程消元一元二次方程=0→内切或外切圆C2方程L<0外离或内含
(1)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 圆 C1方程 圆 C2方程 ――→ 消元 一元二次方程 Δ>0⇒_, Δ=0⇒_, Δ<0⇒_. 相交 内切或外切 外离或内含 2.圆与圆位置关系的判定方法

(2)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:外离外切相交内切内含位置关系drd图示120ri+r2d=ri+r2d=ri-r2l的关系d<ri+r2Iri-ral
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d 与 r1,r2 的关系 _ _ _ _ _ _ _ d > r 1 + r 2 d = r 1 + r 2 |r 1 - r 2|< d < r 1 + r 2 d =|r 1 - r 2| 0 < d < |r1-r2| (2)几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆的圆心距为 d,则 两圆的位置关系的判断方法如下:

练习2.已知圆 Ci:x2十y2—2ax—2y十α2—15=0,圆C2:x2+y2一4ax一2y+4α2=0(a>0).试求α为何值时,两圆 Ci,C2的位置关系为:(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含
练 习 2.已知圆 C1:x 2+y 2-2ax-2y+a 2-15=0, 圆 C2:x 2+ y 2-4ax-2y+4a 2=0(a>0).试求 a 为何值时,两圆 C1,C2的位置关 系为:(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含.

[解]]圆 C1,C2 的方程,经配方后可得C1: (x一a)2+(y—1)2=16,C2: (x-2a)2+(v1)2=1, :. 圆心 Ci(a,1), C2(2a,1)半径 r1=4,r2=1.:|CiC2|=V(a-2a)2+(1-1)=a(1)当|CiC2l=ri十r2=5,即a=5时,两圆外切;当|CiC2l=r1一r2=3,即a=3时,两圆内切.(2)当35,即a>5时,两圆外离.(4)当|CiC2l<3,即a<3时,两圆内含
[解] 圆 C1,C2的方程,经配方后可得 C1:(x-a) 2+(y-1)2=16, C2:(x-2a) 2+(y-1)2=1,∴圆心 C1(a,1),C2(2a,1), 半径 r1=4,r2=1.∴|C1C2|= (a-2a) 2+(1-1) 2=a. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切. (2)当 3<|C1C2|<5,即 3<a<5 时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即 a>5 时,两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即 a<3 时,两圆内含