
1. 3. 2空间向量运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示

知识点一空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)空间向量的坐标运算:向量运算」向量表示坐标表示加法(ai+b1,a2+b2, a3+b3)a+b减法(ai—b1, a2—b2, a3—b3)a-b(Mai, Ma2, Na3)数乘Aa数量积aibi+a2b2+a3b3ab
知识点一 空间向量运算的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)空间向量的坐标运算: 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b _ 减法 a-b _ 数乘 λa _ 数量积 a·b _ (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3

(2)空间向量平行和垂直的条件:①平行:a // b(b≠0)_a=入bb台 a=bi,α2=b2,;a=b3②垂直:a工b台a·b=0台 aibi+a,b,+α,b:=0(3)空间向量的模及夹角的坐标计算公式:,b=+b+①模:lal= Vai+α+aajb +azb2 +asb3a·b②cos <a·b)[al-1b] -ar + a2 + a br + b2 + b3
(2)空间向量平行和垂直的条件: ①平行:a∥b(b≠0)⇔_⇔_; ②垂直:a⊥b⇔_⇔_. (3)空间向量的模及夹角的坐标计算公式: ①模:|a|=_,|b|=_; ②cos〈a·b〉= a·b |a|·|b|=_. a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 a 2 1+a 2 2+a 2 3 b 2 1+b 2 2+b 2 3 a1b1+a2b2+a3b3 a 2 1+a 2 2+a 2 3 b 2 1+b 2 2+b 2 3

知识点二向量的坐标及两点间的距离公式设 A(x1, J1, zi), B(x2, y2,z2),则AB=(X2—X1, y2—y1, Z2—z1)dAB=[AB|= /(x2-xi)+(y2yi)2+(22-z)
知识点二 向量的坐标及两点间的距离公式 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则AB→=_, dAB=|AB→|=_. (x2-x1,y2-y1,z2-z1) (x2-x1) 2+(y2-y1) 2+(z2-z1) 2

基础检测1.已知点A的坐标为A(1,1,0),向量AB=(4,0,2)则点B的坐标为()B. (9,1,4)A. (7, 一1,4)C. (3,1,1)D. (1, -1,1)解析:设 B(x,y,2),则(x一1,y-1,2)=(4,0,2),4x=9,解得y=1,:点B的坐标为(9,1,4)1=0,z=4,1(2=2,答案:B
基础检测 1.已知点 A 的坐标为 A(1,1,0),向量1 2 AB→=(4,0,2), 则点 B 的坐标为( ) A.(7,-1,4) B.(9,1,4) C.(3,1,1) D.(1,-1,1) 解析:设 B(x,y,z),则1 2 (x-1,y-1,z)=(4,0,2), ∴ 1 2 (x-1)=4, 1 2 (y-1)=0, 1 2 z=2, 解得 x=9, y=1, z=4, ∴点 B 的坐标为(9,1,4). 答案:B

2.下列向量中,与向量a=(0,0,1)平行的向量为(1A. b=(1,0,0)B. c=(0,1,0)C. d=(-1, -1, -1) D. e=(0,0, -1)解析:方法一比较各选项中的向量,观察哪个向量符合1a=(0.0a)的形式,经过观察,只有e=一a.方法二向量a=(0,0,1)的横、纵坐标都是0,所以向量a//z轴,经过观察易得只有e=(0,0,一1)的横、纵坐标也都是0.答案:D
2.下列向量中,与向量 a=(0,0,1)平行的向量为( ) A.b=(1,0,0) B.c=(0,1,0) C.d=(-1,-1,-1) D.e=(0,0,-1) 解析:方法一 比较各选项中的向量,观察哪个向量符合 λa=(0,0, λ)的形式,经过观察,只有 e=-a. 方法二 向量 a=(0,0,1)的横、纵坐标都是 0,所以向量 a∥z 轴,经 过观察易得只有 e=(0,0,-1)的横、纵坐标也都是 0. 答案:D

3.若向量a=(1,2,0),b=(一2,0,1),则(11A. cos <a, b)B. alb2C. a//bD. |a|=[bl解析::向量a=(1,2,0),b=(一2,0,1),: |a|=V5, [b]=~5,ab=1×(—2)+2×0+0×1=2,-2a·b2cos <a, b)55[al:|b]由上知A,B不正确,D正确:C显然也不正确答案:D
3.若向量 a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则( ) A.cos〈a,b〉=1 2 B.a⊥b C.a∥b D.|a|=|b| 解析:∵向量 a=(1,2,0),b=(-2,0,1), ∴|a|= 5,|b|= 5, a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2, cos〈a,b〉= a·b |a|·|b|= -2 5 =- 2 5 . 由上知 A,B 不正确,D 正确.C 显然也不正确. 答案:D

4如图所示,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD一A'B'C"D',A(0,0,0),B(1,0,0),C'(1,1,1),D'(0,1,1),则(AC+BD)AD的值为解析: 因为 A(0, 0, 0),B(1, 0, 0),C(1, 1,1),D’ (0, 1,1),所以AC =(1, 1, 1),BD’ =(-1,1,1),AD"=(0,1,1),所以(AC+BD’)-AD’=(0,2,2)(0,1,1)=0+2X1+2×1=4
4.如图所示,在空间直角坐标系中有单位正方体 ABCD- A′B′C′D′,A(0,0,0),B(1,0,0),C′(1,1,1),D′(0,1,1),则(AC′ → +BD′ → )·AD′ → 的值为_ 4 . 解析:因为 A(0,0,0),B(1,0,0),C′(1,1,1),D′(0,1,1),所以AC′ → =(1,1,1),BD′ → =(- 1,1,1),AD′ → =(0,1,1),所以(AC′ → +BD′ → )·AD′ → =(0,2,2)·(0,1,1)=0+2×1+2×1=4

类型一空间向量的坐标运算例 1 在△ABC 中,A(2,一5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,2,5),求顶点B、C的坐标,向量CA及角A的余弦值
类型一 空间向量的坐标运算 例 1 在△ABC 中,A(2,-5,3),AB→=(4,1,2),BC→=(3,-2,5), 求顶点 B、C 的坐标,向量CA→及角 A 的余弦值.

【解析】设 B(x, y, z), C(xi, yi, z).x=6,x-2=4,:AB=(4,1,2),::3y+5=1,解得=—4,:.B(6, 4,5).(z-3=2,z=5,[xi=9,[xi6=3,:BC=(3,-2,5),3y+4=-2,解得y=-6,(z)=10,(z1-5=5,:.C(9, -6,10). :.AC=(7, -1,7), CA=(-7,1, -7): AB=(4,1,2),AC.AB41V23128-1+14..cos A693V99×V21[ACIAB
【解析】 设 B(x,y,z),C(x1,y1,z1). ∵AB →=(4,1,2),∴ x-2=4, y+5=1, z-3=2, 解得 x=6, y=-4, z=5, ∴B(6,-4,5). ∵BC →=(3,-2,5),∴ x1-6=3, y1+4=-2, z1-5=5, 解得 x1=9, y1=-6, z1=10, ∴C(9,-6,10).∴AC →=(7,-1,7),CA →=(-7,1,-7). ∵AB →=(4,1,2), ∴cos A= AC →·AB → |AC →||AB →| = 28-1+14 99× 21= 41 231 693