1. 3. 2空间向量运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
知识点一空间向量运算的坐标表示设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则(1)空间向量的坐标运算：向量运算」向量表示坐标表示加法(ai+b1,a2+b2, a3+b3)a+b减法(ai—b1， a2—b2， a3—b3)a-b(Mai, Ma2, Na3)数乘Aa数量积aibi+a2b2+a3b3ab
知识点一 空间向量运算的坐标表示 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)空间向量的坐标运算： 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b _ 减法 a－b _ 数乘 λa _ 数量积 a·b _ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
(2)空间向量平行和垂直的条件：①平行：a // b(b≠0)_a=入bb台 a=bi，α2=b2,;a=b3②垂直：a工b台a·b=0台 aibi+a,b,+α,b:=0(3)空间向量的模及夹角的坐标计算公式：，b=+b+①模：lal= Vai+α+aajb +azb2 +asb3a·b②cos <a·b)[al-1b] -ar + a2 + a br + b2 + b3
(2)空间向量平行和垂直的条件： ①平行：a∥b(b≠0)⇔_⇔_； ②垂直：a⊥b⇔_⇔_. (3)空间向量的模及夹角的坐标计算公式： ①模：|a|＝_，|b|＝_； ②cos〈a·b〉＝ a·b |a|·|b|＝_. a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a 2 1＋a 2 2＋a 2 3 b 2 1＋b 2 2＋b 2 3 a1b1＋a2b2＋a3b3 a 2 1＋a 2 2＋a 2 3 b 2 1＋b 2 2＋b 2 3
知识点二向量的坐标及两点间的距离公式设 A(x1, J1, zi)， B(x2, y2,z2),则AB=(X2—X1, y2—y1， Z2—z1)dAB=[AB|= /(x2-xi)+(y2yi)2+(22-z)
知识点二 向量的坐标及两点间的距离公式 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则AB→＝_， dAB＝|AB→|＝_. (x2－x1，y2－y1，z2－z1) (x2－x1) 2＋(y2－y1) 2＋(z2－z1) 2
基础检测1.已知点A的坐标为A(1，1,0)，向量AB=(4,0,2)则点B的坐标为()B. (9,1,4)A. (7, 一1,4)C. (3,1,1)D. (1, -1,1)解析：设 B(x，y，2)，则(x一1，y-1，2)=(4,0,2),4x=9,解得y=1,:点B的坐标为(9,1,4)1=0,z=4,1(2=2,答案：B
基础检测 1．已知点 A 的坐标为 A(1，1,0)，向量1 2 AB→＝(4,0,2)， 则点 B 的坐标为( ) A．(7，－1,4) B．(9,1,4) C．(3,1,1) D．(1，－1,1) 解析：设 B(x，y，z)，则1 2 (x－1，y－1，z)＝(4,0,2)， ∴ 1 2 (x－1)＝4， 1 2 (y－1)＝0， 1 2 z＝2， 解得 x＝9， y＝1， z＝4， ∴点 B 的坐标为(9,1,4)． 答案：B
2.下列向量中，与向量a=(0,0,1)平行的向量为(1A. b=(1,0,0)B. c=(0,1,0)C. d=(-1, -1, -1) D. e=(0,0, -1)解析：方法一比较各选项中的向量，观察哪个向量符合1a=(0.0a)的形式，经过观察，只有e=一a.方法二向量a=(0,0,1)的横、纵坐标都是0，所以向量a//z轴，经过观察易得只有e=(0,0，一1)的横、纵坐标也都是0.答案：D
2．下列向量中，与向量 a＝(0,0,1)平行的向量为( ) A．b＝(1,0,0) B．c＝(0,1,0) C．d＝(－1，－1，－1) D．e＝(0,0，－1) 解析：方法一 比较各选项中的向量，观察哪个向量符合 λa＝(0,0， λ)的形式，经过观察，只有 e＝－a. 方法二 向量 a＝(0,0,1)的横、纵坐标都是 0，所以向量 a∥z 轴，经 过观察易得只有 e＝(0,0，－1)的横、纵坐标也都是 0. 答案：D
3.若向量a=(1,2,0)，b=(一2,0,1)，则(11A. cos <a, b)B. alb2C. a//bD. |a|=[bl解析：：向量a=(1,2,0)，b=(一2,0,1),: |a|=V5, [b]=~5,ab=1×(—2)+2×0+0×1=2,-2a·b2cos <a, b)55[al:|b]由上知A，B不正确，D正确：C显然也不正确答案：D
3．若向量 a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则( ) A．cos〈a，b〉＝1 2 B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 解析：∵向量 a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)， ∴|a|＝ 5，|b|＝ 5， a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2， cos〈a，b〉＝ a·b |a|·|b|＝ －2 5 ＝－ 2 5 . 由上知 A，B 不正确，D 正确．C 显然也不正确． 答案：D
4如图所示，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD一A'B'C"D'，A(0,0,0),B(1,0,0),C'(1,1,1),D'(0,1,1)，则(AC+BD)AD的值为解析: 因为 A(0, 0, 0),B(1, 0, 0)，C(1, 1,1),D’ (0, 1,1),所以AC =(1, 1, 1),BD’ =(-1,1,1)，AD"=(0,1,1)，所以(AC+BD’）-AD’=(0,2,2)(0,1,1)=0+2X1+2×1=4
4．如图所示，在空间直角坐标系中有单位正方体 ABCD－ A′B′C′D′，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，则(AC′ → ＋BD′ → )·AD′ → 的值为_ 4 ． 解析：因为 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，所以AC′ → ＝(1,1,1)，BD′ → ＝(－ 1,1,1)，AD′ → ＝(0,1,1)，所以(AC′ → ＋BD′ → )·AD′ → ＝(0,2,2)·(0,1,1)＝0＋2×1＋2×1＝4
类型一空间向量的坐标运算例 1 在△ABC 中，A(2，一5,3)，AB=(4,1,2)，BC=(3，2,5),求顶点B、C的坐标，向量CA及角A的余弦值
类型一 空间向量的坐标运算 例 1 在△ABC 中，A(2，－5,3)，AB→＝(4,1,2)，BC→＝(3，－2,5)， 求顶点 B、C 的坐标，向量CA→及角 A 的余弦值．
【解析】设 B(x, y, z), C(xi, yi, z).x=6,x-2=4,:AB=(4,1,2),::3y+5=1,解得=—4,:.B(6, 4,5).(z-3=2,z=5,[xi=9,[xi6=3,:BC=(3,-2,5),3y+4=-2,解得y=-6,(z)=10,(z1-5=5,:.C(9, -6,10). :.AC=(7, -1,7), CA=(-7,1, -7): AB=(4,1,2),AC.AB41V23128-1+14..cos A693V99×V21[ACIAB
【解析】 设 B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)． ∵AB →＝(4,1,2)，∴ x－2＝4， y＋5＝1， z－3＝2， 解得 x＝6， y＝－4， z＝5， ∴B(6，－4,5)． ∵BC →＝(3，－2,5)，∴ x1－6＝3， y1＋4＝－2， z1－5＝5， 解得 x1＝9， y1＝－6， z1＝10， ∴C(9，－6,10)．∴AC →＝(7，－1,7)，CA →＝(－7,1，－7)． ∵AB →＝(4,1,2)， ∴cos A＝ AC →·AB → |AC →||AB →| ＝ 28－1＋14 99× 21＝ 41 231 693