5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)
7 2 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 （一）
1.定义域和值域x元元3元3元5元元2元3元2元1C正弦函数y=sinx定义域：R值域：[-1，1]2元-2元3元5元3元T元3元余弦函数y=cosx定义域：R值域：[-1，1]Icosx≤1I sinx<1
1.定义域和值域 x 2 2 − 3 − 2 − 5 −2 2 − −3 O 2 3 2 2 5 3 −1 1 x 2 2 − 3 − 2 − 5 −2 2 − −3 O 2 3 2 2 5 3 −1 1 正弦函数 y x = sin 定义域：R 值域：[-1，1] 余弦函数 y x = cos 定义域：R 值域：[-1，1] | sin | 1 | cos | 1 x x ≤ ≤
2.周期性周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在 一个非零常数T，使得当x取定义域内的每 一个值时，都有 f (x+T)=f (x) 那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期. 2.周期性
注：1、T是非零常数：2、必须是“每一个值”，只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数；3、周期函数的周期T往往是多值的（如y=sinx2元,4元，.,-2元,-4元，...都是周期）;是若函数f(x)的周期是T，则kT,(kE Z,kt0)也是f(x)的周期吗？4、周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期有些周期函数没有最小正周期正弦函数是周期函数，周期是2k元(kEZ且k≠O)最小正周期是2元余弦函数是周期函数，周期是2k元(kEZ且k≠O)，最2元小正周期是
注：1、T是非零常数; 2、必须是“每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就 不为周期函数; 3、 周期函数的周期T往往是多值的（如y=sin x 2,4,.,-2,-4,.都是周期）; 4、周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期 正弦函数是周期函数，周期是 ， 最小正周期是 2k(k Z且k 0) 2 余弦函数是周期函数，周期是 ，最 小正周期是 2k(k Z且k 0) 2 有些周期函数没有最小正周期 若函数f(x)的周期是T，则kT,(k∈Z,k≠0)也是f(x)的周期吗？ 是
例题例1、求下列函数的周期(l)y = 3sin x, x R:(2)y = cos2x, x E R;XER(3) =2sinXP61 sin(x +@), x E R.(A ± 0
(1) y = 3sin x, x R; (2) y = cos 2x, x R; 例题 （3）y＝ ． 1 π 2sin R 2 6 x x ， − (4) sin( ), .( 0, 0) y A x x R A = +
例1求下列函数的周期：(1) y=3sinx, xER;解：（1）VxER，有3sin（x+2元）=3sinx由周期函数的定义可知，原函数的周期为2元，(2) y=cos 2x, xER;解：（2）令z=2x，由xER得zER，且y=cosz的周期为2元，即cOs（z+2元）=coSz,于是cos（2x+2元）=cos2x，所以cos2（x十元）=cos2x，xER由周期函数的定义可知，原函数的周期为元
（1）y＝3sin x，x∈R； 解 ：（1） ∀x∈R，有3sin（x＋2π）＝3sin x， 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π． 例1 求下列函数的周期： （2）y＝cos 2x，x∈R； 解 ：（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π， 即cos（z＋2π）＝cos z， 于是cos（2x＋2π）＝cos 2x，所以cos 2（x＋π）＝cos 2x，x∈R． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
元(3) y=XER2sinX62元令解：(3)由xER得zER，且y=2sinz的周期为2元，ZX26且y=2sinz的周期为2元，1元于是2sin2元2sinX2元川所以2sin2sinXER.x+4元626原函数的周期为4元，由周期函数的定义可知
解 ：（3）令 ，由x∈R得z∈R， 1 π 2 6 z x = − 且y＝2sin z的周期为2π， （3）y＝ ． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π． 且y＝2sin z的周期为2π， 于是 ， 1 π 1 π 2sin 2π 2sin 2 6 2 6 x x − + = − 所以 ，x∈R． 1 π 1 π 2sin ( 4π) 2sin 2 6 2 6 x x + − = − 1 π 2sin R 2 6 x x ， −
练习巩固（1）求下列函数的最小正周期① f(x) = cos(2x +②f(x) = sin(= x +2)（2）已知函数 =f(x)的周期是3，且当 x[0,3]时，f(x)=x2+1,求f(1), f(5), f(16)思考：f(5)=52 +1= 26 吗?
练习巩固 （2）已知函数 的周期是3，且当 时， ，求 y f x = ( ) x [0,3] 2 f x x ( ) 1 = + f f f (1), (5), (16). 思考： f (5) 5 1 26 = + = 2 吗？ （1）求下列函数的最小正周期 ( ) cos(2 ) 4 f x x ① = + ( ) sin( 2) 2 f x x ② = +
3.奇偶性探究x元T3元5元3元2元3元元-3元2元15元正弦函数的图象C-2元3元2元3元5元T元元i3元22余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性
正弦函数的图象 探究 余弦函数的图象 问题：它们的图象有何对称性？ x 2 2 − 3 − 2 − 5 −2 2 − −3 O 2 3 2 2 5 3 −1 1 x 2 2 − 3 − 2 − 5 −2 2 − −3 O 2 3 2 2 5 3 −1 1 3.奇偶性
3.奇偶性(1)f(x) = sinx,x E R任意x ER f(-x)= sin(-x) =-sinx =-f(x): f(x)=sinx,xe R 为奇函数(2)f(x) = cosx,x e R任意x ER f(-x)=cos(-x) = cosx= f(x): f(x)= cosx,xe R 为偶函数
3.奇偶性 (1) ( ) sin , f x x x R = 任意x R f x x ( ) sin( ) − = − = −sin x = − f x( ) = f x x x R ( ) sin , 为奇函数 (2) ( ) cos , f x x x R = 任意x R f x x ( ) cos( ) − = − = cos x = f x( ) = f x x x R ( ) cos , 为偶函数