4.4 对数函数的概念及图象
4.4 对数函数的概念 及图象
前面我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题.对这样的问题，在引入对数后，我们可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究
前面我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减 变化规律的问题.对这样的问题，在引入对数后，我们 可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究
复习：#指数函数模型当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x之间有怎样的关系？5730死亡x年后，生物体内碳14含量为y,x e[0,+]
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰 减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“ 半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年 数x之间有怎样的关系？ 复习：指数函数模型 死亡x年后，生物体内碳14含量为 , , ) 1 1 5730 0 2 = + x y x
问题：已知死亡生物体内碳14含量V，如何得知它死亡了的年数x呢？5730,x e[0,+o) 得 x= log.)= y,y e(0, 1]分析：由J即 x= log...r y,ye (o,1]130V2过y轴正半轴上任意一点(0,J)(0<y≤1）作x轴的平行线，与y=,(x≥0的图象有且只有一个交点（xo,Jo）.这就说明，对于任意一个y(0,1]，通过对应关系x=log斤y在[0,+)上都有唯一确定的1302数x和它对应，所以x也是y的函数
问题：已知死亡生物体内碳14含量y，如何得知它死亡了的年数x呢？ 分析：由 , , ) 得 = + 1 1 5730 0 2 x y x log , , ( = 1 1 5730 2 x y y 0 1 = log , , ( 5730 1 2 即 x y y 0 1 过y轴正半轴上任意一点 作x轴的平行线，与 的图象有且只有一个交点 .这就说明，对于任意一 个 ，通过对应关系 在 上都有唯一确定的 数x和它对应，所以x也是y的函数. (0 0 , 1 y y 0 0 )( ＜ ≤ ) ( x y 0 0 , ) y(0 1, = log 5730 1 2 x y 0,+) ,( ) = 1 1 5730 0 2 y x
x=log...r y,ye (o,1]解：673V2刻画了死亡生物体死亡年数x随体内碳14含量衰减而变化的规律yo习惯上记作： y=log 『x,xe(0,1l5730V20
解： = log , , ( 5730 1 2 x y y 0 1 刻画了死亡生物体死亡年数x随体内碳14含量衰减而 变化的规律. = log , , ( 5730 1 2 习惯上记作： y x x 0 1 y x 0 y O
对数函数定义：一般地，形如y=logax(a>0,a≠1,aeR)的函数叫对数函数注意：这里的x是指数函数y=a中的y，这里的y是指数函数中的x。所以，对数函数的定义域（0,+oo)就是指数函数的值域对数函数的值域R就是指数函数的定义域
对数函数 定义：一般地，形如 的函数 叫对数函数. y x a a a = log , , a ( 0 1 R) 注意：这里的x是指数函数 中的y，这里的y是指数函 数中的x . = x y a 所以，对数函数的定义域 就是指数函数的值域， 对数函数的值域R就是指数函数的定义域， (0,+)
例1求下列函数定义域(1) y = log3 x2(2) y=loga (4-x)(a >0,a ±1)解：（1)因为20，即x≠0，所以函数y=logx2的定义域是(x|x≠0)(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数y=log.(4-x)的定义域是(x|x<4)
例1 求下列函数定义域 = log 2 3 (1) y x (2) y x a a = − log , a (4 0 1 )( ) 解： (1) 因为 ，即 ，所以函数 的 定义域是 . 2 x 0 x 0 = log 2 3 y x x x| 0 (2) 因为 ，即 ，所以函数 的定义域是 . 4 0 − x x 4 y x = − loga (4 ) x x| 4
例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为x(1)该地的物价经过几年后会翻一番？(2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律2356789物价x14100年数y
例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年 后的物价为x. (1) 该地的物价经过几年后会翻一番？ (2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变 化规律. 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0
解: (1)1年后的物价为1+1×5%=1+5%2年后的物价为(1+5%)+(1+5%)×5%=(1+5%)3年后的物价为(1+5%)经过年后的物价为x=(1+5%)y=1.05)即 y = log1.0s x, x E[1,+o0令 x = 2, y= log1.05 2 ~ 14答：该地区的物价约经过14年后翻一番
解：(1) 1年后的物价为1+1×5%=1+5% 2年后的物价为(1+5%)+ (1+5%)×5%=(1+5%)² 3年后的物价为(1+5%)³ ······ 经过y年后的物价为x=(1+5%)y=1.05y 即 y x x = + log , 1 05 . ， 1 ) 令 . = = , log1 05 x y 2 2 14 答：该地区的物价约经过14年后翻一番
解： (2)根据函数 y=log1.os x，xe[1,+o），利用计算工具，可得下表：72345689110物价x0142328333740434547年数y由表中数据，该地区的物价随时间的推移在增长，物价每增加约一倍，所需时间逐渐缩短
解：(2) 根据函数 ，利用计算工具，可得 下表： y x x = + log , 1 05 . ， 1 ) 由表中数据，该地区的物价随时间的推移在增长，物 价每增加约一倍，所需时间逐渐缩短. 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47