5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式
5.5.1两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
诱导公式：(keZ),sin(α +2k) = sin αsin(元 +α)=-sin α,(ke Z),cos(α +2k元)=cos αcos(元+α)=-cosα,(k ez).tan(元+α)=tanα.tan(α + 2k元) = tan α（公式二）(公式一)sin(π-α)= sinα,sin(-α)=-sinαcos(元-α)=cosα,cos(-α) =cosα,tan(元 -α) = -tan αtan(-α)=-tanα.（公式三）（公式四）
（公式一） （公式二） （公式三） （公式四） 诱导公式：
诱导公式六：诱导公式五：元元sin(-α)=cosαsin(一+α)=cosα22元元COS-α)= sinαCOS+α)=-snα22
诱导公式五： ) sin 2 cos( ) cos 2 sin( − = − = ) sin 2 cos( ) cos 2 sin( + = − + = 诱导公式六：
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到简化、求值或证明的自的。这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系.如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函 数式进行恒等变形，可以达到简化、求值或证 明的目的。这种利用公式对三角函数式进行的 恒等变形就是三角恒等变换。 观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角 与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意 角α的三角函数的恒等关系.如果把特殊角换为 任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三 角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？下 面来研究这个问题
思考:你认为cos(α-β)= cosα -cos β成立吗？一般不成立，那如何用角α，β的正弦、余弦来表示cos(α-β) 呢?
你认为 cos( ) cos cos − = − 成立吗？ 一般不成立. 思考： 那如何用角 的正弦、余弦来表示 呢？ , cos( ) −
下面，我们来探究cos(α-β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系，不令α2k元+β,kEZ如图，设单位圆于x轴的正半轴相α终边交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边11隧边作角α，β，α-β，它们的终边分别与Pα-β终边单位圆相交于点P(cosa,sina)，pA(cosβ, sinβ), P(cos(a-β), sin(a-β)x0A(1,0)连接A,P，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P,重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与AP重合，从而AP=AP，所以AP=A,P1
下面，我们来探究cos(α-β)与角α，β的正弦、余弦之间 的关系.不妨令α≠2kπ+β, k∈Z. 如图，设单位圆于x轴的正半轴相 交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边 作角α，β ，α-β ，它们的终边分别与 单位圆相交于点P1 (cosα, sinα)， A1 (cosβ, sinβ)，P(cos(α-β), sin(α-β)). 连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着 点O旋转β角，则点A，P分别与点A1， P1重合.根据圆的旋转对称性可知， 与 重合，从而 ，所以 AP= A1P1 . AP A P1 1 AP A P = 1 1
根据两点间的距离公式，得cos(α-β)-17 +sin2 (α-β)=(cosα-cos β) +(sinα-sin β)化简得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsin β当α=2k元+β,kEZ时，容易证明上式仍然成立所以，对于任意角α，β有，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ此公式给出了任意角α，的正弦、余弦与其差角α-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-m）·P(xi, y), P2(x2, y2)平面上任意两点间的距离公式PP2 = /(x2 - x)2 +(y2 - )2
根据两点间的距离公式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos cos sin sin − − + − = − + − 2 2 2 2 1 化简得 cos cos cos sin sin ( − = + ) 当α=2kπ+β, k∈Z时，容易证明上式仍然成立. 所以，对于任意角α，β有， cos cos cos sin sin ( − = + ) 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之 间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 C( − ) . 平面上任意两点间的距离公式 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 ( , ), ( , ) ( ) ( ) P x y P x y P P x x y y = − + −
两角差的余弦公式(α-β= cosα cos β+sinαsin βCOS(简记作上述公式称为差角的余弦公式，C(α-β)注意：(1)公式中的、β是任意角(2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”右边是“这两角余弦积与正弦积的和(3）公式两边符号相反
(3)公式两边符号相反。 C( ) − cos cos cos sin sin ( − = + ) 上述公式称为差角的余弦公式，简记作 两角差的余弦公式 注意： (1)公式中的 、 是任意角; (2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”， 右边是“这两角余弦积与正弦积的和”；
例：利用两角差的余弦公式求：cos15解法1:cos15°=cos(45°－30°= cos45°cos30°+sin 45°sin30V2V2V3V6+V21XX22224解法2:cos15°=cos(60°-45°)= cos 60° cos 45°+sin 60°sin 45V2+V6思考：你会求sin75°的值吗？4
例：利用两角差的余弦公式求： cos15 cos15 = cos(45 −30 ) = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30 2 3 2 1 2 2 2 2 = + 6 2 4 + = 解法1： 解法2： cos15 = cos(60 − 45 ) = cos 60 cos 45 +sin 60 sin 45 1 2 3 2 2 2 2 2 = + 2 6 4 + 思考：你会求 sin 75 的值吗？ =
练习：1.cos45°cos15°+sin45°sin15°的值为（BV2V2V31BCD.22222V322. cos 40°cos 70°+ cos 20°cos50°=分析：原式=cos40°cos70°＋sin 70°sin40= cos(70°-40°) = cos30
练习： 1. cos 45 cos15 sin 45 sin15 2 3 1 2 . . . . 2 2 2 2 A B C D + − − 的值为 ( ) B 2. cos 40 cos 70 cos 20 cos50 _ + = = cos 40 cos 70 sin 70 sin 40 cos(70 40 ) cos30 + = − = 分 析：原 式 32