2.1.2两条直线平行和垂直的判定
2.1.2两条直线平行和垂直的判定
思考？我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线1与直线1,平行时，它们的斜率k与k,满足什么关系？
我们知道，平面中两条直线有两种位置 关系：相交、平行.当两条直线 1 l 与直线 2 l 平 行时，它们的斜率 1 k 与 2 k 满足什么关系？
两条直线平行的判定aα20/如图，若l / l,则I与l,的倾斜角α,与α,相等由α = αz, 可得 tan α, = tan α2,即k, = k,因此，若l // l2，则k, =k2反之，当k =k,时,tan α = tan α2，由倾斜角的范围及正切函数的单调性可知，α,=α，因此l，/ l
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 tan tan tan tan , , l l k k l l k k k k l l l l 及正切函数的单调性可知， ，因此 ∥ 反之，当 时， ，由倾斜角的范围 因此，若 ∥ ，则 由 ，可得 即 如图，若 ∥ 则 与 的倾斜角 与 相等， = = = = = = =
对于斜率分别为k,k,的两条直线l,l有l // l, k = k,当α,=α，=90°时，直线的斜率不存在，此时l / 若直线l,l,重合，此时k =k,用斜率证明三点共线时，常用这个结论
用斜率证明三点共线时，常用这个结论。 若直线 重合，此时 当 时，直线的斜率不存在，此时 ∥ 有 ∥ 对于斜率分别为 的两条直线 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 90 . , , l l k k l l l l k k k k l l = = = =
探究？显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.当直线1，垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等； 反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交 的位置关系中，垂直是最特殊的情形.当直线 1 l ， 2 l 垂 直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数 量关系？
两条直线垂直的判定设两条直线l,l,的斜率分别为ki,kz,则直线l,l,的方向向量分别是α=(1,k),b=(1,k,)于是lllaαlbα·b=0<kk,=-l所以l, 1 l, 一 k,k, =-1
1 0 1 , (1, ), (1, ) , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⊥ = − ⊥ ⊥ = = − = = l l k k l l a b a b k k l l a k b k l l k k 所以 于是 则直线 的方向向量分别是 设两条直线 的斜率分别为
当直线|或[的倾斜角为90°时，若」工「，则另一一条直线的倾斜角为0°：反之亦然如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1那么它们互相垂直即11l ←kk =-1
当直线 1 l 或 2 l 的倾斜角为 90°时，若 1 2 l l ⊥ ， 则另一条直线的倾斜角为 0°；反之亦然. 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直， 那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直 线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直即 1 2 1 2 l l k k ⊥ = −1
课堂小练1.下列说法中正确的有（）①若两条直线斜率相等，则两直线平行②若, P l,, 则 k, =k, ;③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行D.4 个A.1个B.2 个C.3 个答案：A解析：若两条直线斜率相等，则两直线平行或重合，①错误：若1Pl，则k，=k，或两直线的斜率都不存在，②错误；易知③正确；若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行或重合④错误.故选A
1.下列说法中正确的有( ) ①若两条直线斜率相等，则两直线平行； ②若 1 2 l l P ，则 1 2 l l k k = ； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案：A 解析：若两条直线斜率相等，则两直线平行或重合，①错误；若 1 2 l l P ，则 1 2 l l k k = 或两直线 的斜率都不存在，②错误；易知③正确；若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行或重合， ④错误.故选 A
2.已知直线1的倾斜角为30°，且直线1，工」，，则直线1，的斜率为(V33.V3C.-3D.V3BA -33答案：C解析：由题意可得直线！的斜率为由直线l1，，得直线l,的斜率为一~33
2.已知直线 1 l 的倾斜角为 30°，且直线 1 2 l l ⊥ ，则直线 2 l 的斜率为( ) A. 3 3 − B. 3 3 C. − 3 D. 3 答案：C 解析：由题意可得直线 1 l 的斜率为 3 3 .由直线 1 2 l l ⊥ ，得直线 2 l 的斜率为− 3
3.如果直线1，1，的斜率是一元二次方程x2－4－1=0的两根，那么直线1，」的位置关系是（）A平行B.垂直C.重合D以上均不正确答案：B解析：直线l，的斜率k，k,是～元二次方程x2-4x-1=0的两根故kk，=-1，所以l 1l,故选B
3.如果直线 1 l ， 2 l 的斜率是一元二次方程 2 x x − − = 4 1 0 的两根，那么 直线 1 l ， 2 l 的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.以上均不正确 答案：B 解析：直线 1 l ， 2 l 的斜率 1 k ， 2 k 是一元二次方程 2 x x − − = 4 1 0的两根， 故 1 2 k k = −1，所以 1 2 l l ⊥ .故选 B