3.3.1椭圆及其标准方程
3.3.1 椭圆及其标准方程 神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地 点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公 里的圆形轨道
椭圆(1)(2)3双曲线(3)抛物线椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线
椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线
探究1：观察做图过程：[1]绳长应当[1]取一条细绳，大于Fi、F,之间的距离。[2][2]把它的两端固定在由于绳长固定，所以M到两个定点的距离和也固定。板上的两点F1、F2[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢M慢移动看看画出的图形F1R
• [1]取一条细绳， • [2]把它的两端固定在 板上的两点F1、F2 • [3]用铅笔尖（M）把 细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形 F1 F2 M 观察做图过程：[1]绳长应当 大于F1、F2之间的距离。[2] 由于绳长固定，所以M 到 两个定点的距离和也固定。 探究1：
椭圆的定义平面内与两个定点F、F,的距离的和等于常数大于FF的点的轨迹叫做椭圆IME+IMF,=常数大于|FF注意：（1)这两个定点F，F,叫做椭圆的焦点（2）两焦点的距离叫做椭圆的焦距(IF,F2l-2c)M(3)常数=2a（4）常数2a>焦距2C思考：变短绳子是否一定能形成椭圆？常数2a=焦距2C轨迹是线段FF常数2a<焦距2C无轨迹
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数 的点的轨迹叫做椭圆。 （2）两焦点的距离叫做椭圆的焦距(|F1F2 |=2c) 一、椭圆的定义 F1 F2 M 1 2 | | | | MF MF + =常数 1 2 (大于 F F ) （4）常数 2a >焦距 2C 思考：变短绳子是否一定能形成椭圆？ 常数 2a =焦距 2C轨迹是线段 常数 2a <焦距 2C无轨迹F F1 2 （大于 F F1 2 ） (1) 注意： 这两个定点 1 2 F ,F叫做椭圆的焦点 (3) 2a 常数 =
探究：如何建立椭圆的方程？椭圆上的点满足|PF/+PF2建系为定值，设为2a，则2a>2cJ则: (x+c)"+y" +/-Be)=2a移项得V(x +Fe,0)h-VEe +y平方得(x+c)* + y2 =4a -4a(x-c)"+y2 +(x-c)"+ y整理设Px"是椭国上任意一点平方得设F该衣*预确症直线为)x辅(c线段FiF2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系
化列设建简式点系 F1 F2 x y 以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． P( x , y ) 设 P( x，y )是椭圆上任意一点 设F1F=2c，则有F1 (-c，0)、F2 (c，0) F (- , 0 c ) (c , 0) 1 F2 x y P( x , y ) (- , 0 c ) (c , 0) 椭圆上的点满足|PF1 |+|PF2 | 为定值，设为2a，则2a>2c 则： ( ) ( ) 2 2 x c y x c y a + + + - + = 2 ( ) ( ) 2 2 移项得 x c y a x c y + + = 2 - - + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 平方得 x c y a a x c y x c y + + = 4 - 4 - + - + + ( ) 2 2 2 整理得a x a x c y - c = - + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 平方得 a c x a y a a c - + = - O 探究：如何建立椭圆的方程？
思考怎么能让方程（α-）2+α2=αα2-更简洁？问题4:你能从图中找出表示a,c,α2-c2的线段吗？令 b=|MO|=~α?-c2VMb?x? +α2y? =b2a?a2L6x+=1 (a>b>0)CooLb2XFFi椭圆的标准方程焦点在x轴上，坐标为F(-c,0)，F(c,0)c? = α? - b?
2 2 令 - b MO a c = = 2 2 2 2 1 ( 0) x y a b a b + = > > 2 2 问题4： 你能从图中找出表示a c a c , , - 的线段吗？ 思考 b c a 怎么能让方程 （a c x a y a a c 2 2 2 2 2 2 2 2 - + = - ） ( ) 更简洁？ 2 2 2 2 2 2 b x a y b a + = 椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上，坐标为 1 2 F c F c ( - ，0) ,0) ， ( 2 2 2 c a b = −
如何推导焦点在>轴上的随圆的标准方程呢？XF1yFF.0XF22XV1(a>b>0)622a
x O F1 F2 y 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？ 2 2 2 2 1( 0). x y a b a b + = > > O F1 F2 x y
二.椭圆的标准方程F,0x0FFXF222+2222222bbd（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1：在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；α2=b2+c2(2）(3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；判断下列椭圆的焦点位置，并且求出a,b,cy?27x怎样判断椭圆的焦点=11=1.(2494在x轴上还是在y轴上？
（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； x O F1 F2 二 y .椭圆的标准方程 O F1 F2 y x (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上； 2 1 2 2 2 + = b y a x 2 1 2 2 2 + = b x a y （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； 2 2 2 a = b + c 怎样判断椭圆的焦点 在x轴上还是在y轴上？ 2 2 , , (1) 1,(2) 9 4 abc x y + = 判断下列椭圆的焦点位置，并且求出 2 2 1 4 y x + =
文方程1表示焦点在x轴上的随圆：4m则实数m的取值范围是方程2x2+3y2=1表示什么几何图形？思考：（1）若方程mx2+ny2=1表示椭圆，则m,n满足什么条件？m>0,n>0且mn变式(2)若焦点在y轴上 ；m>n>0n>m>0变式(3)若焦点在x轴上；
m > 0,n > 0且m ≠ n 变式(2)若焦点在y轴上； 方程2x +3y =1 2 2 表示什么几何图形？ 思考：（1）若方程 表示椭圆， 则m,n满足什么条件？ mx +ny =1 2 2 变式(3)若焦点在x轴上； m > n > 0 n > m > 0 2 2 1 4 x y x m 方程 + = 表示焦点在 轴上的椭圆， 则实数m的取值范围是
典型例题【例1】求满足下列条件的随圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为Fi(一4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10：(2)焦点坐标分别为(0，一2)，(0,2)，经过点(4,3V2);(3)经过两点(2，V2)，-1,2求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置：（焦点的位置不确定时要讨论）（2）设出椭圆的标准方程（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程
典型例题 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程. （焦点的位置不确定时要讨论） 【例 1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为 F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3 2)； (3)经过两点(2，－ 2)， －1， 14 2