
3.3.1椭圆及其标准方程
3.3.1 椭圆及其标准方程 神舟六号在进入太空后,先以远地点347公里、近地 点200公里的椭圆轨道运行,后经过变轨调整为距地343公 里的圆形轨道

椭圆(1)(2)3双曲线(3)抛物线椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线
椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线

探究1:观察做图过程:[1]绳长应当[1]取一条细绳,大于Fi、F,之间的距离。[2][2]把它的两端固定在由于绳长固定,所以M到两个定点的距离和也固定。板上的两点F1、F2[3]用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢M慢移动看看画出的图形F1R
• [1]取一条细绳, • [2]把它的两端固定在 板上的两点F1、F2 • [3]用铅笔尖(M)把 细绳拉紧,在板上慢 慢移动看看画出的图 形 F1 F2 M 观察做图过程:[1]绳长应当 大于F1、F2之间的距离。[2] 由于绳长固定,所以M 到 两个定点的距离和也固定。 探究1:

椭圆的定义平面内与两个定点F、F,的距离的和等于常数大于FF的点的轨迹叫做椭圆IME+IMF,=常数大于|FF注意:(1)这两个定点F,F,叫做椭圆的焦点(2)两焦点的距离叫做椭圆的焦距(IF,F2l-2c)M(3)常数=2a(4)常数2a>焦距2C思考:变短绳子是否一定能形成椭圆?常数2a=焦距2C轨迹是线段FF常数2a<焦距2C无轨迹
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数 的点的轨迹叫做椭圆。 (2)两焦点的距离叫做椭圆的焦距(|F1F2 |=2c) 一、椭圆的定义 F1 F2 M 1 2 | | | | MF MF + =常数 1 2 (大于 F F ) (4)常数 2a >焦距 2C 思考:变短绳子是否一定能形成椭圆? 常数 2a =焦距 2C轨迹是线段 常数 2a <焦距 2C无轨迹F F1 2 (大于 F F1 2 ) (1) 注意: 这两个定点 1 2 F ,F叫做椭圆的焦点 (3) 2a 常数 =

探究:如何建立椭圆的方程?椭圆上的点满足|PF/+PF2建系为定值,设为2a,则2a>2cJ则: (x+c)"+y" +/-Be)=2a移项得V(x +Fe,0)h-VEe +y平方得(x+c)* + y2 =4a -4a(x-c)"+y2 +(x-c)"+ y整理设Px"是椭国上任意一点平方得设F该衣*预确症直线为)x辅(c线段FiF2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系
化列设建简式点系 F1 F2 x y 以F1、F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系. P( x , y ) 设 P( x,y )是椭圆上任意一点 设F1F=2c,则有F1 (-c,0)、F2 (c,0) F (- , 0 c ) (c , 0) 1 F2 x y P( x , y ) (- , 0 c ) (c , 0) 椭圆上的点满足|PF1 |+|PF2 | 为定值,设为2a,则2a>2c 则: ( ) ( ) 2 2 x c y x c y a + + + - + = 2 ( ) ( ) 2 2 移项得 x c y a x c y + + = 2 - - + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 平方得 x c y a a x c y x c y + + = 4 - 4 - + - + + ( ) 2 2 2 整理得a x a x c y - c = - + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 平方得 a c x a y a a c - + = - O 探究:如何建立椭圆的方程?

思考怎么能让方程(α-)2+α2=αα2-更简洁?问题4:你能从图中找出表示a,c,α2-c2的线段吗?令 b=|MO|=~α?-c2VMb?x? +α2y? =b2a?a2L6x+=1 (a>b>0)CooLb2XFFi椭圆的标准方程焦点在x轴上,坐标为F(-c,0),F(c,0)c? = α? - b?
2 2 令 - b MO a c = = 2 2 2 2 1 ( 0) x y a b a b + = > > 2 2 问题4: 你能从图中找出表示a c a c , , - 的线段吗? 思考 b c a 怎么能让方程 (a c x a y a a c 2 2 2 2 2 2 2 2 - + = - ) ( ) 更简洁? 2 2 2 2 2 2 b x a y b a + = 椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上,坐标为 1 2 F c F c ( - ,0) ,0) , ( 2 2 2 c a b = −

如何推导焦点在>轴上的随圆的标准方程呢?XF1yFF.0XF22XV1(a>b>0)622a
x O F1 F2 y 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢? 2 2 2 2 1( 0). x y a b a b + = > > O F1 F2 x y

二.椭圆的标准方程F,0x0FFXF222+2222222bbd(1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1:在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0;α2=b2+c2(2)(3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上;判断下列椭圆的焦点位置,并且求出a,b,cy?27x怎样判断椭圆的焦点=11=1.(2494在x轴上还是在y轴上?
(2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0; x O F1 F2 二 y .椭圆的标准方程 O F1 F2 y x (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上; 2 1 2 2 2 + = b y a x 2 1 2 2 2 + = b x a y (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1; 2 2 2 a = b + c 怎样判断椭圆的焦点 在x轴上还是在y轴上? 2 2 , , (1) 1,(2) 9 4 abc x y + = 判断下列椭圆的焦点位置,并且求出 2 2 1 4 y x + =

文方程1表示焦点在x轴上的随圆:4m则实数m的取值范围是方程2x2+3y2=1表示什么几何图形?思考:(1)若方程mx2+ny2=1表示椭圆,则m,n满足什么条件?m>0,n>0且mn变式(2)若焦点在y轴上 ;m>n>0n>m>0变式(3)若焦点在x轴上;
m > 0,n > 0且m ≠ n 变式(2)若焦点在y轴上; 方程2x +3y =1 2 2 表示什么几何图形? 思考:(1)若方程 表示椭圆, 则m,n满足什么条件? mx +ny =1 2 2 变式(3)若焦点在x轴上; m > n > 0 n > m > 0 2 2 1 4 x y x m 方程 + = 表示焦点在 轴上的椭圆, 则实数m的取值范围是

典型例题【例1】求满足下列条件的随圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为Fi(一4,0),F2(4,0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10:(2)焦点坐标分别为(0,一2),(0,2),经过点(4,3V2);(3)经过两点(2,V2),-1,2求椭圆标准方程的解题步骤:(1)确定焦点的位置:(焦点的位置不确定时要讨论)(2)设出椭圆的标准方程(3)用待定系数法确定a、b的值,写出椭圆的标准方程
典型例题 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 求椭圆标准方程的解题步骤: (1)确定焦点的位置; (2)设出椭圆的标准方程; (3)用待定系数法确定a、b的值,写出椭圆的标准方程. (焦点的位置不确定时要讨论) 【例 1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为 F1(-4,0),F2(4,0),并且椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 10; (2)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 2); (3)经过两点(2,- 2), -1, 14 2