82-3.单位元、逆元、消去律内容提要2.1单位元2.2逆元2.3乘方2.4消去律2.5有限群的另一定义2.6加群2.7元素的阶
§2-3 .单位元、逆元、消去律 内容提要 2.1单位元 2.2逆元 2.3 乘方 2.4消去律 2.5有限群的另一定义 2.6 加群 2.7 元素的阶
在这一节里我们要证明群的几个极重要的性质2.1单位元定理1在一个群里存在一个并且只存在一个元，能使ea=ae=a对于G的任意元 α 都对证明..证完.定义1一个群G的唯一的能使eα三ae三a（是的任意元）的元e叫做群G的单位元
在这一节里我们要证明群的几个极重要的性质． 证明.证完． 定义1 一个群 的唯一的能使 (是的任意元） 的元 叫做群 的单位元． G ea ae a = = e G 单位元 定理１在一个群里存在一个并且只存在一 个元，能使 对于 的任意元 都对． ea ae a = = G a 2.1
2.2逆元定理2 对于群 G的每一个元 α 来说，在 G 里存在一个而且只存在一个元α-1，能使α-'α= aα-l =e证明.证完.定义2唯一的能使a-la=aa-l=e的元α叫做元α的逆元（有时简称逆）
逆元 定理２ 对于群 的每一个元 来说，在 里存在 一个而且只存在一个元 ，能使 2.2 G a G 1 a − 1 1 a a aa e − − = = 证明 .证完. 定义2 唯一的能使 的元 叫做元 的逆元（有时简称逆）． 1 1 a a aa e − − = = 1 a − a
例1我们已经知道全体不等于零的有理数对于普通乘法来说作成一个群：这个群的单位元1，α的逆元是例2全体整数对于普通加法来说作成一个群．这个群的单位元是零，a的逆元是一α
例１ 我们已经知道全体不等于零的有理数对于普通 乘法来说作成一个群．这个群的单位元１， 的逆元 是 ． a 1 a 例２ 全体整数对于普通加法来说作成一个群．这个群 的单位元是零， a 的逆元是 −a．
2.3乘方当是正整数时，我们已经规定过符号的意义，并且(1)n+ma"am = a'2(2)(a")" = amm现在我们利用唯一的单位元 e和α 的逆元α-规定：=ea
2.3 乘方 当是正整数时，我们已经规定过符号的意义，并且 （１） （２） n m n m a a a + = ( )n m nm a a = 现在我们利用唯一的单位元 和 的逆元 规定： 0 a e = e a 1 a −
a-n = (a-l)n(n正整数）这样规定以后，我们很容易算出，（1），（2）两式对于任何整数n、m都对.问题：(ab)n=anbn??
m 问题: ?? ( )n n n ab a b = 1 ( ) n n a a − − = (n正整数） 这样规定以后，我们很容易算出，（１），（２）两式对于任何整数 、 都对． n
2.4消去律定理3一个群的乘法适合，x x 那么;VI．消去律：若ax = ax若 ya=ya，那么=证明推论在一个群里，方程ax=b，ya=b各有唯一的解
推论 在一个群里，方程 ax b = ， ya b = 各有唯一的解． 证明 . 2.4消去律 定理３ 一个群的乘法适合 VI．消去律：若 ， 那么； 若 ，那么 ． ' ax ax = ' x x = ' ya y a = ' y y =
2.5有限群的另一定义假如一个群它一定满足：I.闭合性IⅡI.结合律VI.消去律现在我们反过来问：假定一个集合适合I，Ⅱ，VI，它是不是一定构成群？例3G{所有不等于零的整数}对于普通乘法来说这个G适合I，Ⅱ，VI，可是不构成群.但如果G是一个有限集合时，情形就不同了
2.5有限群的另一定义 假如一个群它一定满足: I. 闭合性 II. 结合律 VI. 消去律 现在我们反过来问：假定一个集合适合Ⅰ，Ⅱ，VI，它 是不是一定构成群? 例3 ＝{所有不等于零的整数}． 对于普通乘法来说这个 适合Ⅰ，Ⅱ，VI，可是不构 成群． 但如果 是一个有限集合时，情形就不同了． G G G
定理4一个有乘法的有限集合G若是适合I，Ⅱ和VI那么构成群G证明我们使用定义V.先证明，ax = b在 G中有解.假定G有n个元，G= (a,...an)我么用α从左边来乘所有的α，而作成一个集合aG=aa.aan....证完
定理4 一个有乘法的有限集合 若是适合Ⅰ，Ⅱ和VI, 那么构成群 ． 证明 我们使用定义IV, 先证明， ax b = G G 在 G 中有解． G n 1 { , } G a a = n 假定 有 个元， 我么用 a 从左边来乘所有的 ai 而作成一个集合 1 { , }n aG aa aa = .证完
由这个定理我们可以得到有限群的另一定义，我们说，一个有乘法的有限不空集合作成一个群G，假如I，Ⅱ，VI能被满足.一个有限集合的乘法表可以看出什么？A = (a,b,c,d),由表dbacbdcaabbdaCbdaCcddbca
由这个定理我们可以得到 有限群的另一定义 我们说，一个有乘法的有限不空集合 作成一个群 ，假如Ⅰ，Ⅱ，VI能被满足． 一个有限集合的乘法表可以看出什么? G A = {a,b,c,d} ,由表 。 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b