89.子群的陪集9.1子群的左陪集9.2子群的右陪集9.3子群的指数9.4拉格朗日定理在这一节里我们要利用群的一个子群来作一个的分类，然后由这个分类推出一个重要的定理：我们从等价关系开始
§9.子群的陪集 9.1子群的左陪集 9.2子群的右陪集 9.3子群的指数 9.4 拉格朗日定理 - 在这一节里我们要利用群的一个子群来作一个的分类，然 后由这个分类推出一个重要的定理．我们从等价关系开始
9.1子群的左陪集我们看一个群 G和 G的一个子群H：我们规定一个的元G中间的关系一～：α～b，当而且只当 α-beH的时候给了α和 b，我们可以唯一决定，α-"b 是不是属于 H，所以～是一个关系并且：
9.1子群的左陪集 我们看一个群 和 的一个子群 ．我们规定一个的 元 中间的关系 ： G G H G a b ，当而且只当 1 a b H − 的时候 给了 和 ，我们可以唯一决定， 是不是属于 ，所以 是一 个关系,并且: a b 1 a b − H
α'a=eH 所以 α～αα"beH=(α"b)-" =b-'aeH所以I1a~b=b~a所以IIIb~c=a~ca~b
， 所以 1 a a e H − = a a 1 1 1 1 a b H a b b a H ( ) − − − − = a b b a Ⅰ ， 所以 Ⅱ Ⅲ .所以 a b b c a c
这样，一是一个等价关系，利用这个等价关系，我们可以得到一个C的分类[a],[b],[c].....,这里[a] = (x x ~ a]称为a的等价类引理1 [a]=aH=[ah| h属于]证明：(1)VxE[a]=...=xEH(2)VxEH=......=xE[a]
G [ ] { } a x x a = x a x H [ ] x H x a[ ] 这样， 是一个等价关系．利用这个等价关系，我们可以得到一个 的分类: [a],[b],[c].,这里 称为a的等价类 (2) 引理1 [a]=aH={ah| h属于} 证明: (1)
～所决定的类H叫做子群的左陪集定义1由上面的等价关系由引理1左陪集既是等价类，又是子集的乘法aH由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质：aH =bH α-'beH(1)bEaH=aH =bH(2)(3)eH=H(4)aH=H台aEH或者aHnbH=O(5）任意两个左陪集aH=bH
定义1 由上面的等价关系 所决定的类 H 叫做子群的左陪集. 1 aH bH a b H − = b aH aH bH = eH H= aH H a H = aH bH = aH bH = 由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH. 由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质: (1) (2) (3) (5) 任意两个左陪集 或者 (4)
(23)，((123) (132)(12)，(13),例 1 G= S, = ((1)H = {(1)(12))那么（注意我们规定的乘法顺序和书上的相反）(12))(1)H ={(1)(13)H,= ((13) (123))(23)H = ((23) (132))
3 G S = ={(1) (12) (13) (23) (123) (132)} H ={(1) (12)} 例１ ， ， ， ， ， ， 那么(注意我们规定的乘法顺序和书上的相反) (1) {(1) H = (12)} (13) {(13) H = (123)} (23) {(23) H = (132)} ， ，
注意(12)H=?？(123)H=??？(132)H=??这样，子群H把整个G分成(1)H,(13)H,(23)H三个不同的左陪集这三个左陪集放在一起显然正是G，因此，它们的确是G的一个分类
注意 (12)H=?? (123)H=??? (132)H=?? 这样，子群 把整个 分成(1)H,(13)H, (23)H三个不 同的左陪集．这三个左陪集放在一起显然正是 ， 因此，它们的确是 的一个分类． G G H G
9.2子群的右陪集比照左陪集，给出右陪集，以及性质右陪集是从等价关系～α～b，当而且只当ab-"εH 的时候·定义2由等价关系所决定的类叫做子群H的右陪集．包含α的陪集我们用符号Ha来表示，性质2(1)------(5)
9.2子群的右陪集 比照左陪集,给出右陪集,以及性质 a b 1 ab H − ⚫右陪集是从等价关系 ： ，当而且只当 的时候 H a Ha ⚫定义2由等价关系 所决定的类叫做子群 的右陪集．包含 的陪集我们用符号 来表示． 性质2 (1)-(5)
9.3子群的指数引理2 H,aH,Hb 之间存在1-1映射.证明：..H的左陪集所作成的集合记做S,，H的右陪集所作成的集合叫做S
H aH Hb , , 9.3子群的指数 引理2 之间存在1-1映射. 证明:. H l S H r 的左陪集所作成的集合记做 S , 的右陪集所作成的集合叫做
定理1 S,和S之间存在1-1映射，证明 构造：Φ:S,→Sd : Ha→a'H是一个 S, 与 S，间的一一映射.因为:Ha=Hb=ab-"H=(ab-")-=ba-"eH=a"H=b-"H(1)所以右陪集Ha的象与α的选择无关，Φ是一个S,到 S,的映射；
定理１ Sr 和 Sl 之间存在1-1映射． 是一个 与 间的一一映射．因为： 证明 构造: : : r l S S → 1 Ha a H → − r S l S (1) 1 1 1 1 1 1 Ha Hb ab H ab ba H a H b H ( ) − − − − − − = = = 所以右陪集 的象与 的选择无关， 是一个 到 的映射； Ha a r S l S