s5.有限域我们要讨论的第一中特殊类型的域是有限域。有限域在实验设计和编程理论中都有应用定义一个只有限个元素的域叫做一个有限域例如，特征是p的素域就是一个有限域先看一看，一个有限域应该有什么性质定理1一个有限域E有p"一元素，这单p是E的特征而n是E在它的素域△上的次数
§5.有限域 我们要讨论的第一中特殊类型的域是有限域。有 限域在实验设计和编程理论中都有应用。 定义 一个只有限个元素的域叫做一个有限域。 例如，特征是p的素域就是一个有限域。 先看一看，一个有限域应该有什么性质。 n 定理 1 一个有限域E有 p 一元素，这里p是E的特征 而n是E在它的素域△上的次数
证明E的特征一定是一个素数p，不然的话，E所含的素域已经有无限多个元，而E不可能是一个有限域把E所含的素域记作△。因为E只含有限个元，所以它一定是△的一个有限扩域而（E:△)=n。这样，E的每一个元可以唯一地写成aa+a,α,+...+anα的形式，这里a,E△，而αi,α2,α是向量空间E在△上的一个基。由于△只有p个元，所以对于每一个α,有p种选择法，因而E一共有个p"元。证完
证明 E的特征一定是一个素数p，不然的话，E所含 的素域已经有无限多个元，而E不可能是一个有限域。 把E所含的素域记作△。因为E只含有限个元，所以 它一定是△的一个有限扩域而 。这样，E的每 一个元可以唯一地写成 的形式，这里 ，而 是向量空间E在△ 上的一个基。由于△只有p个元，所以对于每一个 有 p种选择法，因而E一共有个 元。证完。 (E n : =) 1 1 2 2 n n a a a + + + i a 1 2 , , , n i a n p
定理2令有限域E的特征是素数p，E所含素域是△，而E有个q=p"元。那么E是多项式x1-x在^上的分裂域。任何两个这样的域都同构。证明E的不等于零的元对于乘法来说，作成一个群这个群的阶是q-1，单位元是1。所以αq-1 =1,αE,α0由于09=0，所以有α=α, αEE因此，用αi,α2,α。来表示E的元，在E里多项式x -x=(x-a,)i=l
定理 2 令有限域E的特征是素数p，E所含素域是 △，而E有个 元。那么E是多项式 在△上的分裂域。任何两个这样的域都同构。 n q p = q x x − 证明 E的不等于零的元对于乘法来说，作成一个群。 这个群的阶是 ，单位元是1。所以 由于 ，所以有 因此，用 来表示E的元，在E里多项式 q −1 1 1, , 0 q E − = 0 0 q = , q = E 1 2 , , , q ( ) 1 q q i i x x x a = − = −
而且显然E=A(αi,α2,"",α.这样，E是多项式x9一x在△上的分裂域但特征为p的素域都同构，而多项式x一x在同构的域上的分裂域也同构，所以任何有p”个元素的有限域都同构。证完
而且显然 这样，E是多项式 在△上的分裂域。 但特征为p的素域都同构，而多项式 在同构的 域上的分裂域也同构，所以任何有 个元素的有限域 都同构。证完。 E = ( 1 2 , , , q ) q x x − q x x − n p
现在我们证明有限域的存在定理 3 令△是特征为p的素域，而 q=p"(n≥l)。那么多项式x-x在^上的分裂域E是一个有g个元的有限域。证明 E=△(αi,αz,,α)，这里 α, 是 f(μ)=x-x在域E里的根。由于E的特征是p，f(x)的导数f(x)= p"xq-1 -1=-1所以f(x)与f'(x)互素。这样，由IV，6，推论2，f(x)的q个根都不相同。我们断言，f(x)的这q个根作成E的一个子域E,。这是因为，由Ⅲ，4
现在我们证明有限域的存在。 定理 3 令△是特征为p的素域，而 。那么 多项式 在△上的分裂域E是一个有q个元的有限 域。 ( 1) n q p n = q x x − 证明 ，这里 是 在域E里 的根。由于E的特征是p， 的导数 所以 与 互素。这样，由Ⅳ，6，推论2， 的q 个根都不相同。 我们断言， 的这q个根作成E的一个子域 。这 是因为，由Ⅲ，4， E = ( 1 2 , , , q ) i a ( ) q f x x x = − f x( ) ( ) 1 1 1 n q f x p x − = − = − f x( ) f x ( ) f x( ) f x( ) E1
=αp"-αp"=α,-αd=(α,±0二α,这就是说，α,-α,和(α,0)仍是(x)的根而属于 E，因而E是E的一个子域但E含^，也含一切α，所以E,就是多项式x一x在△上的分裂域。这样E=E，而E恰好有个元。证完
( ) n p n n p p i j i j i j − = − = − ( 0) n n n p p i i i j p j j j = = 这就是说， 和 仍是 的根而属于 ，因 而 是E的一个子域。 但 含△，也含一切 ，所以 就是多项式 在△上的分裂域。这样 ，而E恰好有q个元。证 完。 i j − ( 0) i j j f x( ) E1 E1 E1 i E1 q x x − E E = 1
以上证明了，给了素数p和正整数n，有而且（抽象地来看）只有一个恰好含p”个元的有限域存在我们知道，单扩域是比较容易掌握的一种扩域现在我们要进一步证明，一个有限域一定是它所含素域的一个单扩域。我们先证明引理令G是一个有限交换群，而m是G的元的阶中最大的一个。那么m能被G的每一个元整除
以上证明了，给了素数p和正整数n，有而且（抽象 地来看）只有一个恰好含 个元的有限域存在。 我们知道，单扩域是比较容易掌握的一种扩域现在 我们要进一步证明，一个有限域一定是它所含素域的 一个单扩域。我们先证明 n p 引理 令G是一个有限交换群，而m是G的元的阶中最 大的一个。那么m能被G的每一个元整除
证明容易看出：若α和b是G的两个元，α的阶是l，b的阶是l，而（,l2)=1，那么ab的阶是l（参看Ⅱ，9，习题3）。假定G的元c的阶n不能被m。那么有素数p存在，使m=p'm, (p,m)=1n=p'n，j>i令m是元d的阶。于是a=dp的阶是mb=c"的阶是p于是根据前面的结论ab的阶是p'm>m这与m是G的元的阶中最大的一个的假设矛盾。证完
证明 容易看出：若 和b是G的两个元， 的阶是 ，b的阶是 ，而 ，那么 的阶是 （参看Ⅱ， 9，习题3）。 假定G的元c的阶n不能被m。那么有素数p存在，使 令m是元d的阶。于是 于是根据前面的结论， 这与m是G的元的阶中最大的一个的假设矛盾。证完。 a a 1 l 2 l (l l 1 2 , 1 ) = ab 1 2 ll 1 1 , , 1 ( ) i m p m p m = = 1 , j n p n j i = 1 1 i p n j a d m b c p = = 的阶是 的阶是 1 j ab p m m 的阶是
定理4一个有限领域E是它的素域^的一个单扩域
定理 4 一个有限领域E是它的素域△的一个单扩域
证明设E含有q个元。E的非零元对于E的乘法来说作成一个交换群G，它的阶是g一1。令m是G的元的阶中最大的一个，那么由引理α"=l，对于任意a, G这就是说，多项式x"-1至少有g-1个不同的根。因此由IV，6，推论，m≥q-1但由Ⅱ，9，定理3，m≤g-1由以上两个式子得 m=q-1。这就是说，G有一个元α，它的阶是g-1，因而G是一个循环群：G=(a)这样，E是添加α于△所得单扩域：E=△(α)证完
证明 设E含有q个元。E的非零元对于E的乘法来说 作成一个交换群G，它的阶是 。令m是G的元的阶 中最大的一个，那么由引理 这就是说，多项式 至少有 个不同的根。因此由 Ⅳ，6，推论， 但由Ⅱ，9，定理3， 由以上两个式子得 。这就是说，G有一个 元 ，它的阶是 ，因而G是一个循环群： 。 这样，E是添加 于△所得单扩域： 证完 q −1 1, m i i a a G = 对于任意 1 m x − q −1 m q −1 m q −1 m q = −1 q −1 G a = ( ) E = ( )