教案2021-2022学年第二学期课程名称：复变函数与积分变换A课程性质：专业基础课授课学时：48学时授课对象：各理工科专业数统学院2022
教 案 2021-2022 学年第二学期 课程名称： 复变函数与积分变换 A 课程性质： 专业基础课 授课学时： 48 学时 授课对象： 各理工科专业 数统学院 2022
全课程教案一、基本信息复变函数与积分学分课程名称课程编号070100125课程性质专业基础课3变换受48学时，实验0学时，上机0学时，实训0学时总学时48。其中讲授教学安排4授课时间：第5周至第17周周学时相关课程包括主要先修高等数学与环节二、 授课对象基本情况年级20201、2专业测控班级修读人数60授课对象2020级测控专业1-2班分析三、教学内容与安排《复变函数与积分变换》课程是工科电气、电子、通讯、自动化、水利、测绘等许多专业的必修课，也是物理、力学、港口工程等专业一些后继课程的必要基础。我校在很早以前就在不同专业开设此课程。该课程包括内容互不相同，但又联系密切的”复变函数”和”积分变换”两部分内容。其中复变函数理论诞生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是这门学科的创建者。十九世纪，通过柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等一些著名学者的大量奠基性工作，这门学科得到了课程简介全面发展。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时被公认是最丰饶的数学与要求分支和抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域。复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如电磁学、热学、流体力学、弹性理论中的平面问题的有力工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。积分变换主要是傅立叶变换和拉普拉斯变换，他是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而且在自然科学和工程技术领域中均有着广泛的应用，已经成为不可缺少的运算工具。课程目标支撑毕业要求指标点与课程关联度1．树立“四个正确认识”，培养具有家国情怀和国际视野的有本领、勇担当、善创新的时代新人；课程目标1H2．良好的职业素养：规范有序、诚信守时、合作沟通；3.辨证思维能力，自主学习、终身学习习惯。4、掌握复变函数、积分变换基础理论和基本方法，为相关专业课程提供H3、4、5、6、7、8、9、10数学基础；
全课程教案 一、基本信息 课程名称 复变函数与积分 变换 课程编号 070100125 课程性质 专业基础课 学分 3 教学安排 总学时 48。其中讲授 48 学时，实验 0 学时，上机 0 学时，实训 0 学时 授课时间：第 5 周至第 17 周 周学时 4 相关课程 与环节 包括主要先修高等数学 二、授课对象 基本情况 专业 测控 年级 2020 班级 1、2 修读人数 60 授课对象 分析 2020 级测控专业 1-2 班 三、教学内容与安排 课程简介 与要求 《复变函数与积分变换》课程是工科电气、电子、通讯、自动化、水利、测绘等许多专业的 必修课，也是物理、力学、港口工程等专业一些后继课程的必要基础。我校在很早以前就在不同 专业开设此课程。该课程包括内容互不相同，但又联系密切的"复变函数"和"积分变换"两部分内 容。其中复变函数理论诞生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是这门学科的创建者。 十九世纪，通过柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等一些著名学者的大量奠基性工作，这门学科得到了 全面发展。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时被公认是最丰饶的数学 分支和抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，开拓了复 变函数理论更广阔的研究领域。复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛 的应用，是解决诸如电磁学、热学、流体力学、弹性理论中的平面问题的有力工具，它的基础内 容已成为理工科很多专业的必修课程。积分变换主要是傅立叶变换和拉普拉斯变换，他是通过积 分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而 且在自然科学和工程技术领域中均有着广泛的应用，已经成为不可缺少的运算工具。 课程目标 课程目标 支撑毕业要求指标点 与课程关联度 1. 树立“四个正确认识”，培养具 有家国情怀和国际视野的有本领、勇 担当、善创新的时代新人; 2. 良好的职业素养：规范有序、诚 信守时、合作沟通; 3. 辨证思维能力，自主学习、终身 学习习惯。 1 H 4、掌握复变函数、积分变换基础理 论和基本方法，为相关专业课程提供 数学基础; 3、4、5、6、7、8、9、10 H
5、了解课程在相关学科方面的应用和发展背景：6、掌握柯西积分定理、柯西积分公式和留数理论等复变函数基础理论，能利用理论解决相关专业领域的一些实际问题：7、掌握傅立叶变换、拉普拉斯变换的原理和方法，并应用于研究和解决H6、7、8、9、10实际问题；8、通过系统地学习和严格训练，使学生全面掌握复变函数的基本理论、基本方法：培养学生的抽象思维、逻辑思维、推理论证、复杂计算和实际应用等方面的能力。9、复变函数极限、连续、导数、微分、级数与高等数学中相关概念的类比学习：1-10H10、利用复变函数中的留数解决实积分的计算、利用积分变换解常微分方程和偏微分方程。1.教学方法及要求：以课堂教学为主，采用讲授法、讨论法、任务驱动法，充分利用现代化技术，强调学生预习与复习，布置课后思考题，充分发挥学生的主动性，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。教学方法2.课程思政教学方法及要求：突出思政引领，将思政教育有机地融入课程教学。通过思政案例等形式适时将课程所含思政元素有机融入课程教学，让学生既认识到课程的重要性，同时又提高政治素养，获得一加一大于二的效果，达到立德树人的根本任务，重点：复数及初等函数的计算，解析函数的概念与性质，解析函数的判定，柯西黎曼方程，Cauchy定理、Cauchy积分公式，解析函数和调和函数的关系，解析函数的泰勒展式与罗朗展式，孤立奇点的概念及分类，留数理论，傅立叶变换、拉普拉斯变换及其应用。教学重点与难点难点：复变函数的映射性质，函数解析的概念，复合闭路定理及其应用，Cauchy积分公式、高阶导数公式及其应用，孤立奇点的分类，解析函数的泰勒展式与罗朗展式，留数计算实积分、傅立叶变换、拉普拉斯变换性质及应用。知识单元知识点课内学时教学方式作业/测验课外学习6讲授102第一章复数与复变函数8154第二章解析函数讲授课程各教学环节内8154第三章复变函数的积分讲授容与安排64级数讲授10第四章留数8讲授154第五章6讲授102第七章傅里叶变换6讲授102第八章拉普拉斯变换注：课程目标、教学方法、重难点、教学环节（知识单元、知识点等）等内容应与教学大纲、教学日历一致。课外学习可包括学时和内容要求
5、了解课程在相关学科方面的应用 和发展背景； 6、掌握柯西积分定理、柯西积分公 式和留数理论等复变函数基础理论， 能利用理论解决相关专业领域的一些 实际问题; 7、掌握傅立叶变换、拉普拉斯变换 的原理和方法，并应用于研究和解决 实际问题; 8、通过系统地学习和严格训练，使 学生全面掌握复变函数的基本理论、 基本方法；培养学生的抽象思维、逻 辑思维、推理论证、复杂计算和实际 应用等方面的能力。 6、7、8、9、10 H 9、复变函数极限、连续、导数、微 分、级数与高等数学中相关概念的类 比学习; 10、利用复变函数中的留数解决实积 分的计算、利用积分变换解常微分方 程和偏微分方程。 1-10 H 教学方法 1.教学方法及要求：以课堂教学为主，采用讲授法、讨论法、任务驱动法，充分利用现代化 技术，强调学生预习与复习，布置课后思考题，充分发挥学生的主动性，结合计算机实习与多媒 体辅助教学，提高教学效果。 2.课程思政教学方法及要求：突出思政引领，将思政教育有机地融入课程教学。通过思政案 例等形式适时将课程所含思政元素有机融入课程教学，让学生既认识到课程的重要性，同时又提 高政治素养，获得一加一大于二的效果，达到立德树人的根本任务。 教学重点 与难点 重点： 复数及初等函数的计算，解析函数的概念与性质，解析函数的判定，柯西黎曼方 程，Cauchy 定理、Cauchy 积分公式，解析函数和调和函数的关系，解析函数的泰勒展式与罗朗展 式，孤立奇点的概念及分类，留数理论，傅立叶变换、拉普拉斯变换及其应用。 难点： 复变函数的映射性质，函数解析的概念，复合闭路定理及其应用，Cauchy 积分公 式、高阶导数公式及其应用，孤立奇点的分类，解析函数的泰勒展式与罗朗展式，留数计算实积 分、傅立叶变换、拉普拉斯变换性质及应用。 课程各教 学环节内 容与安排 知识单元 知识点 课内学时 教学方式 作业/测验 课外学习 第一章 复数与复变函数 6 讲授 10 2 第二章 解析函数 8 讲授 15 4 第三章 复变函数的积分 8 讲授 15 4 第四章 级数 6 讲授 10 4 第五章 留数 8 讲授 15 4 第七章 傅里叶变换 6 讲授 10 2 第八章 拉普拉斯变换 6 讲授 10 2 注：课程目标、教学方法、重难点、教学环节（知识单元、知识点等）等内容应与教学大纲、 教学日历一致。课外学习可包括学时和内容要求
四、考核方式考核项目考核内容考核方式分值或占比期末考试闭卷50课程教学内容小测验20各知识模块随堂考试作业10课后习题提交作业课堂表现20出勤率和课堂参与度考勤、课堂讨论、课堂展示等注：考核方式应符合课程教学大纲的要求。五、教学资源推荐教材《复变函数与积分变换》[M，马柏林，北京大学出版社,2015《复变函数与积分变换》（第四版），西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社，1996.《积分变换》（第三版），南京工学院数学教研组，高等教育出版社，1989.参考材料阿尔福斯.复分析[M]．上海科学技术出版社，1984中国大学Mooc，超学银在线，网络教学综合平台http://pt.csust.edu.cn/meol/homepage/common/课程资源教材分析第六章共形映射主要为自学内容与处理
四、考核方式 考核项目 考核内容 考核方式 分值或占比 期末考试 课程教学内容 闭卷 50 小测验 各知识模块 随堂考试 20 作业 课后习题 提交作业 10 课堂表现 出勤率和课堂参与度 考勤、课堂讨论、课堂展示等 20 注：考核方式应符合课程教学大纲的要求。 五、教学资源 推荐教材 《复变函数与积分变换》[M],马柏林,北京大学出版社,2015 参考材料 《复变函数与积分变换》（第四版）,西安交通大学高等数学教研室编,高等教育出版社,1996. 《积分变换》（第三版），南京工学院数学教研组，高等教育出版社,1989. 阿尔福斯．复分析[M]．上海科学技术出版社,1984. 课程资源 中国大学 MOOC，超学银在线，网络教学综合平台 http://pt.csust. edu.cn/meol/ homepage/common/ 教材分析 与处理 第六章共形映射主要为自学内容
课程教案课程必修考核公共基础课（）；专业基础课（√）；专业课考试（V）：类型()方式考查（）选修限选课（）；任选课（）章节名称第一章复数与复变函数1.1复数1.将数域范围扩展到复数域，在新数域下掌握对应的运算法则；教学目的2.熟悉复数的概念；3.掌握复数的四则运算及共轭运算；4.熟练掌握复数得几何表示法、三角表示法以及指数表示法5.熟练掌握复数的乘方运算公式以及开方运算公式；6.了解复球面、无穷远点以及扩充复平面的概念重点：1.复数的三角表示与指数表示；2.复数的乘方与开方运算；教学重点难点难点：1.复数的辐角主值的计算；2.复数的开方运算；3.复平面上直线段与圆的参数方程方法：讲授法，启发式，讲练结合法教学方法和手段手段：多媒体教学与手写相结合，利用智慧课堂线上线下混合式教学
课程教案 课程 类型 必修 公共基础课（ ）；专业基础课（√）；专业课 （ ） 考核 方式 考试（√）； 考查（ ） 选修 限选课（ ）；任选课（ ） 章节名称 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 教学目的 1.将数域范围扩展到复数域，在新数域下掌握对应的运算法则； 2.熟悉复数的概念； 3.掌握复数的四则运算及共轭运算; 4.熟练掌握复数得几何表示法、三角表示法以及指数表示法； 5.熟练掌握复数的乘方运算公式以及开方运算公式； 6.了解复球面、无穷远点以及扩充复平面的概念 教 学 重 点 难 点 重点：1.复数的三角表示与指数表示； 2.复数的乘方与开方运算； 难点：1.复数的辐角主值的计算； 2.复数的开方运算； 3.复平面上直线段与圆的参数方程 教学方法 和手段 方法：讲授法，启发式，讲练结合法 手段：多媒体教学与手写相结合，利用智慧课堂线上线下混合式教学
课时：2学时一、导课(约5分钟)简述复变函数理论的发展史，重点介绍两位命运坎珂的数学家，实施课教学过程程思政，厚植爱国情怀，培养正确的数学观，其次概述本课程主要内容、重要应用以及复变函数与积分变换的课程特点与学习方法。之理工大季博出期Y背景H子·十六世纪，在解代数方程时引进复数·为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩坎珂大到复数域·在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清奇星楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”阿贝尔·直到十八世纪，J.D’Alembert（1717-1783）与L.Euler（1707-1783）等人逐步单明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和发展二、介绍新课（80分钟）(约15分钟)1．复数的基本概念1）复数的定义：虚单位，复数的实部与虚部。2）复数的四则运算以及运算性质。举例并让学生进行练习。(约20分钟）2.复平面、复数的模与辐角（图例结合法）1）复数的几何表示法汤沙大2.向量表示法Tz=x+iy点P(x,J)oP=(x,)：可用向量OP表示z=x+i.称向量的长度为复数的模或绝对值以正实轴为始边，以响量OP为终边的角的弧度数称为复数zx+i的辐角（z￥0时）(z)P(xy)模：1z=10P==2+辐角eArgzAZ=0OP=0
教学过程 课时：2 学时 一、导课 (约 5 分钟) 简述复变函数理论的发展史，重点介绍两位命运坎坷的数学家，实施课 程思政，厚植爱国情怀，培养正确的数学观，其次概述本课程主要内容、 重要应用以及复变函数与积分变换的课程特点与学习方法。 二、介绍新课（80 分钟） 1. 复数的基本概念 (约 15 分钟) 1）复数的定义：虚单位，复数的实部与虚部。 2）复数的四则运算以及运算性质。 举例并让学生进行练习。 2．复平面、复数的模与辐角 （图例结合法） (约 20 分钟) 1）复数的几何表示法
2）复平面；3）复数模的定义与计算并得到复平面中两点间的距离公式：4）复数的辐角与辐角主值的定义与计算：5）复数的三角表示与指数表示法，举例并让学生穿插进行练习。之理之大市吧(2)由向量表示法知y2-一点与之间的距离由此得：Z-2+≤2+（三角不等式）[32 -21≥132]-121]03.三角表示法4.指数表示法再由Euler公式：[x=rcose由得ly=rsinoeio=cos0+isin得Z=reioy+z=r(cos 0+isin 0)K(约20分钟）3.复数的乘幂与方根1）复数的n次幂的定义及计算公式2）复数的n次方根的定义及计算公式長之理工大学博肩注当k-0，1，.…n-1时，可得n个不同的根，3M而取其它整数时，这些根又会重复出现几何上，的n个值是I01+i以原点为中心，/为半径的圆周上n个等分点，02即它们是内接于该圆周X的正n边形的n个顶点。0如=V1+i元元03+2k元+2k元=8/2(cos4+isin4（k=0,1,2.3)（见图）44K4.共轭复数(约15分钟）1）共轭复数的定义与性质2）复平面中直线段与圆的参数方程
2）复平面； 3）复数模的定义与计算并得到复平面中两点间的距离公式； 4）复数的辐角与辐角主值的定义与计算； 5）复数的三角表示与指数表示法，举例并让学生穿插进行练习。 3.复数的乘幂与方根 (约 20 分钟) 1）复数的 n 次幂的定义及计算公式 2）复数的 n 次方根的定义及计算公式 4.共轭复数 (约 15 分钟) 1）共轭复数的定义与性质 2）复平面中直线段与圆的参数方程
3）复数在几何上的应用
3）复数在几何上的应用
例2方程Reiz)=3表示（2)-(-)=2什么图形？解设z=x+iy1(2z)iz=ix-i)=y+ixRe(iz)=3:Re(iz)=JJ=3U故Re(iz）=3图形为平行于实轴的直线5.复球面的定义（约10分钟）复球面XV6、课程小结：回顾本节课内容，再次突出重点难点（约5分钟）作业题思考：（1）复数为什么不能比较大小？和思考（2）复数可以用向量表示，则可以认为与向量运算相同？题布置作业：P23，1，2，4，5《复变函数论》钟玉泉高等教育出版社参考资料《复变函数与积分变换》华中科技大学数学系编高等教育出版社《复变函数导教·导学·导考》李建林编著西北工业大学出版社要求自复数的定义及四则运算性质的内容学内容复数的几何表示以及共轭复数
5.复球面的定义(约 10 分钟 ) 6、课程小结：回顾本节课内容，再次突出重点难点（约 5 分钟） 作业题 和思考 题布置 思考：（1）复数为什么不能比较大小？ （2）复数可以用向量表示，则可以认为与向量运算相同？ 作业：P23，1，2， 4, 5 参考资料 《复变函数论》 钟玉泉 高等教育出版社 《复变函数与积分变换》 华中科技大学数学系编 高等教育出版社 《复变函数 导教·导学·导考》 李建林编著 西北工业大学出版社 要求自 学内容 复数的定义及四则运算性质的内容 复数的几何表示以及共轭复数