第二讲初等数学中的平面欧氏几何（中）2.1平行线与相交线2.2四边形2.3面积和勾股定理第二讲初等数学中的平面欧氏几何（中）2.1平行线与相交线如果平面上的两直线没有交点，我们就说它们平行。直线α平行于直线b，记作ab公理2.1（平行公理）过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。使用公理2.1很容易证明如下结论。定理2.2在平面上，平行于同一直线的两条直线平行证明设a，b1，b2是平面上的三条直线，其中abi且aIlb2。假设bi与b2不平行。由于二者共面，所以必相交，设交点为A，那么，过点A存在；两条直线与Q平行，这与平行公理矛盾。口设a,b,c是平面上的三条直线，其中c分别交a，于A,B。那么我们可以得到分别以A，B为顶点的八个角。设/1是其中以A为顶点的一个角，/2是其中以B为顶点的一个角。·如果Z1与2在直线c的同侧，且各有一边共线同向，那么我们称/1与/2互为同位角；·如果1与/2在直线c的同侧，且各有一边共线反向，那么我们称/1与/2互为同旁内角·如果/1与/2在直线c的异侧，且各有一边共线反向，那么我们称1与/2互为内错角。定理2.3（同位角法则）设平面上两直线A1A2和BB2分别与直线c相交，若同位角相等，则A1A2lBB2证明设A1A2和B1B2分别与c交于A和B，不妨设A介于A和A2之间，B介于B和B2之间并且A,和Bi在直线c的同一侧。设BA延长线上有一点D。下面证明：如果/DAA2=ZDBB2，那么AA2llBiB2假设A1A2什BiB2，那么这两条直线相交，设交点为C，那么A，B,C构成三角形。如果C与A2，B2落在直线c的同一侧，那么由定理1.6可知，/DAA2>乙DBB2，矛盾。如果C与A1，Bi落在直线c的同一侧，那么同理可知，ZDAA1=ZDBB1，这与等角的补角相等矛盾。□使用同位角法则再结合补角、对顶角，很容易证明内错角法则和同旁内角法则。定理2.4（内错角法则）设平面上两直线α和b分别与直线c相交，若内错角相等，则al6，定理2.5（同旁内角法则）设平面上两直线a和b分别与直线c相交，若同旁内角互补，则alb
第二讲 初等数学中的平面欧氏几何（中） 2.1 平行线与相交线 2.2 四边形 2.3 面积和勾股定理 第二讲 初等数学中的平面欧氏几何（中） 2.1 平行线与相交线 如果平面上的两直线没有交点，我们就说它们平行。直线 平行于直线 ，记作 。 公理2.1 （平行公理）过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。 使用公理2.1很容易证明如下结论。 定理2.2 在平面上，平行于同一直线的两条直线平行． 证明 设 是平面上的三条直线，其中 且 。 假设 与 不平行。由于二者共面，所以 必相交，设交点为 ，那么，过点 存在；两条直线与 平行，这与平行公理矛盾。 设 是平面上的三条直线，其中 分别交 于 。那么我们可以得到分别以 为顶点的八个 角。设 是其中以 为顶点的一个角， 是其中以 为顶点的一个角。 如果 与 在直线 的同侧，且各有一边共线同向，那么我们称 与 互为同位角； 如果 与 在直线 的同侧，且各有一边共线反向，那么我们称 与 互为同旁内角； 如果 与 在直线 的异侧，且各有一边共线反向，那么我们称 与 互为内错角。 定理2.3 （同位角法则） 设平面上两直线 和 分别与直线 相交，若同位角相等，则 。 证明 设 和 分别与 交于 和 ，不妨设 介于 和 之间， 介于 和 之间并且 和 在直线 的同一侧。设 延长线上有一点 。下面证明：如果 ，那么 。 假设 ，那么这两条直线相交，设交点为 ，那么 构成三角形。如果 与 ， 落在直线 的同一侧，那么由定理1.6可知， ，矛盾。如果 与 ， 落在直线 的 同一侧，那么同理可知， ，这与等角的补角相等矛盾。 使用同位角法则再结合补角、对顶角，很容易证明内错角法则和同旁内角法则。 定理2.4 （内错角法则） 设平面上两直线 和 分别与直线 相交，若内错角相等，则 ． 定理2.5 （同旁内角法则） 设平面上两直线 和 分别与直线 相交，若同旁内角互补，则 ．
同位角法则、内错角法则和同旁内角法则都是平行的判定定理。其逆命题也分别成立，它们合称平行的性质定理。定理2.6（平行的性质定理1）设平面上两直线A1A2和BB2分别与直线c相交，若A1A2B1B2，则同位角相等，BiB证明设A1A2和BB2分别与c交于A和B，不妨设A介于A和A2之间，B介于B和B2之间并且A,和B在直线c的同一侧。设BA延长线上有一点D。下面证明：如果A1A2B,B2，那么ZDAA2=/DBB2。假设不然，不妨设DAA2>DBB2。于是在/DAA2的内部存在一点F，使得/DAF=DBB2。由同位角法则可知，AFB,B2，于是过点A存在两条直线平行于BiB2即A1A2和AF，这与平行公理矛盾。由定理2.6以及其他定理可以很容易证明其他两个性质。定理2.7（平行的性质定理2）设平面上两直线a和b分别与直线c相交，若α6b，则内错角相等.定理2.8（平行的性质定理3）设平面上两直线a和分别与直线c相交，若αllb，则同旁内角互补，使用平行公理和平行的几个性质定理可以证明三角形的内角和为180°。定理2.9三角形内角和为180°证明设△ABC是一个三角形。延长BC至D，过C在/ACD内部作射线CE，使得CEAB。由平行的性质定理可知，LDCE=ZB和LACE=LA，所以LA+LB+LACB=LBCD=180°。由定理2.9很容易可得如下推论。推论2.10三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，口推论2.11等边三角形每个内角等于60°；有一个内角为60°的三角形为等边三角形，口推论2.122n边形内角和为180（n-2）.推论2.13多边形外角和为360°.口2.2四边形四边形中不相邻的两边称为对边：四边形中不相邻的两个顶点的连线称为四边形的对角线：四边形四个内角中没有公共边的两个称为对角，两组对边分别平行的四边形称为平行四边形一组对边平行，另一组对边不平行的四边形称为梯形：梯形中相互平行的两边叫做上底和下底，不平行的两边叫做两个腰，使用平行的相关定理以及三角形全等的相关定理很容易证明如下性质定理和判定定理。定理2.14（平行四边形的性质定理）平行四边形对边相等，对角相等，对角线相互平分.口
同位角法则、内错角法则和同旁内角法则都是平行的判定定理。其逆命题也分别成立，它们合称平行的 性质定理。 定理2.6 （平行的性质定理1）设平面上两直线 和 分别与直线 相交，若 ，则 同位角相等． 证明 设 和 分别与 交于 和 ，不妨设 介于 和 之间， 介于 和 之间并且 和 在直线 的同一侧。设 延长线上有一点 。下面证明：如果 ，那么 。假设不然，不妨设 。于是在 的内部存在一点 ， 使得 。由同位角法则可知， ，于是过点 存在两条直线平行于 ， 即 和 ，这与平行公理矛盾。 由定理2.6以及其他定理可以很容易证明其他两个性质。 定理2.7 （平行的性质定理2）设平面上两直线 和 分别与直线 相交，若 ，则内错角相等． 定理2.8 （平行的性质定理3）设平面上两直线 和 分别与直线 相交，若 ，则同旁内角互补． 使用平行公理和平行的几个性质定理可以证明三角形的内角和为 。 定理2.9 三角形内角和为 ． 证明 设 是一个三角形。延长 至 ，过 在 内部作射线 ，使得 。由平行 的性质定理可知， 和 ，所以 。 由定理2.9很容易可得如下推论。 推论2.10 三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和． 推论2.11 等边三角形每个内角等于 ；有一个内角为 的三角形为等边三角形． 推论2.12 边形内角和为 ． 推论2.13 多边形外角和为 ． 2.2 四边形 四边形中不相邻的两边称为对边；四边形中不相邻的两个顶点的连线称为四边形的对角线；四边形四个 内角中没有公共边的两个称为对角．两组对边分别平行的四边形称为平行四边形；一组对边平行，另一 组对边不平行的四边形称为梯形；梯形中相互平行的两边叫做上底和下底，不平行的两边叫做两个腰． 使用平行的相关定理以及三角形全等的相关定理很容易证明如下性质定理和判定定理。 定理2.14 （平行四边形的性质定理） 平行四边形对边相等，对角相等，对角线相互平分．
定理2.15（平行四边形的判定定理）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线相互平分的四边形是平行四边形，口使用平行线的性质定理很容易证明如下定理。定理2.16平行线间的垂线段相等，口从而可以定义平行线之间的距离为两平行线之间的垂线线段的长度连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。定理2.17（三角形的中位线定理）三角形的中位线，平行于第三边，且等于第三边的一半。证明在△ABC中，D和E分别是AB和AC的中点，下证：DEBC且DE=BC。过C作CFAB，并延长DE使得F是DE延长线与CF的交点。因为CFAB，所以ZA=ZECF。又因为对顶角相等，所以ZAED=ZCEF。另外，还有已知条件AE=EC，所以△AED=△CEF，所以AD=CF。又因为AD=BD，所以CF=BD。所以CF与BD平行且相等，所以四边形BDFC是平行四边形。所以DF与BC平行且相等。因为△AED兰△CEF，所以DE=EF。所以DE平行且等于BC的一半。口类似可证梯形的中位线定理。定理2.183（梯形的中位线定理）梯形的中位线，平行于两底，且等于两底和的一半。口有一组邻边相等的四边形叫做菱形；有一个内角是直角的平行四边形，叫做矩形；有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形，很容易证明如下性质定理。定理2.19菱形对角线相互垂直；菱形四边相等，矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等，正方形的四个角都是直角，四条边都相等；正方形的对角线相等，并且相互垂直平分。口通过将直角三角形补成矩形，我们可以证明如下定理。推论2.20直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：证明设△ABC是直角三角形，其中ZB是直角，设O是BC中点，以下证明BO=AC。将Rt△ABC补为矩形ABCD，连接BD。由于矩形的对角线相互平分，所以O恰好是AC和BD的交点并且BO=BD，由于矩形对角线相等，所以BD=AC，所以BO=AC。口进一步我们还很容易证明如下判定定理。定理2.21对角线相互垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形，口定理2.22对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。定理2.23对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形，口2.3面积和勾股定理
定理2.15 （平行四边形的判定定理） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等 的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形． 使用平行线的性质定理很容易证明如下定理。 定理2.16 平行线间的垂线段相等． 从而可以定义平行线之间的距离为两平行线之间的垂线线段的长度． 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 定理2.17 （三角形的中位线定理）三角形的中位线，平行于第三边，且等于第三边的一半。 证明 在 中， 和 分别是 和 的中点，下证： 且 。过 作 ，并延长 使得 是 延长线与 的交点。因为 ，所以 。又因 为对顶角相等，所以 。另外，还有已知条件 ，所以 ， 所以 。又因为 ，所以 。所以 与 平行且相等，所以四边形 是平行四边形。所以 与 平行且相等。因为 ，所以 。所以 平行且等于 的一半。 类似可证梯形的中位线定理。 定理2.18 （梯形的中位线定理）梯形的中位线，平行于两底，且等于两底和的一半。 有一组邻边相等的四边形叫做菱形；有一个内角是直角的平行四边形，叫做矩形；有一组邻边相等，并 且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形．很容易证明如下性质定理。 定理2.19 菱形对角线相互垂直；菱形四边相等．矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．正方形的 四个角都是直角，四条边都相等；正方形的对角线相等，并且相互垂直平分． 通过将直角三角形补成矩形，我们可以证明如下定理。 推论 2.20 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 证明 设 是直角三角形，其中 是直角，设 是 中点，以下证明 。将 补为矩形 ，连接 。由于矩形的对角线相互平分，所以 恰好是 和 的交点 并且 ，由于矩形对角线相等，所以 ，所以 。 进一步我们还很容易证明如下判定定理。 定理2.21 对角线相互垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形． 定理2.22 对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。 定理2.23 对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形． 2.3 面积和勾股定理
中学数学中并没有对面积进行严格的定义，只是采用直观体验和测量的方式引入，而具体计算面积时则是相当于将矩形的面积公式视为一条公理。为此，我们定义矩形的两条邻边中，较长一边的长度为该矩形的长，较短一边的长度叫做该矩形的宽。而对手正方向来说，其各边长度均相等，因而称其边的长度为边长。公理2.24矩形的面积等于其长乘以其宽。由此可以通过割补法给出三角形、正方形和菱形的面积公式定理2.25三角形面积等于一边与这条边上的高的乘积的一半；正方形的面积等于边长的平方；菱形的面积等于对角线乘积的一半。口我们定义平行四边形和梯形的高为两个平行的对边之间的垂线段。那么仍然使用割补法很容易给出平行四边形和梯形的面积公式。定理2.26平行四边形的面积等于一边乘以这条边上的高：梯形的面积等于中位线乘以高。口使用面积可以证明著名的勾股定理，下面的证明来自我国三国时期著名的数学家赵爽，他所做的这个辅助图被称为弦图，目前是中国数学会的标志。定理2.27（勾股定理）设△ABC为直角三角形，其中ZC为直角，A，B，C所对的边分别记作a，b,C。那么a2+62=c2F证明不妨设a>b。作四个与Rt△ABC全等的三角形，并将之拼成正方形DEFG，容易证明IJKL也是正方形；前者边长为c，后者边长为α一b。从面积上考虑，可以得到：c?=4.ab+(a-b)2=a2+62。使用勾股定理很容易证明垂线段定理。定理2.28直线外一点到直线上一点的线段中，垂线段最短。口因此，我们可以定义直线外一点到直线的距离为该点到直线的垂线段的长度。由此进一步可以证明勾股定理的逆定理也成立，这需要使用反证法和上述两个定理。定理2.28（勾股定理的逆定理）在△ABC中，记A,B,C的对边分别为a，b,c.若α2+62=c2，则△ABC是直角三角形，其中ZC为直角，口当我们把勾股定理说清楚之后，我们就可以定义三角函数了（此处为锐角的三角函数，三角函数的推广出现在高中数学中）。在Rt△ABC中，设/C为直角，记A，B,C的对边为a，b,c，下面定义三个主要的三角函数·定义a/c为A的正弦，记作sinZA；·定义bc为/A的余弦，记作cosA；·定义a/b为ZA的正切，记作tanLA以下性质是很容易证明的
中学数学中并没有对面积进行严格的定义，只是采用直观体验和测量的方式引入，而具体计算面积时， 则是相当于将矩形的面积公式视为一条公理。为此，我们定义矩形的两条邻边中，较长一边的长度为该 矩形的长，较短一边的长度叫做该矩形的宽。而对于正方向来说，其各边长度均相等，因而称其边的长 度为边长。 公理2.24 矩形的面积等于其长乘以其宽。 由此可以通过割补法给出三角形、正方形和菱形的面积公式 定理2.25 三角形面积等于一边与这条边上的高的乘积的一半；正方形的面积等于边长的平方；菱形的面 积等于对角线乘积的一半。 我们定义平行四边形和梯形的高为两个平行的对边之间的垂线段。那么仍然使用割补法很容易给出平行 四边形和梯形的面积公式。 定理2.26 平行四边形的面积等于一边乘以这条边上的高；梯形的面积等于中位线乘以高。 使用面积可以证明著名的勾股定理，下面的证明来自我国三国时期著名的数学家赵爽，他所做的这个辅 助图被称为弦图，目前是中国数学会的标志。 定理2.27（勾股定理） 设 为直角三角形，其中 为直角， 所对的边分别记作 。 那么 。 证明 不妨设 。作四个与 全等的三角形，并将之拼成正方形 ，容易证明 也 是正方形；前者边长为 ，后者边长为 。从面积上考虑，可以得到： 。 使用勾股定理很容易证明垂线段定理。 定理2.28 直线外一点到直线上一点的线段中，垂线段最短。 因此，我们可以定义直线外一点到直线的距离为该点到直线的垂线段的长度。由此进一步可以证明勾股 定理的逆定理也成立，这需要使用反证法和上述两个定理。 定理2.28（勾股定理的逆定理）在 中，记 的对边分别为 ．若 ，则 是直角三角形，其中 为直角． 当我们把勾股定理说清楚之后，我们就可以定义三角函数了（此处为锐角的三角函数，三角函数的推广 出现在高中数学中）。 在 中，设 为直角，记 的对边为 ．下面定义三个主要的三角函数。 定义 为 的正弦，记作 ； 定义 为 的余弦，记作 ； 定义 为 的正切，记作 ． 以下性质是很容易证明的
性质2.29(1)sin30°=;(2)sin45°=：(3)sin60°=：(4)在Rt△ABC中，如果A不是直角，那么sin2ZA+cos?ZA=1而且tanZA=sinZA/cos/A还可以证明正弦定理和余弦定理。定理2.30D（正弦定理）在△ABC中，记A,B,C的对边为a，b,c。则有bQcsinZAsin/BsinZC证明过A作BC上的高AH，H是垂足。设AH=h。则有hhsin /B=sinZC-c6所以h=csinZB=bsinZC，所以品z=品Z，类似可证，m么=品z。口1（余弦定理）在△ABC中，记A,B,C的对边为a,b,c。则有c2=α2+62-2abcosZC。定理2.31证明过A作BC上的高AH，H是垂足。设AH=h。不妨设H是BC边的内点（否则，证明相似）。由勾股定理可知，c2=h2+BH?b2=h2+CH2。二式作差可得：c2-62=a(a-2CH)=a2-2a-CH=a?-2ab.cosZC.推论2.32在△ABC中，记A,B,C的对边为a,b,c。则有S△ABC=absinC。推论2.33（海伦公式）在△ABC中，记A,BC的对边为a，b,c，记△ABC的半周长为p。则有S△ABC =/p(p-a)(p-b)(p-c)证明由余弦定理可得，16p(p-a)(p-b)(p-c)=[(b + c)2 - a’][a2 - (b - c)2]=(62 + c2 - a2 + 2bc)(a2-62- c2 + 2bc)=(2bc+2bccos/A)(2bc-2bccos/A)=462c2(1 - cos2 ZA) = 462c2 sin2 A.所以，Vp(p-a)(p-b)(p-)=besinZA=S△ABC
性质2.29 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 在 中，如果 不是直 角，那么 而且 ． 还可以证明正弦定理和余弦定理。 定理2.30 （正弦定理）在 中，记 的对边为 。则有 证明 过 作 上的高 ， 是垂足。设 。则有 所以 ，所以 ，类似可证， 。 定理2.31 （余弦定理）在 中，记 的对边为 。则有 。 证明 过 作 上的高 ， 是垂足。设 。不妨设 是 边的内点（否则，证明相似）。由 勾股定理可知， ， 。二式作差可得： 推论2.32 在 中，记 的对边为 。则有 。 推论2.33 （海伦公式）在 中，记 的对边为 ，记 的半周长为 。则有 证明 由余弦定理可得， 所以，