普通高等学校“十三五”数字化建设规划教材新经度复变函数与积分变换天美出北京大北京大学出版社PEKING UNIVERSITY PRESS
内容简介本书介绍复变函数与积分变换的基本概念、理论和方法：内容包括：复数和复平面、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示法、留数理论及其应用、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换和快速傅里叶变换，每一章给出本章的小结，并配有一定数量的习题，附录中给出习题参考答案，便于读者复习和总结本书可作为高等学校理工科专业复变函数与积分变换课程的教材，也可供工程技术人员参考，北京大学出版社
总序数学是人一生中学得最多的一门功课，中小学里就已开设了很多数学课程，涉及算术、平面几何、三角、代数、立体几何、解析几何等众多科目，看起来洋洋大观、琳琅满目，但均属于初等数学的范畴，实际上只能用来解决一些相对简单的问题，面对现实世界中一些复杂的情况则往往无能为力。正因为如此，在大学学习阶段，专攻数学专业的学生不必说了，就是对于广大非数学专业的大学生，也都必须选学一些数学基础课程，花相当多的时间和精力学习高等数学，这就对非数学专业的大学数学基础教材提出了迫切的需求，这些年来，各种大学数学基础教材已经林林总总地出版了许多，但平心而论，除少数精品以外，大多均偏于雷同，难以使人满意，而学习数学这门学科，关键又在理解与熟练，同一类型的教材只需精读一本好的就足够了.这样、精选并推出一些优秀的大学数学基础教材，就理所当然地成为编辑出版这一丛书的宗旨.大学数学基础课程的名目并不多，所涵盖的内容又大体上相似，但教材的编写不仅仅是材料的堆积和梳理，更体现编写者的教学思想和理念，同一门课程，应该鼓励有不同风格的教材来诠释和体现；针对不同程度的教学对象，也应该有不同层次的教材来使用和适应.特别是，大学非数学专业是一个相当广泛的概念，对分属工程类、财经管理类、医药类、农林类、社科类甚至文史类的众多大学生，不分青红皂白、一刀切地采用统一的数学教材进行教学，很难密切联系有关专业的实际，很难充分针对有关专业的迫切需要和特殊要求，是不值得提倡的.相反，通过教材编写者和相应专业工作者的密切结合和协作，针对该专业的特点编写出来的教材，才能特色鲜明、有血有肉，才能深受欢迎，并产生重要而深远的影响.这是专业类大学数学基础教材应有的定位和标准，也是大家的迫切期望，但却是当前明显的短板，因而使我们对这套丛书可以大有作为有了足够的信心和依据说得更远一些，我们一些教师往往把数学看成是定义、公式、定理及证明的堆积，千方百计地要把这些知识灌输到学生头脑中去，但却忘记了有关数学最根本的三件事，一是数学知识的来龙去脉一一从哪儿来，又可以到哪儿去，割断数学与生动活泼的现实世界的血肉联系，学生就不会有学习数学持续的积极性，二是数学的精神实质和思想方法，只讲知识，不讲.1
复变函数与积分变换精神：只讲技巧，不讲思想，学生就不可能学到数学的精髓，不能对数学有真正的领悟，三是数学的人文内涵，数学在人类认识世界和改造世界的过程中起着关键的、不可代替的作用，是人类文明的坚实基础和重要支柱，不自觉地接受数学文化的熏陶，是不可能真正走近数学、了解数学、领悟数学并热爱数学的.在数学教学中抓住了上面这三点，就抓住了数学的灵魂，学生对数学的学习就一定会更有成效.但客观地说，现有的大学数学基础教材，能够真正体现这三方面要求的，恐怕为数不多.这一现实为大学数学基础教材的编写提供了广阔的发展空间，很多探索有待进行，很多经验有待总结，可以说是任重而道远，从这个意义上说，由北京大学出版社推出的这套丛书实际上已经为一批有特色、高品质的大学数学基础教材的面世搭建了一个很好的平台，特别值得称道，也相信一定会得到各方面广泛而有力的支持，特为之序北京大学出版社李大潜2015年1月28日口TF大港先生简介2
前言复变函数与积分变换的理论和方法已被广泛地应用于自然科学的众多领域，如电子工程、控制工程、理论物理、流体力学、热力学.随着计算机科学的飞速发展，数字化已成为现代科学发展的一个重要的方向，数字信号处理应用的领域会越来越广，对数字信号处理的理论和技术也就有更多的要求.因此，复变函数与积分变换的基本理论和方法是高等院校理工科类学生必须具备的数学基础知识之一：本书要求的预备知识是微积分的全部内容，本书主要介绍复变函数与积分变换的基本概念、理论和方法.在引入复变函数的极限概念时，我们采用了严格的定义，当阅读关于极限的一些定理证明比较困难时，可以先不要看这些证明，有关定理的结论，可以通过比较一元或多元微积分中对应的定理来理解，因为柯西一古萨定理的证明比较困难，所以本书没有涉及对于涉及分析中比较深的内容，例如关于共形映射的黎曼定理等，我们都没有写入本书，如读者有兴趣，可以从参考书中找到相关的内容，关于单位脉冲函数，我们尽可能让问题变得容易理解，因此从数学定义和物理背景上都做了解释.积分变换的应用主要是线性时不变系统中的应用，但是基于本书的篇幅，没有涉及太多，读者可以从所列的参考书中找到这类的应用.我们第一次将离散傅里叶变换和快速傅里叶变换写入书中，因为它们是数字信号处理的基础，考虑课时的限制，写得比较简略.对这些内容的学习，要考虑计算机的实现作为一个主要目标，书中带星号的为比较难的内容，可以不放在课堂上讲，带星号的练习题不要求做，本书由马柏林主编，第1章、第7章和第8章由马柏林编写，第2章和第3章由晏华辉编写，第4章、第5章和第6章由李丹衡编写，第9章由邓浏睿编写.本教材在编写过程中得到湖南大学数学与计量经济学院、同行及出版社等方面的大力支持和帮助.特别感谢郝志峰教授为本书提供了相关微课视频，另外，苏文华赵子平构思并设计了全书在线课程教学资源的结构与配置，吴浪、谷任盟、熊诗哲编辑了教学资源内容，并编写了相关动画文字材料：余燕、贾华参与了动画制作及教学资源的信息化实现：袁晓辉、范军怀审查了全书配套在线课程的教学资源：苏文春、陈平、朱顺春提供了版式和装顺设计方案，在此一并感谢，教材编写过程中疏忽在所难免，不妥之处希望使用本教材的教师和学生提出宝贵的意见，编者.1
目录 第1章 复数和复平面 ............... §1.1 复数 2 §1.2 复平面点集 8 §1.3 扩充复平面及其球面表示 11 小结 12 习题1 12 第2章 解析函数 ................. 14 2.1 复变函数的概念、极限与连续性·.... ......................... 15 §2.2 21 §2.3 函数可导与解析的充要条件 ..... 25 2.4 初等函数 .. 28 小结 ...·. 36 习题2 ..................... 38 第3章 复变函数的积分 41 3.1 复变函数积分的概念 42 §3.2 柯西-古萨定理及其推广 46 §3.3 柯西积分公式及其推论 53 §3.4 解析函数与调和函数的关系 59 小结 62 习题3 63 第4章 解析函数的级数表示法 66 §4.1 复数项级数 ...... 67 §4.2 幂级数 70 §4.3 解析函数的泰勒展开 76 §4.4 解析函数的罗朗展开 80 ·1·
复变函数与积分变换 §4.5 孤立奇点 84 小结 89 习题4 91 第5章 留数理论及其应用 94 §5.1 留数 95 §5.2 留数在积分计算上的应用 101 小结 107 习题5 108 第6章 共形映射 110 §6.1 共形映射 111 6.2 分式线性变换 115 §6.3 确定分式线性变换的条件 118 §6.4 几个初等函数所构成的映射 ..................... 121 小结 124 习题6 125 第7章 傅里叶变换 127 §7.1 傅里叶变换的定义 ·..·........ 128 §7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换 134 7.3 傅里叶变换的性质 138 §7.4 卷积 ............· 141 小结 143 习题7 144 第8章 拉普拉斯变换 146 8.1 拉普拉斯变换的定义 147 §8.2 拉普拉斯变换的性质 152 8.3 拉普拉斯逆变换 159 §8.4 拉普拉斯变换的应用 162 小结 165 习题8 166 2
目 录 第9章 快速傅里叶变换 .............................................................. 169 9.1 离散时间傅里叶变换 ............................. 170 9.2 Z变换简介 172 9.3 离散傅里叶变换 ................................................ 173 9.4 快速傅里叶变换 ................................................................ 176 小...................................... 180 习题9 182 附录一 傅里叶变换简表 .............................................................. 183 附录二 拉普拉斯变换主要公式表 ........................................ 186 附录三 拉普拉斯变换简表 .......................... 187 附录四 习题参考答案 192 参考文献 北京大学出版社 200 ·3·
第1章复数和复平面章介绍复数的定义、运算，复平面点集和扩充复平面，为本后面的复变函数的研究做准备北京大学出版社
复变函数与积分变换数复$1.11.复数的概念形如2=a+ib或2=a+bi的数称为复数，其中a和b为实数，i称为虚单位，即是满足=一1.全体复数的集合称为复数集，用C表示.对于复数一α十ib，α与6分别称为复数2的实部和虚部，记作a= Re(z), b = Im(z).当且仅当虚部b=0时，=a是实数：当且仅当a=b=0时，就是实数0；当虚部b0时，称为虚数；当实部α=0且虚部b手0时，=证称为纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集.如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们称这两个复数相等，这样，一个复数等于零，当且仅当它的实部和虚部同时等于零，一般情况下，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，2.复数的向量表示和复平面根据复数相等的定义，我们知道，任何一个复数≥=α十ib，都可以由个有序实数对（a,b)唯一确定：我们还知道，有序实数对（a.b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的.由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应如图1.1所示，点z的横坐标是α，纵坐标是b.复数z=a十ib可用点（α，6）表示，这个建立了用直角坐标系表示复数的平面称为复平面，工轴称为实轴，y轴称为虚轴.显然，实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数.今后，我们说点（a，b）与复数z=α十表示同一意义y=Q+ibb=Im(2)2(a,b)a=Re(a)10图1.1