s 8.商(剩余类)环、同态与理想8.1商（剩余类）环的定义8.2自然同态8.3同态映射的核8.4同态基本定理8.5同态的性质
§ 8.商(剩余类)环、同态与理想 • 8.1 商(剩余类)环的定义 • 8.2 自然同态 • 8.3 同态映射的核 • 8.4 同态基本定理 • 8.5 同态的性质
8.1 商(剩余类)环的定义理想在环单所占地位同不变子群在群论单所占的地位类似。(首先复习陪集及商群)给了一个环R和R的一个理想A，若我们只就加法来看，R作成一个群，A作成R的一个不变子群。这样A的陪集[a], [b], [c], ..作成R的一个分类。我们现在把这些类叫做模A的剩余类
8.1 商(剩余类)环的定义 理想在环里所占地位同不变子群在群论里所占的地 位类似。 (首先复习陪集及商群) 给了一个环R和R的一个理想 ，若我们只就加法 来看，R作成一个群， 作成R的一个不变子群。 这样 的陪集 作成R的一个分类。我们现在把这些类叫做模 的 剩余类。 A A A abc , , , A
这个分类相当于R的元间的一个等价关系，这个等价关系是a~ba-beA我们现在用符号α=b(A)即a=b(A)α-bEA来表示（读成α与b模A同余）。一个类[α|包含所有可以写成(ueA)a+u的形式的元两个元的剩余类相等的条件是：[a]=[b] α-b e A
这个分类相当于R的元间的一个等价关系，这个等 价关系是 我们现在用符号 即 来表示（读成 与 模 同余）。 a b a b − A a b (A ) a b (A ) a b − A a b A ⚫ 一个类 包含所有可以写成 的形式的元. a a u u + ( A ) ⚫ 两个元的剩余类相等的条件是： [ ] [ ] a b = a b − A
我们把所有剩余类所作成的集合叫做R，即R = R/A = ([a]aeR)它有一个加群结构[a] + [b] = [a+b]进一步，定义乘法：[a] [6] = [ab]由于A是一个理想，利用上述同余条件容易证明上述定义的乘法的合理性,并且R构成环(见定理1)这个环称为叫做环R的模A的商(剩余类)环
⚫ 我们把所有剩余类所作成的集合叫做 ，即 = 它有一个加群结构 进一步, 定义乘法: R R R a a R / A = {[ ] } a b a b + = + a b ab = 由于 是一个理想，利用上述同余条件容易证明， 上述定义的乘法的合理性,并且 构成环(见定理1). A R 这个环称为叫做环R的模 A 的商(剩余类)环
8.2自然同态假定R是一个环，A是它的一个理想，R是定理 1所有模A是剩余类作成的集合。那么R本身也是一个环，并R且R与同态证明构造映射β:R→R如下：(a)= [a]可以证明：是R到R的一个同态满射，所以R与 R同态，并且R是一个环。证完
8.2 自然同态 定理 1 假定R是一个环， 是它的一个理想， 是 所有模 是剩余类作成的集合。那么 本身也是一个 环，并 且R与同态。 A R A R R 证明 构造映射 如下: 可以证明: 是R到 的一个同态满射，所以R与 同 态，并且 是一个环。证完。 : R R → ( ) a a = R R R
8.3同态映射的核本节的内容完全平行与2.11.2定义假定 f是一个群 R到另一个群R的一个同态满射．R的零元 0在f 之下的所有逆象所作成的R 的子集叫做同态满射的核，记为 kerf,即：ker f = f-'(O)=(xxER, f(x)=0) 记 ker f =I,[a]=a+I
8.3 同态映射的核 定义 假定 是一个群 到另一个群 的一个同态 满射． 的零元 在 之下的所有逆象所作成的 的 子集叫做同态满射的核, 记为 ,即: ． f R R R 0 f R ker f 1 ker (0) { , ( ) 0} f f x x R f x − = = = 本节的内容完全平行与2.11.2 记 ker f I = ,[a]=a+I
它有以下性质：1.kerf=I是理想2. [a]=[b] f(a) = f(b)3. xE[a] f(x)= f(a)4. f([a))=(f(a)) .5. 记a=f(a),那么f-(a)=[a]证明：1.分两步1)a, bI=a-beI2)aEl, rER=ra, arR2-5同学自行给出
它有以下性质: 1. 是理想 2. 3. 4. . 5. 记 ,那么 ker f I = [ ] [ ] ( ) ( ) a b f a f b = = x a f x f a = [ ] ( ) ( ) f a f a ([ ]) { ( )} = a f a = ( ) 1 f a a ( ) [ ] − = 证明: 1.分两步 1) 2) 2-5 同学自行给出. a b I a b I , − a I r R ra ar R ,
8.4 同态基本定理假定R同R是两个环，并且R与R同态，那么定理2R/A三R这里A是同态满射的核证明 设β：R→R是已知的同态满射，利用它构造一个映射β*:R/A→Rβ([a})=α=β(a)(1)β*是一个 R/A与 R间的映射。因为:[a] =[b] →a-beA =a-b=a-b=0=→a=b=β ([a] =β* ([b]β*是一个R/A与R的映射
8.4 同态基本定理 定理 2 假定R同 是两个环，并且R与 同态，那么 这里 是同态满射的核. R R R R A A 证明 设 是已知的同态满射, 利用它构造一 个映射 (1) 是一个 与 间的映射。因为： 是一个 与 的映射。 : R R → : R R A → ( ) * ( ) a a a = = R A R a b a b a b a b a b = − − = − = = A 0 * * = ( ) ( ) a b R A R
(2)β*是双射.上面的证明过程可逆，β*是单射；β*显然是一个满射，因为 是满射β*是一个R/A 与R间的一一映射。(3）β保持运算[a] + [b] = [a+b] →a+b= a+b[a] [b] = [ab] → ab = ab综上所述，β是同构映射。证完
R A R (2) 是双射. 上面的证明过程可逆, 是单射; 显 然是一个满射，因为 是满射. 是一个 与 间的一一映射。 (3) 保持运算. 综上所述, 是同构映射。证完。 a b a b a b a b a b ab ab ab + = + → + = + = → =
例1. 设: Z→Z,,β(n)=[n](1)证明是同态满射(2)求ker Φ(3)写出Z的一个商环,使它与 Z,同构[x] /(x) =Q例2.证明Q[x] /(x? + 1) = Q[i]例3.证明
例1. 设 , (1)证明 是同态满射 (2)求 (3)写出 的一个商环, 使它与 同构. : Z Z → n ( ) [ ] n n = ker Z Z n 例2. 证明 Q x x Q [ ]/( ) 例3. 证明 2 Q x x Q i [ ]/( 1) [ ] +