811.同态与不变子群11.1自然同态11.2同态映射的核11.3同态基本定理11.4子群的同态像和逆像不变子群，商群与同态映射之间存在几个极端重要的关系：知道了这几个关系，我们才能看出不变子群和商群的重要意义
§11.同态与不变子群 • 11.1 自然同态 • 11.2 同态映射的核 • 11.3 同态基本定理 • 11.4 子群的同态像和逆像 不变子群，商群与同态映射之间存在几个极端 重要的关系．知道了这几个关系，我们才能看出 不变子群和商群的重要意义．
11.1自然同态定理1一个群G同它的每一个商G/IN群同态，证明我们规定G到G/N的一个法则：β(a)=aN (aeG)这显然是G到 G/N的一个满射.并且,对于 G的任意两个元a和b来说，p(ab) = abN =(aN)(bN) = β(a)p(b)所以它是一个同态满射．证完，上述?称为自然同态
11.1 自然同态 定理１ 一个群 G 同它的每一个商 G N 群同态． 证明 我们规定 到 的一个法则 : 这显然是 到 的一个满射．并且,对于 的 任意两个元 和 来说， 所以它是一个同态满射．证完． 上述 称为自然同态. G G N ( ) a aN = ( ) a G G G N G a b ( ) ( )( ) ( ) ( ) ab abN aN bN a b = = =
由群G的一个子群可以推测整个群G的性质假如我们有一个不变子群N，就同时有两个群可以供我们利用，一个是N本身，另一个是商群G/N．现在定理1又告诉我们，G与G/N同态，这样帮助推测G的性质。在一定意义之下，定理1的逆定理也是对的
由群 的一个子群可以推测整个群 的性质．假 如我们有一个不变子群 ，就同时有两个群可以供 我们利用，一个是 本身，另一个是商群 ．现 在定理１又告诉我们， 与 同态，这样帮助推 测 的性质． 在一定意义之下，定理１的逆定理也是对的． G G N N G N G G N G
11.2同态映射的核定义假定f是一个群G到另一个群G的一个同态满射.G的单位元 e在Φ之下的所有逆象所作成的G的子集叫做同态满射的核，记为kerf,即：ker f = f-'(e)=(x|x eG, f(e) =e).记kerf=N，它有以下性质：(1）kerf=N是不变子群(2)aN =bN f(a)=f(b(3)xEaN← f(x)=f(a)(4) f(aN)=(f(a))
11.2 同态映射的核 定义 假定 是一个群 到另一个群 的一个同态 满射． 的单位元 在 之下的所有逆象所作成的 的子集叫做同态满射的核, 记为 ,即: ． f G G G e G ker f 1 ker ( ) { , ( ) } f f e x x G f e e − = = = 记 ,它有以下性质: (1) 是不变子群 (2) (3) (4) ker f N= ker f N= aN bN f a f b = = ( ) ( ) x aN f x f a = ( ) ( ) f aN f a ( ) { ( )} =
证明：1.分两步1)N是子群2)α-'nαN，对于任意 αG,nεN2. aN =bN ≤a-'be N... f(a)= f(b)3.同学自行给出4.同学自行给出
证明: 1.分两步 1) 是子群 2) , 对于任意 2. 3. 同学自行给出. 4. 同学自行给出. N 1 a na N − a G n N , 1 aN bN a b N f a f b ( ) ( ) − = =
11.3同态基本定理并且GG同定理 2假定G和G是两个群，态，那么G/N=G这里 N=kerf 是同态满射的核证明：证明的关键点是构造一个同构映射f:G/N→G(启发：1.必然联想到2.f离同构有多远？3.写出 J:G/N→G)f(aN)= f(a)=a (aEG)可以证明「是一个G/N与G间的同构映射.因为：
11.3 同态基本定理 定理２ 假定 和 是两个群，并且 同 态，那么 这里 是同态满射的核. G G f G G ⎯⎯→ G N G N f = ker 证明: 证明的关键点是构造一个同构映射 (启发: 1.必然联想到 2. 离同构有多远? 3.写 出 ) 可以证明 是一个 与 间的同构映射．因为： f G N G : → f f f G N G : → f aN f a a ( ) ( ) = = ( ) a G f G N G
1)于无歧义aN=bN→b-'aN=→b'a=é→a=b→(aN)=(bN)这就是说，在f之下G/N的一个元素只有一个唯一的象；2)f是单映射.上面的过程可逆3)f是满射.给了G的一个任意元 α，在G里至少有一个元α满足条件f(a)=a，由定义，f(aN)= f(a)=a这就是说，Φ是G/N到G的满射；
1) 无歧义 ， 这就是说，在 之下 的一个元素只有一个唯一 的象； 2) 是单映射.上面的过程可逆. 3) 是满射.给了 的一个任意元 ，在 里至少 有一个元 满足条件 ，由定义， 这就是说， 是 到 的满射； f 1 1 aN bN b a N b a e a b f aN f bN ( ) ( ) − − = = = = f G N f f G a G a f a a ( ) = f aN f a a ( ) ( ) = = G N G
4）f保持运算f(aNbN)= f(abN) = f(ab) = f(a)f(b)= f(aN)f(bN)综上所述,G/N=G证完定理1告诉我们，一个群G和它的一个商群同态定理2告诉我么，抽象地来看，G只能和它的商群同态，所以我们可以说，定理2正是定理1的反面：我们知道，当群G与群G同态的时候，G的性质并不同G的完全一样．但定理2告诉我们，这时我们一定找得到G的一个不变子群N，使得G的性质和商群GN的完全一样：从这里我们可以看出，不变子群和商群的重要意义
4) 保持运算 综上所述, 证完 f f aNbN f abN f ab f a f b f aN f bN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = G N G 定理１告诉我们，一个群 和它的一个商群同态， 定理２告诉我么，抽象地来看， 只能和它的商群 同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反 面．我们知道，当群 与群 同态的时候， 的性质 并不同 的完全一样．但定理２告诉我们，这时我 们一定找得到 的一个不变子群 ，使得 的性质和 商群 的完全一样．从这里我们可以看出，不变 子群和商群的重要意义． G G G G G G G N G G N
11.4 子群的同态像和逆(原)像回忆一个子集关于映射的像与逆像定义假定f是集合A到集合 A的一个映射1. S是A的一个子集, f(S)={f(s)ls S)称为 S在 f之下的象，它刚好包含所有S的元在Φ之下的象2.S是 A的一个子集，S在Φ之下的逆象f-'(S)=(x|xEA, f(x)eS)刚好包含所有A中在f之下的像属于S的元
11.4 子群的同态像和逆(原)像 回忆一个子集关于映射的像与逆像 定义 假定 是集合 到集合 的一个映射． 1. 是 的一个子集, 称为 在 之下的象，它刚好包含所有 的元在 之下的象． 2. 是 的一个子集, 在 之下的逆象 刚好包含所有 中在 之下的像属于 的元. f A A S A f S f s s S ( ) { ( ) } = S f S S A S 1 f S x x A f x S ( ) { , ( ) } − = A f S
定理3假定G和G是两个群，并且 G与G同态：那么在这个同态满射之下的（i）G的一个子群H的象是G的一个子群：（ii）G的一个不变子群N的象 N是 G的一个不变子群证明我们用于来表示给定的同态满射（i）假定α，是H的两个任意元，那么有a,bεH使得f(a)=a,f(b)=b那么在Φ之下，ab-" = f(a)f(b)- = f(ab-")eH (??)
定理３ 假定 和 是两个群，并且 与 同 态．那么在这个同态满射之下的 （ⅰ） 的一个子群 的象 是 的一个子群； （ⅱ） 的一个不变子群 的象 是 的一个不 变子群． G G G G G H H G G N N G 证明 我们用 来表示给定的同态满射 （ⅰ）假定 ， 是 的两个任意元，那么有 使得 ， 那么在 之下， (??) f a b H a b H , f a a ( ) = f b b ( ) = 1 1 1 ab f a f b f ab H ( ) ( ) ( ) − − − = =