s6*.可离扩域我们要讨论的第二种特殊类型的域是可离扩域。我们的主要目的是要证明，有限可离扩域都是单扩域。定义令F是一个域，E是F的一个代数扩域而α是E的一个元。如果α在F上的极小多项式没有重根，那么α叫做F上的一个可离元。如果E的每一个元都是F上的可离元，那么E叫做F的一个可离扩域：否则E叫做F的一个不可离扩域。为了对于可离扩域有一些初步的了解，我们先看一看，一个不可约多项式什么时候有重根
§ 6 * . 可离扩域 我们要讨论的第二种特殊类型的域是可离扩域。我们 的主要目的是要证明，有限可离扩域都是单扩域。 定义 令 是一个域，E是 的一个代数扩域而 是E 的一个元。如果 在 上的极小多项式没有重根，那 么 叫做 上的一个可离元。如果E的每一个元都是 上的可离元，那么E叫做 的一个可离扩域；否则E叫 做 的一个不可离扩域。 F F F F F F F 为了对于可离扩域有一些初步的了解，我们先看一 看，一个不可约多项式什么时候有重根
引理 1 令 f(x)是 F[xl 的一个不可约多项式，这里 F是一个域。若F的特征是，那么f(x没有重根；若的特征是P那么f(有重根的充分与必要条件是：f(x)=g(xp)，这里 g(x)是 F[xl的一个多项式。证明f(x)有重根的充分与必要条件是：f(x)与它的导数 (x)在Fx|中有次数≥1的公因子；由于f(x)不可约，这个条件只在f'(x)=0时才能被满足。令f(x)=a,x" +an-ix"-l +...+ax+ao那么f'(x) = na,xn-I +(n-1)an-ixn-2 +...+a
引理 1 令 是 的一个不可约多项式，这里 是一个域。若 的特征是∞，那么 没有重根；若 的 特征是 ，那么 有重根的充分与必要条件是： ，这里 是 的一个多项式。 f x( ) F x F F f x( ) F p f x( ) ( ) ( ) p f x g x = g x( ) F x 证明 有重根的充分与必要条件是： 与它的 导数 在 中有次数 的公因子；由于 不可 约，这个条件只在 时才能被满足。令 那么 f x( ) f x( ) f x ( ) F x 1 f x( ) f x ( ) = 0 ( ) 1 1 1 0 n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − ( ) ( ) 1 2 1 1 1 n n n n f x na x n a x a − − − = + − + +
情形1.F 的特征是8。这时f'(x)=0=a, =an- =...=a =1这就是说，f(x)=α，与 f(x)不可约的假设矛盾。所以在这个情形下f(x)不能有重根。情形2.F的特征是P。这时f'(x)=0=a =2a, =...= na, =0这就是说，只要i0(p)，就必有α,=0。因此f(x)=apx'P +..+a2px2P +a,xP +ao=ap (x) +.+a2p (xp) +a,xP +ao证完= g(xp)
情形1. 的特征是∞。这时 这就是说， ，与 不可约的假设矛盾。所以 在这个情形下 不能有重根。 情形2 . 的特征是 。这时 这就是说，只要 ，就必有 。因此 证完 F ( ) 1 1 0 1 n n f x a a a − = = = = = ( ) 0 f x a = f x( ) f x( ) F p ( ) 1 2 0 2 0 n f x a a na = = = = = i p 0( ) 0 i a = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 0 tp p p tp p p p t p p tp p p p f x a x a x a x a a x a x a x a g x = + + + + = + + + + =
引理1特征是8的域的任何代数扩域都是可离扩域特征是p的域可以有不可离扩域。引理2 令 F是一个特征为P的域。当而且只当 F的每一元α都是F的某一元b的p次幂：a=b时，F的任何代数扩域都是可离扩域。证明 假定F的每一元α都可以写成a=bp(beF)的形式。这时F[x]的一个多项式f(x)=a, (xp) +a-(x) +..+axP+ao
引理 1 特征是∞的域的任何代数扩域都是可离扩域。 特征是 p 的域可以有不可离扩域。 引理 2 令 是一个特征为 的域。当而且只当 的每 一元 都是 的某一元 的 次幂； 时， 的任何 代数扩域都是可离扩域。 F p F F b p p a b = F 证明 假定 的每一元 都可以写成 的形式。这时 的一个多项式 F ( ) p a b b F = F x ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 t t p p p t t f x a x a x a x a − = + + + + −
在F[x]里一定可约。因为令α,=bp，就有f(x) =(b,x +b,x-+ +..+bx+bo)这样，若F[x]的一个多项式在 F[x]中不可约，那么它不能在F[x]中写成g(x)的形式。于是根据引理1，F[xl的每一不可约多项式都没有重根，因而F的代数扩域都是可离扩域。现在反过来假定，F含有元α而a≠bP（beF）。看F[x)的多项式f(x)=xp-a
在 里一定可约。因为令 ，就有 这样，若 的一个多项式在 中不可约，那么它不 能在 中写成 的形式。于是根据引理1， 的 每一不可约多项式都没有重根，因而F的代数扩域都是 可离扩域。 现在反过来假定， 含有元 而 。看 的多项式 F x p i i a b = ( ) ( ) 1 1 1 0 p t t t t f x b x b x b x b − = + + + + − F x F x F x ( ) p g x F x F a ( ) p a b b F F x ( ) p f x x a = −
作f(x)在 F上的分裂域E。在E中f(x)有p个根。另其中的一个为β，那么βP=α，因而由假设，β不属于F 设β在F上的极小，多项式是k(x)，那么k(x)If(x)。但在E(x)中f(x)=xP-a=xp-βP =(x-β)所以在E(x)中k(x)=(x-β)并且由于β不属于F，这里的n>1。这样β在F上的极小多项式 k(x)有重根，因而E就是 F的一个不可离扩域。证完。满足引理2的条件的域是存在的。例如有限域
作 在 上的分裂域E。在E中 有 个根。另其中 的一个为 ，那么 ，因而由假设， 不属于 。 设 在 上的极小，多项式是 ，那么 。但 在 中 所以在 中 并且由于 不属于 ，这里的 。这样 在 上的 极小多项式 有重根，因而E就是 的一个不可离 扩域。证完。 f x( ) F f x( ) p p = a F F k x( ) k x f x ( )| ( ) E x( ) ( ) ( ) p p p p f x x a x x = − = − = − E x( ) ( ) ( ) n k x x = − F n 1 F k x( ) F 满足引理2的条件的域是存在的。例如有限域
定理2有限域的任何代数扩域都是可离扩域证明令有限域F的特征是P，并且F含q个元：ai,a2,""",ag考察F的元ap,a,",ap由于当i≠时，ap-ap =(a,-a,)±0所以αP,α，,α是q个不同的元，因而是 F的全部元素。因此F的每一元都是F的某个元的P次幂.证完不满足引理2的条件的域F当然有不可离扩域，但这样的域F仍然可以有非凡（即不属于F）的可离元
定理 2 有限域的任何代数扩域都是可离扩域。 证明 令有限域 的特征是 ，并且 含 个元： 考察 的元 由于当 时， 所以 是 个不同的元，因而是 的全部 元素。因此 的每一元都是 的某个元的 次幂.证完。 F p F q 1 2 , , , q a a a F 1 2 , , , p p p q a a a i j ( ) 0 p p p a a a a i j i j − = − 1 2 , , , p p p a a aq q F F F p 不满足引理2的条件的域 当然有不可离扩域，但这 样的域 仍然可以有非凡（即不属于 ）的可离元。 F F F
例考虑特征是3的素域△的单超越扩域F=△()。元≤显然不是F的某一个元 P 次幂，因此 F有不可离扩域。但 F[xl的多项式 x2- 显然 F在里不可约并且没有重根。因此F有非平凡的可离元。以下我们要证明，只要一个域F有非平凡的可离元就有真（即大于的）离扩域。按照可离扩域的定义，这一点并不是显然的
例 考虑特征是3的素域△的单超越扩域 。元 显然不是 的某一个元 次幂，因此 有不可离扩 域。但 的多项式 显然 在里不可约并且没 有重根。因此 有非平凡的可离元。 以下我们要证明，只要一个域 有非平凡的可离元， 就有真（即大于 的）可离扩域。按照可离扩域的定 义，这一点并不是显然的。 F = ( ) F p F F x 2 x − F F F F F
引理3令F是一个特征为P的域。那么元α是F上的可离元的充分必要条件是：F(α)=F(αP)证明 假定 是 F上的一个可离元。这时，α一定是F(αP上的一个可离元。α是F(αP)[x]中多项式xP-α的一个根。作这个多项式F(αP在上的分裂E，那么在E里xP-αP=(x-α)"因此在F(αP)上的极小多项式可以在E里写成(x-α)"(1≤m≤p)但α是F(α)上的可离元，所以m=l。这样α在F(α)上的极小多项式是x-α。这就是说，αEF(αP)，从而F(α)= F(αP)
F p F ( ) ( ) p F F = 引理 3 令 是一个特征为 的域。那么元 是 上的 可离元的充分必要条件是： 证明 假定 是 上的一个可离元。这时， 一定是 上的一个可离元。 是 中多项式 的一个根。 作这个多项式 在上的分裂E，那么在E里 因此 在 上的极小多项式可以在E里写成 但 是 上的可离元，所以 。这样 在 上的极小多项式是 。这就是说， ，从而 F ( ) p F ( ) p F x p p x − ( ) p F ( ) p p p x x − = − ( ) p F ( ) (1 ) m x m p − ( ) p F m =1 ( ) p F x− ( ) p F ( ) ( ) p F F =
现在反过来假定，α不是F上的可离元。这时，由引理1，α在F上的极小多项式是f(x)= g(xpP)由于f(x)在 F里不可约，所以2在 F里也不可约。但αP是多少g(x)的根，所以 αP在 F上的极小多项式就是g(x)。由于f(x)和 g(x)的次数不同，所以 F(α)≠F(α）。证完
现在反过来假定， 不是 上的可离元。这时，由 引理1， 在 上的极小多项式是 由于 在 里不可约，所以2在 里也不可约。但 是多少 的根，所以 在 上的极小多项式就是 。由于 和 的次数不同，所以 。 证完。 F F ( ) ( ) p f x g x = f x( ) F F p g x( ) p F g x( ) f x( ) g x( ) ( ) ( ) p F F