s 2.唯一分解环2.1定义与例子2.2等价条件2.3典型分解2.4最大公因子与互素
§2.唯一分解环 • 2.1 定义与例子 • 2.2 等价条件 • 2.3 典型分解 • 2.4 最大公因子与互素
2.1 定义与例子由于上一节的例我们知道，在一个整环单唯一分解定理未必成立。但是我们也知道，在有些整环里，比方说整数环里，这个定理是成立的
2.1 定义与例子 由于上一节的例我们知道，在一个整环里 唯一分解定理未必成立。但是我们也知道，在 有些整环里，比方说整数环里，这个定理是成 立的
定义1一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解，即:（i）分解性.a既不等于零又不是单位的元a可以分解(p,是l素元)a=PiP2Pr（ii）唯一性若同时还有(q,是I素元a= 92--s那么Sr=q的次序掉换一下，使得并我们可以把9s是单位q,=P
定义1 一个整环 叫做一个唯一分解环，假 如 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯 一分解, 即: I I （ⅰ）分解性. a 既不等于零又不是单位的元a可 以分解 a p p p p I = 1 2 r i ( 是 素元) （ⅱ）唯一性. 若同时还有 a q q q q I = 1 2 s i ( 是 素元) 那么 r s = 并且我们可以把 qi 的次序掉换一下，使得 q p I i i i i = ( 是 单位)
例1.举正反例子例2.在唯一分解环I，每一个非零元a 的因子在相伴的意义下只有有限多个证明：(1)如果a是单位，那么，a的因子只有单位，所有单位都相伴的(??).因此,a的因子，在相伴的意义下只有一个，(2)如果a不是单位，a可以分解(p,是I素元)a=piP2pr
例1. 举正反例子 例2. 在唯一分解环 , 每一个非零元a 的因子, 在相伴的意义下只有有限多个. I 证明: (1) 如果a是单位, 那么, a 的因子只有单位, 所 有单位都相伴的(??). 因此, a 的因子, 在相伴的 意义下只有一个. (2) 如果a不是单位, a可以分解 a p p p p I = 1 2 r i ( 是 素元)
a的因子只有下面的形式：86pjopi,Pizpi,Pi,""Pji&piP2.pr不相伴因子总数不超过2"个说明：不同类因子不相伴，同类因子可能相伴
a 的因子只有下面的形式: 1 2 1 2 1 2 k j j j j j j r p p p p p p p p p 不相伴因子总数不超过 2 r 个 说明: 不同类因子不相伴, 同类因子可能相伴
注：在一个非唯一分解环，一个非零元a的因子,可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181)一个唯一分解环有下面重要性质定理1一个唯一分解环有以下性质；iii）若一个素元p能够整除余ab，那么p能够整除a或b
一个唯一分解环有下面重要性质。 定理 1 一个唯一分解环有以下性质； （ⅲ）若一个素元 能够整除 ，那么 能够整除 或 。 p ab p a b 注: 在一个非唯一分解环, 一个非零元a 的 因子, 可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181)
证明p能够整除abab = pc(1)当α,b之中有一个是零或是单位的时候，定理也是对的。若α=0,那么 plα。若α是单位那么b= p(ca-"),plb(2）α和b都不是零元，也都不是单位。这时c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不然的话（=c是一个单位ab= pe
证明 p 能够整除 ab ab pc = (1) 当 之中有一个是零或是单位的时候，定 理也是对的。若 ，那么 。若 是单位， 那么 a b, a = 0 p a| a ( ) 1 b p ca p b , | − = (2) 和 都不是零元，也都不是单位。这时 c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不 然的话 a b ab p c = = ( 是一个单位)
而由IV，1定理2，p8是素元。这就是说，素元p8可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这是矛盾。c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义c= pP2 ·Pn(p,是素元)另一方面a=qq2…q,，b=qiq2q(qi,,是素元)这样，qi92qqiq2..q,=ppP2pn
而由Ⅳ，1定理2， 是素元。这就是说，素元 可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这 是矛盾。 c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义， c p p p p = 1 2 n i ( 是素元) p p 另一方面 a q q q b q q q q q = = 1 2 1 2 r s i i ， ( , 是素元) 这样， 1 2 1 2 1 2 r s n q q q q q q pp p p =
由唯一分解的定义，p一定是某一个qi或某一个q，的相伴元，若p是某一个q;的相伴元，那么pqi ,q,a= p/a同样若p是q,某一个的相伴元，那么plb。这样，p能够整除 α,b中的一个证完
, | i i p q q a p a 由唯一分解的定义， 一定是某一个 或某一 个 的相伴元。 若 是某一个 的相伴元，那么 p i q i q p i q 同样若 p 是 qi 某一个的相伴元，那么 p b| 。 这样， p 能够整除 a b, 中的一个。 证完
2.2等价条件性质（ii）的重要性由以下定理可以看出。假定一个整环有以下性质：定理2a都有(i)I的每一个既不是零也不是单位的元一个分解(p,是|素元)a=PiP2Pr（iii）I的一个素元 p若能整除ab，那么 p能整除a或b。那么，一定是一个唯一分解环
2.2 等价条件 性质（ⅲ）的重要性由以下定理可以看出。 定理 2 假定一个整环 I 有以下性质： （ⅰ） 的每一个既不是零也不是单位的元 都有 一个分解 I a a p p p p I = 1 2 r i ( 是 素元) （ⅲ） 的一个素元 若能整除 ，那么 能整 除 或 。 那么, I 一定是一个唯一分解环。 I p ab p a b