S 4.欧氏环3.1定义及例3.2主要结论一分解环3.3两个重要唯3.4小结
§4. 欧氏环 • 3.1 定义及例 • 3.2 主要结论 • 3.3 两个重要唯一分解环 • 3.4 小结
3.1定义在整数环和数域上一元多项式环中带余除法起着重要的作用这个定理在一般的整环中并不成立例如：二元多项式环因此，需要定义可以做“带余除法”的环定义一个整环R叫做一个欧氏环，假如（i）存在一个映射ΦR（非零元所作成的集合）→N=01,2（ii）给定了R的一个不等于零的元a，R的任何元b都可以写成b=qa+r(q,rel)的形式，这里：r=O 或是(r)<(a)
3.1 定义 在整数环和数域上一元多项式环中,带余除法起着重要的作 用,这个定理在一般的整环中并不成立,例如:二元多项式环. 因此, 需要定义可以做“带余除法”的环. 定义 一个整环R叫做一个欧氏环，假如 （ⅰ）存在一个映射 (非零元所作成的集合) （ⅱ）给定了 的一个不等于零的元a， 的任何元 b 都可 以写成 的形式，这里: 或是 * R → = N {0,1, 2 } R R b qa r q r I = + ( , ) r = 0 (r a ) ( )
例1整数环是一个欧氏。因为：d:α→[a=(a）(la表示整数a的绝对值)是一个适合条件（i）的映射。给了整数α≠0，任何整数b是可以写成b=qa+r的形式，这里r=0或(r)=<a(a)
例1 整数环是一个欧氏。因为： 是一个适合条件（ⅰ）的映射。给了整数 ，任何整数 b是可以写成 的形式，这里 。 : a a a a a → = ( ) ( 表示整数 的绝对值) a 0 b qa r = + r r r a a = = 0或 ( ) ( )
3.2 主要结论定理1任何欧氏R一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。证明我们看R的任一个理想A，我们需要证明A是一个主理想如果A=0，它是一个主理想(O)如果A≠O,包含不等于零的元。由欧氏环的定义，存在一个映射Φ，在这个映射之下A的每一个不等于零的元x有一个象(x)N，那么Φ(A是N的非空子集，Φ(A)中一定有一个最小的?？)，因此我们可以找到A的一个不等于零的元a，使得对于A的任何不等于零的元x来说，都有Φ(a)≤Φ(x
3.2 主要结论 定理 1 任何欧氏R一定是一个主理想环，因而一定是一个唯 一分解环。 证明 我们看R的任一个理想A, 我们需要证明A是一个主理想。 如果A=0, 它是一个主理想(0) 如果 包含不等于零的元。由欧氏环的定义，存在一 个映射 ，在这个映射之下A的每一个不等于零的元 有一个 象 ，那么 是N的非空子集, 中一定有一个最 小的(??)，因此我们可以找到A的一个不等于零的元a，使得对 于A的任何不等于零的元 来说，都有 A 0, x ( x N ) (A ) (A ) x (a x ) ( )
再一次欧氏环的定义，A的每一个元b都可以写成b=qa+r 的形式，这里r=0或Φ(r)<Φ(a)因为a和b都属于A，r=b一qa也属于A。若是r≠0，那么有一个不等于零的元r，适合条件Φ(r)<Φ(a)与a的取法矛盾。这样，r=0,b=qα,A=(a
再一次欧氏环的定义，A的每一个元b都可以写成 的形式，这里 因为a和b都属于A， 也属于A。若是 ， 那么有一个不等于零的元 r ，适合条件 与a的取法矛盾。这样， b qa r = + r r a = 0或 ( ) ( ) r b qa = − r 0 (r a ) ( ) r b qa a = = = 0, , A ( )
3.3两个重要唯一分解环由于上面的例同这个定理我们立刻有：定理2整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。另一中常见的欧氏环就是一个域上的多项式环。我们先证明一个引理
3.3两个重要唯一分解环 由于上面的例同这个定理我们立刻有： 定理 2 整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。 另一中常见的欧氏环就是一个域上的多项式环。我们先 证明一个引理
引理假定R[x]是整环R上的一元多项式环，R[x]的元g(x)=a,x"+an-x!+..+a的最高系数an是R的一个单位那么Ⅱ[x|的任意多项式f（x）都可以写成f(x)=q(x)g(x)+r(x) (q(x),g(x)el[xl ) 的形式，这里或是r(x）=0或是r(x）的次数小于g(x）的次数n
引理 假定 是整环R上的一元多项式环， 的元 的最高系数 是R的一个单位。 那么 的任意多项式 都可以写成 的形式，这里 或是 或是 的次数小于 的次数n。 R x R x ( ) 1 1 0 n n g x a x a x a n n − = + + + − an I x f x( ) f x q x g x r x q x g x I x ( ) = + ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ) ) r x( ) = 0 r x( ) g x( )
证明（带余乘法的实施：逐步消去最高项）若f(x)=0是或是f(x)的次数小于n，那么我们取q(x)=0,r(x)=f(x)就行了。假定(x)=bux"++b。(m≥n),，我们取(x)=a'"b*m-"，那么 f (α)-q (x)g(x) = bmx" +...+ b -(bmx" +a,"bman--xm1 +..)= fi(x)f(x)=0或 f(x)的次数小于m。假定f(x)=0或是f(x)的次数已经小于n，那么取g(x)=g(x)就行了。假如f(x)的次数还大于n，用同样的方法我们可以得到fi(x)-q2 (x)g() = f (x)-/q (x)+q2 (x) |g(x)= f2 (x)f(x)=0或是f(x)的次数小于m-1。这样下去，我们总可以得到 f(x)=/q(x)+q2 (x)+...+q, (x) /g(x)+f. (x)f(x)=0 或是f(x)的次数小于n。证完。由这个引理我们很容易证明
证明 (带余乘法的实施: 逐步消去最高项) 若 是或是 的次数小于n，那么我们取 就行了。 假定 ，我们取 ，那 么 或 的次数小于m。假定 或是 的次数 已经小于n，那么取 就行了。假如 的次数还大 于n，用同样的方法我们可以得到 或是 的次数小于 。这样下去，我们总可以得 到 或是 的次数小于n。证完。 由这个引理我们很容易证明 f x( ) = 0 f x( ) q x r x f x ( ) = = 0 , ( ) ( ) ( ) 0 ( ) m m f x b x b m n = + + ( ) 1 1 m n n m q x a b x − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 m m m m m n m n f x q x g x b x b b x a b a x f x − − − = + + − + + = − f x 1 ( ) = 0 f x 1 ( ) ( ) f x 1 ( ) 1 f x = 0 q x q x ( ) = 1 ( ) f x 1 ( ) f x q x q x q x g x f x ( ) = + + + + 1 2 ( ) ( ) i i ( ) ( ) ( ) f x q x g x f x q x q x g x f x 1 2 1 2 2 ( ) − = − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x 2 ( ) = 0 f x 2 ( ) m−1 ( ) 0 i f x = f x i ( )
定理3一个域上的一元多项式环是一个欧氏环。证明利用多项式的次数我们显然可以规定一个合于条件的映射，就是Φ : g(x) → deg(g(x), g(x) ± 0域的每一个不等于零的元都是一个单位，所以由引理，F[x]每一个f(x)都可以写成f(x)=q(x)g(x)+r(x)(q(x),g(x)eR[xl )的形式，这里或是r(x)=0 或是r(x)的次数小于g(x)的次数n。证完
定理 3 一个域上的一元多项式环是一个欧氏环。 F x f x( ) 证明 利用多项式的次数我们显然可以规定一个合于条件的映 射，就是 域的每一个不等于零的元都是一个单位，所以由引理， 每一个 都可以写成 的形式，这里或是 或是 的次数小于 的次数n。 证完。 : ( ) deg( ( )), ( ) 0 g x g x g x → f x q x g x r x q x g x R x ( ) = + ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ) ) r x( ) = 0 r x( ) g x( )
3.4小结欧氏环三主理想环堆一分解环反例1唯一分解环不是主理想环，Z[x反例2主理想环不是欧氏环，复杂，不能引用到本书里来
3.4 小结 欧氏环 主理想环 唯一分解环 反例1唯一分解环不是主理想环, 反例2主理想环不是欧氏环, 复杂, 不能引用到本书里来. Z x[ ]