复变函数第五章留数第一节孤立奇点留数第二节第三节留数在定积分计算上的应用U
1 • 第一节 孤立奇点 • 第二节 留 数 • 第三节 留数在定积分计算上的应用
复变函数第一节孤立奇点一、孤立奇点的概念5二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考U
一、孤立奇点的概念 二、函数的零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考
复变函数孤立奇点的概念定义如果函数 f(z)在 z不解析,但 f(z)在 zo的某一去心邻域0zo<内处处解析,则称zo为 f(z)的孤立奇点sin例1 Z= 0 是函数的孤立奇点0ZZ=-1是函数的孤立奇点z+1注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点。U
3 定义 如果函数 0 f (z)在 z 不解析, 但 f (z)在 0 z 的某一去心邻域 � � � � 0 0 z z 内处处解析, 则称 0 z 为 f (z)的孤立奇点. 例1 z � 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z � �1是函数 1 1 z � 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点
复变函数2N例2 指出函数 f(z)在点=0的奇点特性sinZ解，函数的奇点为Z=0,z(k =±1,±2,.)k元1因为0,lim三k→ k元即在z=0的不论怎样小的去心邻域内，总有f(z)的奇点存在，所以z=0不是孤立奇点U
4 例2 指出函数 在点 z � 0 z z f z 1 sin ( ) 2 � 的奇点特性. 解 � � � k z z 1 0 , (k � �1,� 2 ,�) 因为 0� 1 lim � k�� k� 即在z � 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以z � 0 不是孤立奇点
复变函数2. 分类以下将f(s)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：2n2sin zNZ(1)+(-1)"+5!3!(2n + 1)!特点：没有负幂次项n-1n-1+81eZZIM"M(2)=+1+→+2!n!n!77=特点：只有有限负幂次项(3)e= 1 + z十·+十+77.2!n!特点：有无穷多负幂次项U
5 2. 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数�根 据展开式的不同情况�将孤立点进行分类。考察� � � � � � � � � � � (2 1)! ( 1) 3! 5! 1 sin (1) 2 4 2 n z z z z z n n 特点�没有负幂次项 � � � � � � � � � � �� � � �� � � 2! ! 1 1 ! ! 1 (2) 1 0 1 0 n z z n z z n z z z e n n n n z n 特点�只有有限负幂次项 � � � � � � � � z � n � � n e z z z ! 1 2! 1 (3) 1 1 2 1 特点�有无穷多负幂次项
复变函数孤立奇点的分类依据f()在其孤立奇点3.的去心邻域0<-zol< 内的洛朗级数的情况分为三类:2． 极点;1.可去奇点;3.本性奇点1：可去奇点1) 定义如果洛朗级数中不含z-z0的负幂项那末孤立奇点z.称为f）的可去奇点U
6 孤立奇点的分类 依据 f (z)在其孤立奇点 0 z 的去心邻域 � � � � 0 0 z z 内的洛朗级数的情况分为三类: 1�可去奇点 1�可去奇点; 2�极点; 3�本性奇点. 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 0 z � z 0 那末孤立奇点z 称为 f (z) 的可去奇点. 1) 定义
复变函数说明：(1）z若是f(z)的孤立奇点f(z) =co + ci(z - zo)+ + c,(z - zo)"+:(0<-z0<)其和函数F(z)为在解析的函数(2)无论 (z) 在 是否有定义,补充定义f(zo）=co，则函数 f(z）在 zo解析F(z), Z± z0f(zo) = lim f(z)f(z) =Z-→Z0Co 2 Z=2Z0U
7 其和函数F (z)为在 0 z 解析的函数. � � � � � � 0 0 0 , ( ), ( ) c z z F z z z f z 说明: (1) ( ) , z 0若是 f z 的孤立奇点 ( ) ( ) ( ) . � 0 � 1 � 0 � � � � 0 � � n n f z c c z z c z z ( 0 ) 0 � z � z � � ( ) lim ( ) 0 0 f z f z z� z � ( ) , 0 0 f z � c (2) 无论 在 是否有定义, f (z) 0 z 补充定义 则函数 在 0 f (z) z 解析
复变函数2）可去奇点的判定(1)由定义判断：如果 f(z)在z。的洛朗级数无负幂项则z为 f(z)的可去奇点(2)判断极限lim f(z)：若极限存在且为有限值Zzo则z为f(z)的可去奇点。山
8 2) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断: 如果 f (z)在z 0 的洛朗级数无负 幂项则 0 z 为 f (z) 的可去奇点. (2) 判断极限lim ( ) : 0 f z z� z 若极限存在且为有限值, 则 0 z 为 f (z)的可去奇点
复变函数1sin7例3中不含负幂项Z.3!5!7.sinZ是Z=0的可去奇点·Z如果补充定义：sin zZ=0时,1-Nsin5那末在 z=0解析2U
9 如果补充定义: z � 0 时, 1, sin � z z 那末 z sin z 在 z � 0 解析. 例3 � � � � � 2 4 5! 1 3! 1 1 sin z z z z 中不含负幂项, z � 0 是 z sin z 的可去奇点
复变函数例4 说明z=0 为的可去奇点Zet一2解(1+..-1)+.Z...X2!n!N71n-10+8++77.+X2!n!无负幂项Ne所以 =0为的可去奇点Ne另解lim e" = 1,因为lim707-0N7e为所以 =0的可去奇点U49
10 例4 说明z � 0 为 z e z � 1 的可去奇点. 解 � � z e z 1 , ! 1 2! 1 1 1 � � � � � � � n� z n z 0 � z � �� 所以 z � 0 为 的可去奇点. z e z � 1 无负幂项 另解 z z z z e z e 0 0 lim 1 lim � � � � 因为 所以 z � 0 为 的可去奇点. z e z � 1 1) ! 1 2! 1 (1 1 2 � � � � � � � � n z n z z z � 1