8 5.多项式环的因子分解5.1基本结论5.2引理5.3结论的证明
§5 .多项式环的因子分解 5.1 基本结论 5.2 引理 5.3 结论的证明
5.1 基本结论我们将要得到的结果是：一个唯一分解环1上的多元多项式环I[x,x2,,x,]本身也是唯一分解环
5.1 基本结论 我们将要得到的结果是：一个唯一分解环 上的多元多 项式环 本身也是唯一分解环。 I I x x x 1 2 , , , n
5.2引理把一个素多项式叫做不可约多项式，把一个有真因子的多项式叫做可约多项式。定义[x]的一个元(x)叫做一个本原多项式，假如f(x)的系数的最大公因子是单位。引理1假定f(x）=g(x）h(x）。那么(x）是本原多项式，当而且只当g（x）和h（x）都是本原多项式的时候
5.2引理 把一个素多项式叫做不可约多项式，把一个有真因子的多 项式叫做可约多项式。 定义 的一个元 叫做一个本原多项式，假如 的 系数的最大公因子是单位。 I x f x( ) f x( ) 引理 1 假定 。那么 是本原多项式，当 而且只当 和 都是本原多项式的时候。 f x g x h x ( ) = ( ) ( ) f x( ) g x( ) h x( )
证明若是f(x)是本原多项式，显然g(x)和h(x)也都是本原多项式。g(x)=ao +ax+...现在假定h()=b。+bx+….是两个本原多项式。如果f(x)=g(x)h(x)=c+cx+…不是本原多项式，那么C+c +….有一个最大公因子d，d不是I的单位。由于（B）’g(x)±0,h(x)≠0 ，因而 f(x)±0,d±0。这样，由于I 是唯一分解环，有一个「的素元p可以整除d，因而可以整除每一个Ck。这个p不能整除所有的α.，也不能整除所有的b,，不然g(x)和h(x)不会是本原多项式。假定a,和b.各是g(x)和h(x)的头一个不能被p整数的系数。f(x)是系数Cr+.可以写成以下形式
g x h x ( ) 0, 0 ( ) I 证明 若是 是本原多项式，显然 和 也都是本原多项 式。 现在假定 是两个本原多项式。 如果 不是本原多项式，那么 有一个最大公因子d，d不是 的单位。由于（B）， ，因而 。这样，由于 是唯一分解 环，有一个 的素元 可以整除d，因而可以整除每一个 。 这个 不能整除所有的 ，也不能整除所有的 ，不然 和 不会是本原多项式。假定 和 各是 和 的头 一个不能被 整数的系数。 是系数 可以写成以下形式 f x( ) g x( ) h x( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 g x a a x h x b b x = + + = + + ( ) ( ) ( ) 0 1 f x g x h x c c x = = + + 0 1 c c + + I I p k c p i a j b g x( ) h x( ) ar bs g x( ) h x( ) p f x( ) r s c + f x d ( ) 0, 0
Cr+s = a,b, +ar+1bs-1 +ar+2bs-2 +..+ ar-,bs+1 +ar-2bs+2 +...在这个式子里除了α.b.以外，每项都能被p整除，所以a,b,也能被p整除，因而由于I是唯一分解环，α,或 b,能被p整除，与这两个元的取发相反。这样f(x)必须是本原多项式。证完。现在我们用I的商域Q来做Q上的一元多项式环Q[xl，那么Q[x包含I[xl。我们知道9x是唯一分解环，我们要由这一件事实来证明Ⅱx也是唯一分解环
在这个式子里除了 以外，每项都能被 整除，所以 也能被 整除，因而由于 是唯一分解环， 或 能 被 整除，与这两个元的取发相反。这样 必须是本原多 项式。证完。 现在我们用 的商域Q来做Q上的一元多项式环 ，那么 包含 。我们知道 是唯一分解环，我们要由这一件 事实来证明 也是唯一分解环。 1 1 2 2 1 1 2 2 r s r s r s r s r s r s c a b a b a b a b a b + + − + − − + − + = + + + + + + r s a b p a br s p I ar bs p f x( ) I Q x Q x Q x I x I x
引理2Q[]的每一个不等于零的多项式f()都可以写成F(x)=-fo(x)的样子，这里a,bel,f(x是[x]的本元多项式。若是8(x)也有f。（x）的性质，那么（是的单位）go(x)=sf.(x)
引理 2 的每一个不等于零的多项式 都可以写成 的样子，这里 是 的本元多项式。若是 也 有 的性质，那么 Q x f x( ) ( ) 0 ( ) b f x f x a = a b I f x , , 0 ( ) I x g x 0 ( ) f x 0 ( ) g x f x I 0 0 ( ) = ( ) ( 是 的单位)
证明Q的元都可以写成(a,bel，α0)的样子，因此f(x)=bo+bx+..bx"(a,b,eI)叫a=aa..an，那么J(t)=(co+cx+…+c,x"）(c,e1)叫 b 是 Co,G,",c,的一个最大公因子，那么f(x)=f(x)，f(x)是本原多项式（IV，2习题2)假定另一方面 r(x)==g ()，c,d,g(x) 是I[x]的本原多项式,那么 h(x)=bcf(x)=adg。(x)是[的一个多项式。由于f。(x)和 g。(x)都是本原多项式，bc和ad一定同是h(x)的系数的最大公因子（IV，2，习题2），因而bc=εad（c是的单位证完这样 εf(x)=g(x)
证明 Q的元都可以写成 的样子，因此 叫 ，那么 叫 b 是 的一个最大公因 子，那么 ， 是本原多项式（Ⅳ，2习题2） 假定另一方面 ， 是 的本原多项式， 那么 是 的一个多项式。由于 和 都是本原多项式，bc和ad一定同是 的系数 的最大公因子（Ⅳ，2，习题2），因而 这样 证完 ( , ) b a b I a a ， 0 ( ) ( ) 0 1 0 1 , n n i i n b b b f x x x a b I a a a = + + + 0 1 n a a a a = ( ) ( 0 1 ) ( ) 1 n n i f x c c x c x c I a = + + + 0 1 , , , n c c c ( ) 0 ( ) b f x f x a = f x 0 ( ) ( ) 0 ( ) d f x g x c = c d g x , , 0 ( ) I x h x bcf x adg x ( ) = = 0 0 ( ) ( ) I x f x 0 ( ) g x 0 ( ) h x( ) bc ad I = ( 是 的单位) f x g x 0 0 ( ) = ( )
引理3[]的一个本元多项式（x在[]里可约的充分而且必要条件：f（x）在Q[]里可约
引理3 的一个本元多项式 在 里可约的充 分而且必要条件： 在 里可约。 I x f x 0 ( ) I x f x 0 ( ) Q x
证明假定f(x)在g[x]里可约。这时，因为f(x)显然也是g[x]的本原多项式，由（C）。g(x)和 h(x)都属于g[xl，并且它们的次数都大于零。由引理2, (t)-台g。(t)台h(t)-台台g.(t)h(*)， h()和a,b,a',b'eI,g(x)都是 I[x的本原多项式。由引理1,g(x)h(x)还是本原多项式；由引理2，J(x)=8g(x)h(x）(s是/的单位)因此cg。(x)，h (x)e[xl ，但cg。(x)和h (x)的次数各等于g(x)和h(x的次数，因而都大于零：εgo(x)，h(x)=l；由（A），εg(x)和h(x)都不是I[x]的单位。这样，由IV，1，定理3,f(x)在I[x] 里可约
证明 假定 在 里可约。这时，因为 显然也是 的本原多项式，由（C）。 和 都属于 ，并且它们 的次数都大于零。 由引理2， ， 和 都是 的本原多项式。由引理1， 还是本原多项式；由引理2， 因此 ，但 和 的次数各等于 的次数，因而都大于零： ；由（A）， 和 都不是 的单位。这样，由Ⅳ，1，定理3， 在 里可约。 f x 0 ( ) Q x f x 0 ( ) Q x g x( ) h x( ) Q x 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b f x g x h x g x h x a a a a = = h x 0 ( ) a b a b I g x , , , , 0 ( ) I x g x h x 0 0 ( ) ( ) f x g x h x I 0 0 0 ( ) = ( ) ( ) ( 是 的单位) g x h x I x 0 0 ( )， ( ) g x 0 ( ) h x 0 ( ) g x h x ( )和 ( ) ( ) ( ) 0 0 g x h x I ， g x 0 ( ) h x 0 ( ) I x f x 0 ( ) I x
假定f(x)在I[x]里可约。这时，由（C），fo(x)=g(x)h(x)g(x)和h(x)都属于I[)，并且他们的次数都大于零。这样,由（A)，把g(x)(偷的元，这两个多项式也不是的单由IV，1，定理3，在里f约。Q逊完
假定 在 里可约。这时，由（C）， 都属于 ，并且他们的次数都大于零。这样， 由（A），把 看作的元，这两个多项式也不是 的单位；由Ⅳ，1，定理3，在 里 可约。证完。 f x 0 ( ) I x I x f x g x h x 0 ( ) = ( ) ( ) g x h x ( )和 ( ) g x h x ( )和 ( ) Q x ( ) Q x 0 f x