S7理想 7.1定义及例子7.2理想的交与和7.3除环的理想7.4生成理想
§7 理想 • 7.1 定义及例子 • 7.2 理想的交与和 • 7.3 除环的理想 • 7.4 生成理想
7.1 定义及例子在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子环，就是理想子环,简称为理想(ldeal).理想在环论单的地位同不变子群在群论单的地位类似定义环R的一个非空子集叫做{一个理想子环假如简称理想，(i) a,beI=a-bEl(ii)ael, reR=ra, arel（强闭合性）
7.1 定义及例子 在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子 环，就是理想子环,简称为理想(Ideal). 理想在环论 里的地位同不变子群在群论里的地位类似。 定义 环R的一个非空子集I叫做一个理想子环， 简称理想，假如 （ⅰ） （ⅱ） (强闭合性) a b I a b I , − a I r R ra ar I ,
注1：理想一定是一个子环，由（i），一个理想A是一个加群，由于（ii）I对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环。但（ii）不仅要求的两个元的乘积必须A在A里，而且进一步要求，A、在一个任意元同R的一个任意元的乘积都必须在，里，所以称为强闭合性。注2:心可以义翌(若)理想，113,爸注3：一个环R至少有以下两个理想：1.只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想：2.R自己，这个理想叫做R的单位理想两个通称为平凡理想
注1：理想一定是一个子环. 由（ⅰ），一个理想 是一个加群，由于（ⅱ）， 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个 子环。但（ⅱ）不仅要求 的两个元的乘积必须 在 里，而且进一步要求， 在一个任意元同R的一个 任意元的乘积都必须在 里,所以称为强闭合性。 A I I A A A 注2：可以定义左(右)理想, p113, ex6. 注3：一个环R至少有以下两个理想： 1. 只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想； 2. R自己，这个理想叫做R的单位理想。 两个通称为平凡理想
我们举两个例。例1看整数环R。那么一个整数 n≠0，n的所有倍数 rn(rER)作成一个理想。例 2 看一个环R一元多项式环 R[xl。那么所有多项式ax+aax?+.+a,x"(n≥1)作成R[xl的一个理想
我们举两个例。 例 1 看整数环R。那么一个整数 ，n的所有 倍数 作成一个理想。 n 0 rn r R ( ) 例 2 看一个环R一元多项式环 。那么所有多 项式 作成 的一个理想。 R x ( ) 2 1 2 1 n n a x a x a x n + + + R x
7.2 理想的交与和命题1设11是R的两个理想,那么()InI仍然是理想(i),+= αa,)仍然是理想,称为和注4：I,UI2一般不是理想.I,+I2是包含I,UI,的最小理想
7.2 理想的交与和 命题1 设 是R的两个理想,那么 (i) 仍然是理想 (ii) 仍然是理想, 称为和. 1 2 I I, 1 2 I I 1 2 1 2 1 1 2 2 I I a a a I a I + = + { , } 注4： 一般不是理想. 是包含 的最小 理想. 1 2 I I 1 2 I I + 1 2 I I
7.3除环的理想定理1一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位理想。证明假定「是R的一个非零理想。那么I3α≠0，由理想的定义,a-'a=leI，因而R的任意元b=b·lel这就是说，I=R证完。注5：在一个有单位元1的环中，如果理想1包含一个可逆元，那么是单位理想注6：定理1的逆命题不成立(p119，ex.4)
7.3 除环的理想 定理 1 一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位 理想。 证明 假定 是R的一个非零理想。那么 ， 由理想的定义， ，因而R的任意元 这就是说， 证完。 I I a 0 1 a a I 1 − = b b I = 1 I R = 注5：在一个有单位元1的环中, 如果理想 包含一个 可逆元, 那么 是单位理想. 注6：定理1的逆命题不成立(p119, ex.4). I I
7.4生成理想给了一个环R，我们可以用以下方法做一些R的理想称为生成理想一个元素生成的理想一主理想设α是R里一个元，利用α我们作一个集合I，I包含所有可以写成(xay +...+xmaym)+sa+at +na(x,y,s,t e R,n是整数形式的元。那么
7.4 生成理想 给了一个环R，我们可以用以下方法做一些R的理想, 称为生成理想. ⚫一个元素生成的理想—主理想 设 是R里一个元，利用 我们作一个集合 ， 包 含所有可以写成 形式的元。那么 a a I I ( x ay x ay sa at na x y s t R n 1 1 + + + + + m m i i ) ( , , , , 是整数)
[1]I是R的一个理想。因为：两个这种形式的元相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从左边去乘A一个元也得到一个这种形式的元，就是(rx,)ayi +...+(rxm)aym + rat|+(rs + nr)a用r从右边去乘的元A情形一样。[2]I显然是包含α的最小的理想。定义2上面I的叫做由元α生成的主理想。这个理想我们用符号（α）来表示
[1] 是R的一个理想。因为：两个这种形式的元 相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从 左边去乘 一个元也得到一个这种形式的元，就是 用r从右边去乘的元 情形一样。 [2] 显然是包含 的最小的理想。 I A (rx ay rx ay rat rs nr a 1 1 ) + + + + + ( m m ) ( ) A I a 定义2 上面 的叫做由元 生成的主理想。这个 理想我们用符号 来表示。 I a (a)
以下用到最多的理想就是主理想一个主理想(a)的元的形式并不是永远象上面那样复杂。[1]当R是交换环时，(a)的元显然都可以写成(r E R,n是整数)ra+na的形式[2]当R有单位元的时候，（a)的元都可以写成Ex,ay, (xi,y, eR)的形式，因为这时，sa= sal, at =lat, na =(nl)al
以下用到最多的理想就是主理想。 一个主理想 的元的形式并不是永远象上面那样复 杂。 [1] 当R是交换环时， 的元显然都可以写成 的形式 [2] 当R有单位元的时候， 的元都可以写成 的形式，因为这时， (a) (a) ra na r R n + ( , 是整数) (a) x ay x y R i i i i ( , ) sa sa at at na n a = = = 1, 1 , ( 1) 1
[3]当R既是交换环又有单位元的时候，（a)的元的形式特别简单，这时它们都可以写成(reR)ra因此,这时(a)也可以写出aR例3.例1里的理想就是由n生成的主理想(n)。注7：如果R=2Z，(4)的元素形如：???
[3] 当R既是交换环又有单位元的时候， 的元的形 式特别简单，这时它们都可以写成 因此, 这时 也可以写出aR。 (a) ra r R ( ) (a) 例3. 例1里的理想就是由n生成的主理想 (n) 。 注7：如果R=2Z, (4)的元素形如: ???