S1.加群、环的定义内容提要：1.1加群及符号的转换1.2环的定义及基本性质1.3一批例子重点：加群的符号转换引起的运算律的不同表达理解和熟记环的定义使用定义验证
§1. 加群、环的定义 内容提要: 1.1 加群及符号的转换 1.2 环的定义及基本性质 1.3 一批例子 重点: ◼ 加群的符号转换引起的运算律的不同表达. ◼ 理解和熟记环的定义. ◼ 使用定义验证
1.1加群及符号的转换在环的定义单要用到加群这个概念。我们先把这个概念说明一下。抽象群的代数运算到现在为正我们都用乘法的符号来表示。但我们知道，一个代数运算用什么符号来表示是没有关系的。一个交换群的代数运算，在某种场合之下，用加法的符号来表示为方便
1.1 加群及符号的转换 在环的定义里要用到加群这个概念。我们先把 这个概念说明一下。抽象群的代数运算到现在为 止我们都用乘法的符号来表示。但我们知道，一 个代数运算用什么符号来表示是没有关系的。一 个交换群的代数运算，在某种场合之下，用加法 的符号来表示为方便
1.1加群及符号的转换定义一个交换群叫做一个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且用符号+来表示。一个加群的唯一的单位元我们用0表示，并且把它叫做零元。我们有以下计算规则：(1)0+a=a+0= a(a是任意元）元a的唯一的逆元我们用来表示-a，并且把它叫做的负元（简称负),a+(一b)记为a一b.(2)a-a=??(3)-(-a)=??
◼ 定义 一个交换群叫做一个加群，假如我们把这 个群的代数运算叫做加法，并且用符号+来表示。 ◼ 一个加群的唯一的单位元我们用0表示，并且把它 叫做零元。我们有以下计算规则： （1） 0＋a=a＋0= a (a是任意元) ◼ 元a的唯一的逆元我们用来表示-a，并且把它叫做 的负元（简称负),a+(－b)记为a－b. (2) a-a=?? (3) -(-a)=?? 1.1 加群及符号的转换
1.1加群及符号的转换(4) a+b=c ←>b=a-c(5) -(a+b)=??由于加群的加法适合结合律，n个元的和有意义，这个和我们有时用符号来香:i=1Z(α, + b,) = ??i=l??,n>0na=??,n=0??,n<0
1.1 加群及符号的转换 (4) a+b=c b=a-c (5) –(a+b)=?? ◼ 由于加群的加法适合结合律，n个元 的和有意义， 这个和我们有时用符号来 表示： 1 n i i a = 1 ( ) ?? n i i i a b = + = ??, 0 ??, 0 ??, 0 n na n n = =
1.1加群及符号的转换(m+n)a=??n(a+b)=??n(ma)=??加群的一个非空子集S作成一个子群的充分必要条件是：？？
1.1 加群及符号的转换 ( m+n)a=?? n(a+b)=?? n(ma)=?? ◼ 加群的一个非空子集S作成一个子群的充分必要 条件是 : ??
1.2环的定义及基本性质定义：一个集合R叫做一个环，假如1．R是一个加群，换一句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群；2.R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3.这个乘法适合结合律：a(bc) = (ab)c4.两个分配律都成立：a(b+c)= ab+ac(b+c)a= ba+ac
1.2 环的定义及基本性质 ◼ 定义： 一个集合R叫做一个环，假如 1．R是一个加群，换一句话说，R对于一个叫做加法的 代数运算来说作成一个交换群； 2．R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的； 3． 这个乘法适合结合律： 4.两个分配律都成立： a bc ab c ( ) ( ) = ( ) ( ) a b c ab ac b c a ba ac + = + + = +
1.2环的定义及基本性质基本性质：(7) a(b-c)=??, (b-c)a=??(8）0a=a0=??,这里0是零元素(9)(-a)b = a(-b) = ab(10)(-a)(-b) = ab
1.2 环的定义及基本性质 ◼ 基本性质: (7) a(b-c)=??, (b-c)a=?? (8) 0a=a0=??, 这里0是零元素 (9) (10) ( ) ( ) − = − = a b a b ab ( )( ) − − = a b ab
1.2环的定义及基本性质(11)a(b +b, +...+b,)= ab +ab, +...+ab(b, +b, +...+b,)a=ba+b,a+...+b,a(12)(a +...+am)(b +..+bm) ==ab +..+abm+...+a.b +.+a.b.即:(Za,)(Zb)=≥≥ab,1=J=i=1 j=1
1.2 环的定义及基本性质 (11) (12) 即: 1 2 1 2 ( ) n n a b b b ab ab ab + + + = + + + 1 2 1 2 ( ) n n b b b a b a b a b a + + + = + + + 1 1 ( )( ) m m a a b b + + + + = 1 1 1 1 m m m m = + + + + + + a b a b a b a b 1 1 1 1 ( )( ) m n m n i j i j i j i j a b a b = = = = =
1.2环的定义及基本性质(13) (na)b = a(nb)= n(ab)这里：n是任何整数n个规定：an=aa...a这单:n是正整数，它有下面的性质：a"a"= am+n(14)(a")" = amm这里:正整数m，n
1.2 环的定义及基本性质 (13) 这里:n是任何整数 ◼ 规定: 这里:n是正整数 ,它有下面的性质: (14) 这里:正整数m，n ( ) ( ) ( ) na b a nb n ab = = n n a aa a = 个 ( ) m n m n m n mn a a a a a + = =
1.3一批例子数集中的环全矩阵环：M,(F)它一些子集也可以构成环多项式环：F[x]F[x]它一些子集也可以构成环·剩余类环:Z, ={[0],[1],[2][n-1]}Back
1.3 一批例子 ◼ 数集中的环 ◼ 全矩阵环: 它一些子集也可以构成环 ◼ 多项式环: 它一些子集也可以构成环 • 剩余类环: ( ) M F n F x[ ]{[0],[1],[2] [ 1]} Z n n = − F x[ ]