S 3. 主理想环3.1定义3.2 两个有趣的引理3.3主要定理
§ 3. 主理想环 • 3.1 定义 • 3.2 两个有趣的引理 • 3.3主要定理
3.1定义要知道一个整环是不是一个唯一分解铅不是一件容易的事，因为要测验唯一分解定义里的条件（i），（ii）或是（IV），2,定理2里的条件（i），（iii）能否被满足，一般是非常困难的。以下我们要认识几种特殊的唯一分解环，使得我们在解决以上问题时可以有一点帮助
要知道一个整环是不是一个唯一分解铪不 是一件容易的事，因为要测验唯一分解定义 里的条件（ⅰ），（ⅱ）或是（Ⅳ），2， 定理2里的条件（ⅰ），（ⅲ）能否被满足， 一般是非常困难的。以下我们要认识几种特 殊的唯一分解环，使得我们在解决以上问题 时可以有一点帮助。 3.1 定义
第一种是主理想环定义 一个环「叫做一个主理想环，假如I的没个理想都是主理想
第一种是主理想环。 定义 一个环 叫做一个主理想环，假如 的没 个理想都是主理想。 I I
3.2两个有趣的引理本节证明，一个主理想环一定是一个唯一分解环。为证明这一点，我们需要两个引理这两个引理本身也是很重要。例1环R的理想升链ICI,..In CIn+l的并I=JI 是理想i-1
3.2 两个有趣的引理 本节证明, 一个主理想环一定是一个唯一 分解环。为证明这一点，我们需要两个引理。 这两个引理本身也是很重要。 例1 环R的理想升链: 1 2 1 n n I I I I + 的并 是理想 1 n i i I I = =
例2 在整环中(1) (a)≤(b)≤bla(2)(a)=(b)← a,b是相伴元引理1 假定R是一个主理想环，若在序列(a, l)a,a2,a32中每一个元是前面一个真因子，那么这个序列定是一个有限序列，也就是说，一定存在n，使得an不是an+i的真因子
例2 在整环中, (2) ( ) ( ) , a b a b = 是相伴元 (1) ( ) ( ) a b b a 引理 1 假定 是一个主理想环，若在序列 中每一个元是前面一个真因子，那么这个序列 一定是一个有限序列, 也就是说, 一定存在 , 使得 不是 的真因子。 R a a a a I 1 2 3 , , , ( i ) n n a n 1 a +
证明构造主理想(a),(a2),(a),...由于αi+1是α,的因子，显然(a)≤(a2) ≤(a)...我们看这些理想的并集A，A是R的一个理想(例1)。由于R是主理想环，A一定是一个主理想：A=(d)。这个d属于A，所以也属于某一个(an)我们将证明，这个n一定是我们要求的元
证明 构造主理想 (a a a 1 2 3 ), , , ( ) ( ) 由于 ai+1 是 ai 的因子，显然 (a a a 1 2 3 ) ( ) ( ) 我们看这些理想的并集 , 是R的一个理想 (例1)。由于R是主理想环， 一定是一个主理 想： 。这个d属于 ，所以也属于某一个 。 我们将证明，这个 一定是我们要求的元。 A A A A = (d ) A (an ) n
首先,d e(an),an+t E(d) = A可以得到an Id, d|an+l于是a, lan+l其次，已知条件an+1 Ian这样an+1和an是相伴元。证完
首先, d a a d ( n n ), +1 ( ) = A 可以得到 1 | , | n n a d d a + 于是 1 | n n a a + 其次,已知条件 1 | n n a a + 这样 an+1 和 an 是相伴元。证完
引理2 假定R是一个主理想环，那么R的一个素元P生成一个最大理想证明假定A是满足条件的理想：(p)cA CR由于R是主理想环，我们有peA =(a)因而ap,a是p的因子。但p是素元，所以α不是p的相伴元，就是单位
引理 2 假定R是一个主理想环，那么R的 一个素元 p 生成一个最大理想。 证明 假定 A 是满足条件的理想: ( p R ) A 由于R是主理想环，我们有 p a = A ( ) 因而 a p, 是 的因子。但 是素元，所以 不是 的相 伴元，就是单位。 a p p a p
如果α是p的相伴元A = (a)=(p)如果 a是单位，A= R证完
如果 a 是 p 的相伴元, A = ( ) a p = ( ) 如果 a 是单位, A = R 证完
3.3主要定理现在我们证明定理 一个主理想环R是一个唯一分解环。证明我们使用第二阶的定理2（i）R的每一个既不是零也不是单位的元α都有一个分解(p,是I素元)α= ppz.pr
3.3主要定理 现在我们证明 定理 一个主理想环R是一个唯一分解环。 证明 我们使用第二阶的定理2 （ⅰ）R的每一个既不是零也不是单位的元 都 有一个分解 a a p p p p I = 1 2 r i ( 是 素元)