8 6. 因子分解与多项式的根6.1根与一次因子6.2重根
§6. 因子分解与多项式的根 6.1 根与一次因子 6.2 重根
6.1根与一次因子在这一章的最后我们讨论一下，一个整环上的一元多项式环里的因子分解同多项式的根的关系。这一节的结果都是中学代数的习知定理的推广
6.1 根与一次因子 在这一章的最后我们讨论一下，一个整环上的一元多项式 环里的因子分解同多项式的根的关系。这一节的结果都是 中学代数的习知定理的推广
定义1I的元α叫做[xl的多项式f(x）的一个根，假如f(a)=0例1.在Zs上,求多项式f(x)=x2+[1]的根
定义1 I 的元 a 叫做 I x 的多项式 f x( ) 的一个根，假如 f a( ) = 0 例1. 在 Z5 上, 求多项式 f x x ( ) = +2 [1] 的根
定理1f(x）被x-α除的余式r=f(a)，即：f(x)可以写出f(x)=q(x)(x-a)+r, rel并且r=f(a)。证明因为x-α的最高系数1是一个单位，依照IV，4，引理, f(x)=g(x)(x-a)+r, re I用α 代入, 得 f(a)=q(a)(a-a)+r=r
定理 1 被 除的余式 , 即: 可以写出 并且 。 f x( ) x a − f x( ) r f a = ( ) r f a = ( ) f x q x x a r r I ( ) = − + ( )( ) , 证明 因为 的最高系数1是一个单位，依照Ⅳ，4，引 理， 用 代入，得 x a − f x q x x a r r I ( ) = − + ( )( ) , a f a q a a a r r ( ) = − + = ( )( )
推论1α是f()的一个根，当而且只当f(x)能被x-α整除的时候。证明可以表达为f(x)=q(x)(x-a)+r, rel
推论1 是 的一个根，当而且只当 能被 整除 的时候。 a f x( ) f x( ) x a − 证明 可以表达为 . f x q x x a r r I ( ) = − + ( )( )
定理2的k个不同的元α,α,,a都是(α)的根，当而且只当f(x)能被(x-a)(x-a)(x-a）整除的时候
定理 2 的 个不同的元 都是 的根，当而且只 当 能被 整除的时候。 I k 1 2 , , , k a a a f x( ) f x( ) ( x a x a x a − − − 1 2 )( ) ( k )
证明(x)若是能够被(x-a)(x-α)(x-a）整除，显然a,a2,,ak都是f(x)的根。现在假定α,az,,ak都是f(x)的根。由定理1，f(x)=(x-a)f(x)用a,代入，得 0=(a-a)f(az)但α,，又没有零因子，所以f(α)=o是α,的根。因此f(x)=(x-a)f (x)f(x)=(x-a)(x-az)fz(x)证完这样下去，得到f(x)=(x-a)(x-a)(x-a)f (x)推论2若f(x)的次数是n，那么f(α)的I里至少有n个根：
证明 若是能够被 整除，显然 都是 的根。 现在假定 都是 的根。由定理1， 用 代入，得 但 ，又没有零因子，所以 是 的根。 因此 这样下去，得到 证完 f x( ) f x( ) f x( ) ( x a x a x a − − − 1 2 )( ) ( k ) 1 2 , , , k a a a 1 2 , , , k a a a f x x a f x ( ) = − ( 1 1 ) ( ) 2 a 2 a 0 = − (a a f a 2 1 1 2 ) ( ) f a 1 2 ( ) = 0 2 a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 f x x a f x f x x a x a f x = − = − − f x x a x a x a f x ( ) = − − − ( 1 2 )( ) ( k k ) ( ) 推论2 若 f x( ) 的次数是n，那么 f x( ) 的 I 里至少有n个根：
6.2重根根据定理2，我们下定义2「的元α叫做f()的一个重根，假如f(x)能被(x-αa整除，k是大于1的整数。关于重根我们有一个类似定理1的定理，不过在这里我们需要导数这一概念
6.2 重根 根据定理2，我们下 关于重根我们有一个类似定理1的定理，不过在这里我们需要 导数这一概念. 定义2 的元 叫做 的一个重根，假如 能被 整 除，k是大于1的整数。 I a f x( ) f x( ) ( ) k x a −
定义3由多项式f(x)=a,x"+an-x"- +….+ax+ao唯一决定的多项式 f"(x)=na,x"-1 +(n-1)an-ir"-2 +.…+a叫做f(x)的导数导数适合以下计算规则：[f(x)+g(x)] = f'(x)+g'(x)[f(x)g(x)} = f(x)g(x)+g(x) f'(x)[(x)] =f(x)" f(x)
定义3 由多项式 唯一决定的多项式 叫做 的导数。 ( ) 1 1 1 0 n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − ( ) ( ) 1 2 1 1 1 n n n n f x na x n a x a − − − = + − + + f x( ) 导数适合以下计算规则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t 1 f x g x f x g x f x g x f x g x g x f x f x tf x f x − + = + = + =
定理 3 α是f()的一个根．α是f(x)重根，当且仅当f(x)能被x-α整除的时候(或日：a是f(x)的根)。证明假定α是f(x)的重根，那么f(x)=(x-a)g(x)(k>1)f'(x)=(x-a)* g'(x)+k(x-a)*- g(x) =(x-a)k-i[(x-a)g'(x)+kg(x)f(x)能够被(x-a)整除。假定α不是f(x)的重根，那么 (x)=(x-a)g(x),(x-a) g(x)f'(x)=(x-a)g'(x)+g(x)f'(a)=g(a)±0f(x)不能被 (x-a)整除。证完
定理 3 是 的一个根. 是 重根， 当且仅当 能 被 整除的时候(或曰: a是 的根)。 a f x( ) a f x( ) f x ( ) x a − f x ( ) 证明 假定 是 的重根，那么 能够被 整除。 假定 不是 的重根，那么 不能被 整除。证完。 a f x( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) k f x x a g x k = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 1 f x x a g x k x a g x − = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) k 1 x a x a g x kg x − = − − + f x ( ) ( x a − ) a f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , | 0 f x x a g x x a g x f x x a g x g x f a g a = − − = − + = f x ( ) ( x a − )