s 1.素元、唯一分解1.1整除及其性质1.2单位与相伴元真因子1.31.4素元1.5唯一分解
§1. 素元、唯一分解 1.1 整除及其性质 1.2 单位与相伴元 1.3 真因子 1.4 素元 1.5 唯一分解
1.1整除及其性质要在一个整环里讨论因子分解，我们首先需要把整数环的整除以及素数两个概念推广到一般整环里去
1.1整除及其性质 要在一个整环里讨论因子分解，我们首 先需要把整数环的整除以及素数两个概念 推广到一般整环里去
定义1我们说，整环I的一个元α可以被1的元b整除，假如在「里找得出元c来，使得a=bc假如a食能被b整除，我们说b是α的因子，并且用符号b|a来表示。上b不能整除α，我们用符号bxa来表示
定义1 我们说，整环 的一个元 可以被 的元b 整除，假如在 里找得出元c来，使得 I I a I a bc = 假如 a 能被b整除，我们说b是 a 的因子，并且用符号 b a| 来表示。b不能整除 ，我们用符号 b a| 来表示。 a
整除的定义,和整数及多项式的整除定义完全一样.因此，一些最基本的性质可以平移过来(1) a | a(2) c|b,bla= cla (传递性)(3) clb,c[a =clsa+tb,Vs,tel(4)任一个元素整除0，特别地，0整除0(5）被0整除的只有0例1表达“|α2=α”正确吗？？
整除的定义,和整数及多项式的整除定义完全 一样. 因此,一些最基本的性质可以平移过来. 例1 表达“ a a a | 2 = ”正确吗？？ (2) , c b| b a| c a| (3) , c b| c a| c sa tb s t I | , , + (1) a a| (4) 任一个元素整除0, 特别地, 0整除0 (5) 被0整除的只有0. (传递性)
1.2单位与相伴元整环「的一个元ε叫做「的一个单位，假定义2如ε是一个有逆元的元注意：两个表达“单位”与“单位元”的区别一个整环至少有两个单位，就是1和-1，在一般情形之下，在一个整环单常有两个以上的单位存在（参看本书习题2）。定理1两个单位ε和ε的乘积εs'也是一个单位单位ε的逆元-！也是一个单位
1.2 单位与相伴元 定义2 整环 的一个元 叫做 的一个单位，假 如 是一个有逆元的元。 I I 注意: 两个表达“单位”与“单位元”的区别. 一个整环至少有两个单位，就是1和-1，在一般情形之下， 在一个整环里常有两个以上的单位存在（参看本书习题2）。 定理 1 两个单位 和 的乘积 也是一个单位。 单位 的逆元 也是一个单位。 1 −
整除的性质：(6)任一个元α可以被单位整除.(7）任一个元α可以被单位整除εa事实上,α=ε(ε-a)=ε-(εa)这就是说，一个任意元α可以被每一个单位8和α的每一个相伴元ca整除
整除的性质: (6) 任一个元 a 可以被单位整除 . (7) 任一个元 a 可以被单位整除 a 事实上, ( ) ( ) 1 1 a a a − − = = 这就是说，一个任意元 可以被每一个单位 和 的每一个相伴元 整除。 a a a
定义3元b叫做元α的相伴元，假如b是α个个单位ε的乘积：b=εa注1.相伴关系是等价关系注2.相伴元有另外的描述：a和b是一对相伴元台α和b相互整除.(留作练习)
定义3 元b叫做元 的相伴元，假如b是 个 一个单位 的乘积： a a b a = 注1. 相伴关系是等价关系. 注2. 相伴元有另外的描述: 和 是一对相伴元 和 相互整除. (留作练习) a b a b
例2．发现一些整环的单位及一个元a的相伴元例3.在整环中，(1) (a) ≤(b) ←bla(2)(a)=(b)a,b是相伴元
例2．发现一些整环的单位及一个元a的相伴元。 例3. 在整环中, (1) ( ) ( ) a b b a (2) ( ) ( ) , a b a b = 是相伴元
1.3真因子元α永远存在的因子ε和α.同其它因子区别一下定义4单位以及元α的相伴元叫做α的平凡因子。其余的α的因子，假如还有的话，叫做α的真因子。定理3α有真因子整环中一个不等于零的元的充分而且必要条件是：a=bc和c都不是单位0
1.3 真因子 元 a 永远存在的因子 和 a ,.同其它因子区别一下。 定义4 单位以及元 的相伴元叫做 的平凡因 子。 其余的 的因子，假如还有的话，叫做 的真 因子。 a a a a 定理 3 整环中一个不等于零的元 有真因子 的充分而且必要条件是： b 和c都不是单位。 a a bc =
a证明(1）必要性.若a有真因子α，那么a= bc这里的b由真因子的定义不是单位。c也不是单位，不然的话b = ac-1b是α的相伴元，与b是a的真因子的假定不合
证明 a (1) 必要性. 若 a 有真因子 a ，那么 a bc = 这里的b由真因子的定义不是单位。c也不是单 位，不然的话 b是 的相伴元，与b是 的真因子的假定不合。 1 b ac− = a a