S1.群的定义内容导航1.1引例1.2群的第一定义及例子1.3群的第二定义1.4群的第三定义1.5群的第四定义1.6几个进一步的概念
§1．群的定义 内容导航 1.1引例 1.2群的第一定义及例子 1.3群的第二定义 1.4群的第三定义 1.5群的第四定义 1.6几个进一步的概念
1.1引例例1 集合 A=(1,2,3)上所有一一变换引入记号：23220O2?3?2223322304O1232321
1.1引例 例1 集合 上所有一一变换 . 引入记号: A = {1, 2,3} 1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 1 2 3 1 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 2 1 3 2 3 1 3 1 2 = = = = = =
例2保持平面上正^不变的保距变换G=(01,02,03,04,05,0,具有乘法运算(映射复合）,满足性质：I·G对于乘法来说是闭的:对于Vα,bEGabEG ;Ⅱ．结合律成立：a(bc)=(ab)c,对于Va,b,ceG ;
例2 保持平面上正△不变的保距变换. . 1 2 3 4 5 6 G ={ , , , , , } , 具有乘法运算(映射复 合),满足性质: Ⅰ． 对于乘法来说是闭的: 对于 ； G a b G , ab G Ⅱ．结合律成立： ,对于 ； a bc ab c ( ) ( ) = a b c G ,
IV.G里至少存在一个e，能让ea=a对于G的任何元α都成立，这样的e称为左单位元；V．对于G的每一个元α，在G里存在一个元,记为α-l,能让ala=e这样的α-1称为α的左逆元例3保持F[x,2,,x]中多项式f=X+xx不变的变换
Ⅳ． 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元； G e ea a = G a e Ⅴ．对于 的每一个元 ，在 里存在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的左逆元. G a G 1 a − 1 a a e − = 1 a − a 例3 保持 中多项式 不变 的变换. 1 2 3 4 F x x x x [ , , , ] 1 2 3 4 f x x x x = +
1.2群的第一定义及例子群的定义！我们说，一个不空集合对于G个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如：I：G对于乘法来说是闭的：对于Va,beGabEG;Ⅱ．结合律成立： a(bc)=(ab)c ,对于Va,b,cEG :IⅢI.G 里至少存在一个e，能让ea=a对于G的任何元α都成立，这样的e称为左单位元；
1.2群的第一定义及例子 群的定义I 我们说，一个不空集合对于 一 个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如: G III ． 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元； G e ea a = G a e Ⅰ． 对于乘法来说是闭的: 对于 ； G a b G , ab G Ⅱ．结合律成立： ,对于 ； a bc ab c ( ) ( ) = a b c G ,
IV：对于G的每一个元α，在G里存在一个元,记为α-}，能让a-a=eQ这样的α-1称为α的左逆元注1群G与运算联系在一起例4.（平凡群）G只包含一个元g．乘法是gg=g.G对于这个乘法来说作成一个群例5.在数集中，关于熟习的运算,发现一些群的正反面的例子U, =(...)
Ⅳ ．对于 的每一个元 ，在 里存在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的左逆元. G a G 1 a − 1 a a e − = 1 a − a 注1 群 G 与运算联系在一起. 例4. (平凡群) 只包含一个元 ．乘法是 ． 对于这个乘法来说作成一个群． G g gg g = G 例5. 在数集中,关于熟习的运算,发现一些群的正 反面的例子 . {.} Un =
例6在矩阵集合中发现一些群的正反面的例子例7向量空间是一个加法群例8（重新定义的运算）在Z上定义运算a@b=a+b-l判断Z关于给定的运算是否构成群注2群定义中，I和I是验算，IⅢI和IV需要找元素注3IⅢI和IV有逻辑先后
例6 在矩阵集合中发现一些群的正反面的例子. 例7 向量空间是一个加法群 例8 (重新定义的运算) 在 上定义运算 判断 关于给定的运算是否构成群. Z Z a b a b = + −1 注2 群定义中, I和II 是验算, III和IV 需要找元素. 注3 III和IV有逻辑先后
作业：判断下列是否构成群(1) 在Z上定义运算a@b=a+b+2(2) 在Q上定义运算aob=a+b-ab
作业: 判断下列是否构成群 (1) 在 Z a b a b = + + 2 Q a b a b ab = + − 上定义运算 (2) 在 上定义运算
1.3群的第二定义引理1一个左逆元一定也是一个右逆元，这句话的意思是：α-lα=eaα-=e证明G有元α-有左逆元α，使得aa-l=e一方面，(aa-')(aa-') = e(aa-') =(ea)a-" = aa-l但另一方面,(aα-)(aa-")=a[(a-'a)a-"]=a(ea-')=aa-l =é所以aa-l =e
1.3 群的第二定义 引理1 一个左逆元一定也是一个右逆元, 这句话 的意思是： 1 a a e − = 1 aa e − = 证明 有元 有左逆元 ，使得 一方面, 但另一方面, 所以 G 1 a − a' ' 1 a a e − = ' 1 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) a a aa e aa ea a aa − − − − − = = = ' 1 1 ' 1 1 ' 1 ' 1 ( )( ) [( ) ] ( ) a a aa a a a a a ea a a e − − − − − − = = = = 1 aa e − =
引理2一个左单位元一定也是一个右单位元：这就是说： ea=a=ae=aae = a(a'a) =...= α证明：对于一个群的定义Ⅱ我们说，，一个不空集合假如：叫做乘法的代数运算来说作成一个群，I.G对于乘法来说是闭的对于α,bEGabEG :Ⅱ。结合律成立：a(bc)=(ab)c,对于Va,b,cEG :
引理2 一个左单位元一定也是一个右单位元．这就 是说： ea a ae a = = 1 ae a a a a ( ) − 证明: = = = 群的定义II 我们说，一个不空集合 对于一个 叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如: G Ⅰ． 对于乘法来说是闭的: 对于 ； G a b G , ab G Ⅱ．结合律成立： ,对于 ； a bc ab c ( ) ( ) = a b c G ,