S 4．运算律(2-4节)·本节目录4.0 复习4.1结合律4.2交换律4.3分配律
• 本节目录 • 4.0 复习 • 4.1 结合律 • 4.2 交换律 • 4.3 分配律 §4．运算律(2-4节)
4.0复习·代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算.表示方法：aob=d，或a?b=d....简记：ab=d·A上的代数运算或二元运算：一个A×A到A的代数运算注：比较常用的是A上的代数运算
注：比较常用的是 上的代数运算 上的代数运算或二元运算：一个 到 的代数运算 表示方法： ，或 简记： 到 的代数运算 代数运算：一个 到 的映射叫做一个 A A A A A a b d a b d. ab d D A D A B • • = = = • B 4.0 复习
4.1结合率·引例例1.A=R,规定A上的代数运算如下aob=2a+3b请同学们计算：(aob)oc=..a(oboc)=结论：代数运算并不保证(aob)oc=a(oboc)
4.1结合率 （ ） （ ） 结论：代数运算并不保证 （ ） （ ） ， 请同学们计算： 例 规定 上的代数运算如下： 引例 a b c a b c a b c . a b c . a b 2a 3b 1. , A = = = = + = • A R
·定义我们说，一个集合A的代数运算适合结合律，假如对于A的任何三个元a，b，c来说，都有（aob)oc=ao（boc）（注意：a，b，c不一定是不相同的元。）·结合律的作用√在A里任意取出3个元啊a，az，asa,aza，一般没有意义。如果结合律成立呢？一般情况，在A里任意取出n个元a，a2，a,，假如我们写下符号aa,.oa这个符号当然也没有意义。但是
号 这个符号当然也没有意义。但是 一般情况，在 里任意取出 个元 ， ， ， ，假如我们写下符 一般没有意义。如果结合律成立呢？ 在 里任意取出 个元啊 ， ， ， 结合律的作用 （注意： ， ， 不一定是不相同的元。） 三个元 ， ， 来说，都有（ ） （ ） 我们说，一个集合 的代数运算适合结合律，假如对于 的任何 定义 1 2 n 1 2 n 1 2 3 1 2 3 a a a A n a a a a a a A 3 a a a a b c a b c a b c a b c A A • = •
假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果：加括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步骤的个数总是一个有限整数：假定它是，我们把由这个步骤所得的结果用T,(aa, .an), π,(a a, ...a,) , ... , Tr(afa, o...an),来表示。这样得来的N个元（a,°a,o….oa）,当然未必相等,但是它们也可能都相等。我们规定：
假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果．加括号 的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步骤的 个数总是一个有限整数．假定它是，我们把由这个步骤所得 的结果用 , , . , , 来表示。这样得来的N个 ,当然未必相等,但 是它们也可能都相等。我们规定: 1 2 ( ) N n a a a 1 1 2 ( ) n a a a 2 1 2 ( ) n a a a （a1 a2 an ）
假如对于A的n(n≥2)个固定的元α,α2...αn来说,所有的(αα2°..an)都相等，我们就唯一的结果,用α, α,°.….a,来表示.问题：什么条件下,所有的元(ααz°..αn）都相等？
假如对于 的 个固定的元 来 说,所有的 都相等, 我们就唯一 的结果,用 来表示. 问题: 什么条件下, 所有的 都 相等? 1 2 ( . ) a a an A n n( 2) 1 2 , ,. n a a a 1 2 ( . ) n a a a 1 2 . n a a a
定理假如一个集合A的代数运算适合结合律那么对于A的任意n(n≥2)个元αi,α2....an来说所有的元(aαan)都相等；因此符号a,αz...an也就总有意义
A n n( 2) 1 2 , ,. n a a a 1 2 ( ) n a a a 1 2 . n a a a 定理 假如一个集合 A 的代数运算适合结合律, 那么对于 的任意 个元 来说, 所有的 都相等；因此符号 也就总有意义．
6证明对n用数学归纳法(第二型)()n=2,3，定理是对的()假定个数<n一1，定理是对的．在这个假定之下，如果我们能够证明:对于一个任意的元（a,a2..oa）来说() π(a a, o... oan ) =aj (a, ag .. oan)(一个固定的结果)定理也就证明了.这一个π（a，a，...a）是经过一种加括号的步骤所得来的结果，这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算：π (a, oa, o..oa.)=b, ob,这里,b1是前面的若干个,假定是i个元,…，经过一个加括号的步骤所得的结果，b是其余的ni个元ait，ai+2，…，an，经过一个加括号的步骤所得的结果。因为
证明 对n用数学归纳法(第二型)． (I) n=2,3，定理是对的． (II)假定个数 ，定理是对的．在这个假定之下，如果 我们能够证明:对于一个任意的 来说 . . (一个固定的结果)定理也就证明了. 这一个 是经过一种加括号的步骤所得来的结 果,这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算: 这里, 是前面的若干个,假定是 个元,.，经过一个加括号的步骤所得 的结果, 是其余的 个元 ，经过一个加括号的 步骤所得的结果。因为 1 b −n 1 （a1 a 2 a n ） n a 1 2 3 a a a ( n ( a 1 2 （1） a a ) = ） （a1 a 2 a n ） 1 2 n 1 2 （a a a ）= b b 1 i b 2 b n i − i 1 i 2 n a ，a ，，a + +
i和 n一都 ≤n-l由归纳法的假定,b, =a, oa, 0...oaj.b, = ai+1 oai+2 0...oanT(a, o a, 0...o an)=(a, oα, o.... a,)(ai+1 ai+2 ....o an)情况1假定i=1，那么上式就是要证明的.情况2假定i>l，那么(αα,。….oan）=[a o (a 0...oa,)]o(ai+t o ai+2 ....o an)=a, [(a, ...o a,)(a ai2 .... an)]=a(aa,。...an）即（1）式仍然成立．证完。结合律成立，保证了可以应用α,aαz.·oan个符号。结合律的重要也就在此。注：N=}[2n-2)是是第（n+1)个Catalan数n-1
和 都 ,由归纳法的假定, 情况1 假定 ,那么上式就是要证明的． 情况2 假定 ，那么 即（１）式仍然成立．证完。 结合律成立，保证了可以应用 个符号。结 合律的重要也就在此． 注： 是第 个Catalan数 , b1 a1 a2 ai = i n i − −n 1 b ai ai an 2 = +1 +2 ( ) ( )( ) a1 a2 an a1 a2 ai ai 1 ai 2 an = + + i =1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n i i i n i i i n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = = + + + + i 1 a a an 1 2 1 2 2 1 n N n n − = − ( 1) n +
4.2交换率·引例例1.A=R，规定A上的代数运算如下：aob=2a+3b请同学们计算：aob=..boa=结论：代数运算并不保证ab=boa
a b b a b a . a b . a b 2a 3b 1.A R A = = = = + = • 结论：代数运算并不保证 请同学们计算： 例 ，规定 上的代数运算如下： 引例 4.2交换率