2.3.2双曲线简单的几何性质
2.3.2 双曲线简单的几何性质
·思考回顾椭圆的简单几何性质？①范围：②对称性③顶点：④①离心率等回想：我们是怎样研究上述性质的？双曲线是否具有类似的性质呢？
• 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？ ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 ⚫ 双曲线是否具有类似的性质呢? 回想：我们是怎样研究上述性质的？
安课堂新授Y一、研究双曲线= l(a>0,b>0)的简单几何性质Ob2L1、范围(x,y)4(-x,y)≥1,即x2≥αOa0-aaX:.x≥a.x≤-a2、对称性(-x,-y)(x,-y)关于x轴、y轴和原点都是对称x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心又叫做双曲线的中心
2、对称性 一、研究双曲线 2 1( 0, 0) 的简单几何性质 2 2 2 − = a b b y a x 1、范围 2 2 2 2 1, , x x a a x a x a − Q 即 关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。 x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 课堂新授
3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点只有两个！顶点是A(-a,0)、A(a,0)（2）如图，线段AA叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长：线段BB，叫做双y曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长B2b3）实轴与虚轴等长的双曲线01A2AXa-a叫等轴双曲线brB,y=m(m≠0)x
3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 x y o -b B1 B2 b A1 -a a A2 1 2 顶点是A a A a ( ,0) ( ,0) − 、 只有两个！ 如图，线段 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 A1A2 B1B2 （2） 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线 （3） ( 0) 2 2 x − y = m m
迪4、渐近线双曲线的渐近线.gspa龙(1)双曲线=1(a>0,b>0)63N(xy))yaOb的渐近线为y=±一xB2M(x,y)abA2A,0（2）利用渐近线可以较准确的Xa画出双曲线的草图B,bbXV=-V=--xaa
M(x,y) 4、渐近线 A1 A2 B1 B2 N(x,y’) Q 它与 x的位置关系: a b y = 它与 x的位置的变化趋势: a b y = 在 x的下方 a b y = 慢慢靠近 x y o x a b y = x a b y = − a b ( 0) 2 2 = x − a x a b y 双曲线在第一象限内部分的方程为 x a b y a b b y a x = − = 的渐近线为 双曲线 1( 0, 0) 2 2 2 2 （1） 利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图 （2） 双曲线的渐近线.gsp
5、离心率（1）定义:双曲线的焦距与实轴长的比e=～,叫做a双曲线的离心率Q..e>l（2）e的范围：c>a>0（3）e的含义：离心率.gsphe? =(-)2 =1+(-) 人a5也增大aa一e增大时，渐近线与实轴的夹角增大e是表示双曲线开口大小的一个量.e越大开口越大
5、离心率 双曲线的 双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫做 a c e = 离心率。 Q c>a>0 e >1 e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大 （1）定义： （2）e的范围： （3）e的含义： 2 2 2 ( ) 1 ( ) c b e a a = = + 当 时， 且 增大 也增大 a b e a b e(1,+) (0,+), , e增大时，渐近线与实轴的夹角增大离心率.gsp
L二、导出双曲线1(a>0, b>0)二262a的简单几何性质y(1)范围:y≥a,≤-aa（2）对称性：关于x轴、y轴、原点都对称-bbX(3）顶点： (0,-a)、(0,a)-a（4）渐近线：=±?，Xbα(5）离心率：e=求双曲线2y2-x2= 4a的渐近线方程家
x y o 的简单几何性质 二、导出双曲线 1( 0, 0) 2 2 2 2 − = a b b x a y -a a -b b （1）范围: y a, y −a （2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称 （3）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线: x b a y = （5）离心率: a c e = 2 2 求双曲线2 4 y x − = 的渐近线方程
例题讲解例1：求双曲线9y -16x2 =144的实半轴长,虚半轴长，渐近线方程。焦点坐标，离心率、解：把方程化为标准方程可得：实半轴长a=4虚半轴长b-3半焦距c=~4+3=5焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率：e=二=54渐近线方程：V=±X3
例1 :求双曲线 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率、渐近线方程。 解：把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 9 16 144 2 2 y − x = 1 4 3 2 2 2 2 − = y x 4 3 5 2 2 + = 4 5 = = a c e y x 3 4 = 例题讲解
?小结性质对称渐近离心双曲线图象范围顶点性线率xina7x≥ab关于C二B(±a,0) b)或y=±-xSe=坐标a(a>0,b>0)ax≤-a轴和原点(其中y≥ay2x2都对?=α'+b)a=1或ab2称(0,±a)y=±-xby≤-a(a>0,b>0)
小 结 x a 或x −a y −a y a 或 (a,0) (0,a) x ab y = x ba y = ac e = ) ( 2 2 2 c = a + b 其中 关于 坐标 轴和 原点 都对称 性质 双曲线 ( 0, 0) 1 22 22 − = a bby ax( 0, 0) 1 22 22 − = a bbx ay 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 图象
思考：达爱y-bXb-aa-bX(1)双曲线1=1的渐近线方程是什么？土V=x-y-(2)双曲线1的渐近线方程是什么？V=士Xb2(3)两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆?XbV:0十1~℃~222baba2y-ax?2x-b-0XJ==0b210
10 ▲思考： a y x b = (3)两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？ (1)双曲线 的渐近线方程是什么？ 2 2 2 2 1 x y a b − = 2 2 2 2 x y =0 a b − 2 2 2 2 0 y x a b − = 2 2 2 2 x y =1 a b − 2 2 2 2 1 y x a b − = b y x a = a y x b = 2 2 2 2 1 y x a b (2)双曲线 − = 的渐近线方程是什么？ b y x a =