3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
（1）.掌握点到直线的距离公式的推导过程：（2）.能用点到直线的距离公式进行计算：（3）：能求有关平行线间的距离
（1）.掌握点到直线的距离公式的推导过程； （2）.能用点到直线的距离公式进行计算； （3）.能求有关平行线间的距离
1.什么是点到直线的距离？点P.到直线的距离是指：从点P。（如图所示）到直线(如图所示）的垂线段P.Q的长度，其中Q为垂足福PoOX
1.什么是点到直线的距离？ 点P0到直线的距离是指: 从点P0 (如图所示)到直线l(如图所示)的垂线段P0Q的长度， 其中Q为垂足. P0 Q o x y l
2.点到直线的距离已知点P(xo,。），直线I:Ax+By+C=0，如何求点P到直线1的距离？CP0x
已知点 ，直线 ， 如何求点 到直线 的距离？ 2.点到直线的距离 P0 Q o x y l
A及直线1的斜率由 1PQ-BB得直线PQ的斜率为AB因此直线P.Q的方程为y-yx-x=AB2x。- ABy- ACAx +By+C=0x=A? +B?得解方程组BA’y。- ABxo-BC(x-x)y-Y。=VAA?+ B?
由 及直线 的斜率 得 直线 的斜率为 因此直线 的方程为
B2x- ABy。- AC A"y- ABx。-BC即Q点的坐标为A? + B?A?+B?点P、Q之间的距离|P9l（P,到[的距离）为B*x - ABy。- AC) +(yA' y。- ABxo - BC )?[Po9|= /(xoA? + B2A? + B2逐项整理B2x。- ABy。-ACxoA? +B?A*x? + A’B"y + A°C? + 2A'Bxoyo +2ACx + 2A'BCy(A? + B")?
即Q点的坐标为 点 之间的距离 （ 到 的距离）为 逐项整理
A'yo - ABx-BCyyoA?+ B2B'y。 + AB*x2 + BC2 +2 AB3xoyo +2B'Cy +2AB'Cx(A° + B’)2以上两式相加，只整理分子得(A + AB")x? +(B* + A°B")y? +(A°C? + B’C2)+2A Bxoo+2 AB3xy。 +(2 A° BC +2B'C)y。 +(2 AC + 2AB'C)x= A?(A? +B2)x? + B?(A? + B2)y +2AB(A? + B")xy+2BC(A? + B)y +2AC(A? +B")x +C(A? +B)
以上两式相加，只整理分子得
=(A + B")(A'x +B’y +2 ABxoy +2BCy。 +2ACx +C2)=(A? + B°)(Ax。+ By。+C)(A? + B)(Ax + By +C)?所以[Pg](A + B)2(Ax。+ By +C)?Ax。 +By+ CVA?+B2VA? + B2
所以
由此我们得到点P(xo,%）到直线l:Ax+By+C=0[ Axo + Byo +C]的距离为dVA? + B2注意 1.此公式是在A、B0的前提下推导的;2.如果A=0或B-0，此公式恰好也成立：
. | | 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 1.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 2.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 注意
思考：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量的方法求点到直线的距离？如图，点P到直线/的距离，就是向量PO的模。1PCto.yo)M(xy)设M（x,y)是直线l上的任意一点，n是与直线的PaR方向向量垂直的单位向量，则PO是PM在n上的P投影向量，Po=PM.n如何利用直线的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？设P(x,x),P(x2,y2)是直线l:Ax+By+C=0上任意两点，则PP,=(x2-xi,2-)是直线/的方向向量。Ax+By+C=0Ax2+By2+C=0两式相减，得A（x2-x)+B（y2-y)=0由平面向量的数量积运算可知，向量（A,B)与向量（x2-xi,J2-y）1垂直。向量(A,B)就是与直线I的方向向量垂直的一个单位/A?+ B2向量
思考：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具， 能否用向量的方法求点到直线的距离？ PQ PM n PQ PM n M x y l n P l PQ 投影向量， = 方向向量垂直的单位向量，则 是 在 上的 设 （ 是直线 上的任意一点， 是与直线的 如图，点 到直线 的距离，就是向量 的模。 , ) l l n ? 如何利用直线 的方程得到与 的方向向量垂直的单位向量 向量。 垂直。向量 就是与直线 的方向向量垂直的一个单位 由平面向量的数量积运算可知，向量（ 与向量（ 两式相减，得 （ （ 则 是直线 的方向向量。 设 （ 是直线 上任意两点， A B l A B A B x x y y A x By C A x x B y y P P x x y y l A x By C P x x P x y l A x By C ( , ) 1 , ) , ) 0 ) ) 0. ( , ) 0 ( , ), , ) : 0 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 + − − + + = − + − = = − − + + = + + =