空间向量的数量积运算
空间向量的数量积运算
知识导图空间两个向量的夹角求夹角定义几何意义(入a)-b= 入 (a-b)空间向量的数量积a.b=b.a运算律a·(b+c)=a·b+a·c求距离数量积的性质学法指导1.空间向量的数量积可看成是平面向量数量积的推广，可类比平面向量的数量积运算加以理解，两者的实质一样，只是表达的形式不同.2.经历用向量的数量积解决某些简单几何问题的过程，继续体会向量在处理几何问题中的工具性作用
知识导图 学法指导 1.空间向量的数量积可看成是平面向量数量积的推广，可类比平 面向量的数量积运算加以理解，两者的实质一样，只是表达的形式不 同． 2．经历用向量的数量积解决某些简单几何问题的过程，继续体会 向量在处理几何问题中的工具性作用．
知识点一两个向量的夹角定义图示表示范围已知两个非零向量α，b，在空间任b<a, b)[0,元]取一点 O，作OA=α，OB=b，则ZAOB叫做向量a，b的夹角+Bb注：（1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样(2)作空间两个向量的夹角时要把两个向量的起点放在一起(3)两个空间向量的夹角是惟一的，且《a，b）=《b,a》·
知识点一 两个向量的夹角 定义 图示 表示 范围 已知两个非零向量 a，b，在空间任 取一点 O，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角. 〈a，b〉 [ 0，π] 注：(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量 夹角的定义一样． (2)作空间两个向量的夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是惟一的，且〈a，b〉＝〈b,a〉．
L对点练习1：B分别指出AP与AD,BC与DC,DP与AD的夹角
对点练习1： 分别指出AP与AD，BC与DC,DP与AD的夹角
知识点二两个向量的数量积定义记法表达式几何意义已知两个非零向量a的模长与向量ba·b=a,b,则ab·cos<a,a·b在aα方向上的投lallb]:cosb）叫做a，b的数量<a, b)影的乘积.积注：（1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数(2)运算符“.”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替.（3)注意点：①数量积的符号由夹角的余弦值决定.②当a≠0时由a·b=0可得ab或b=0.(4)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积
知识点二 两个向量的数量积 定义 记法 表达式 几何意义 已知两个非零向量 a，b，则|a||b|·cos〈a， b〉叫做 a，b 的数量 积 a·b a·b＝ |a||b|·cos 〈a，b〉 a 的模长与向量 b 在 a 方向上的投 影的乘积. 注：(1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数(2)运 算符“·”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略 也不能用“×”代替．(3)注意点：①数量积的符号由夹角的余 弦值决定．②当a≠0时由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.(4)a·b的几何 意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的 乘积．
知识点三两个空间向量的数量积的性质向垂直若a，b是非零向量，则a上b台a·b=0量同向：则a·b=al·b共线数量反向：则αb=一lal·balalcos<a, a)=[al2aa=积的性质模Ja|=Va:aa.b|≤|al:barb[alb]夹角为a，b的夹角，则cosθ=
知识点三 两个空间向量的数量积的性质 向 量 数 量 积 的 性 质 垂直 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：则 a·b＝|a|·|b| 反向：则 a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝_＝|a| 2 |a|＝ a·a |a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为 a，b 的夹角，则 cos θ＝_ |a||a|cos 〈a，a〉 a·b |a||b|
对点练习：2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且a=b=1，a·b=，则两直线的夹角为()2C. 120°D. 150°A:30°B. 60°1a·b所以解析：设向量a，b的夹角为θ，则cosQ2'[a|b]0=120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°一120°=60°答案：B
对点练习： 2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b| ＝1，a·b＝－ ，则两直线的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 2 1 解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，则 cosθ＝ a·b |a||b|＝－ 1 2，所以 θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为 180°－120°＝60°. 答案：B
3．若α，b均为非零向量，则α·b=lalbl是a与b共线的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：若ab=lalbl，则<a，b）0°，所以a与b共线；反之，若与b共线，则<a，b）=0°或180°，a·b=±abl.故选A答案：A
3．若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：若 a·b＝|a||b|，则〈a，b〉＝0°，所以 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线，则〈a，b〉＝0°或 180°，a·b＝±|a||b|.故选 A. 答案：A
4.已知al=3，b=2，ab=一3，则<a，b解析：因为lal=3，[bl=2，ab=一3,-3a.b1所以cos <a, b)2'[al|b]3X22元《a，b）E[0，元]，所以《a，b)又因为3 2元答案:3
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝_. 解析：因为|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3， 所以 cos〈a，b〉＝ a·b |a||b|＝ －3 3×2 ＝－ 1 2， 又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π 3 . 答案：2π 3
知识点四、投影思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量a在向量b上的投影有什么意义？向量a向向量l的投影呢？向量a向向量的投影呢？如图（1），在空间，向量α向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一平面α内，进而利用平面α上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=acos(a,b向量c称为向量a在向量b上的b投影向量，类似地，可将α向直线投影（图2）(2)
知识点四、投影 思考 ：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量 a在向量b上的投影有什么意义？向量a向向量 的投影呢？向量a向向 量的投影呢？ l 投影向量，类似地，可将 向直线 投影（图 ） 与向量 共线的向量 ， ，向量 称为向量 在向量 上的 可以先将它们平移到同一平面 内，进而利用平面 上向量的投影，得到 如图（），在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此 2 cos , 1 a l c a b b b b c c a a b a b =