对数的运算4. 3. 2
4.3.2 对数的运算
复习2.有关性质1.指数和对数的关系(1)负数与零没有对数幂真数(2) log.1=0, log。a=1指数对数0,a+1,N>0,mER
b a N= loga N b = 底 底 指数 对数 幂 真数 1.指数和对数的关系 复习 2.有关性质： ⑴负数与零没有对数 ⑵ log 1= 0, a log a a =1 ⑶对数恒等式 a N a N = log og m a l a m= (a a N m R 0, 1, 0, )
指数运算法则：a".a" =a"+"(m,neR)Qm=am-n(m,nER)(am)" =amn(m,nER)(ab)" = a" .b"(nE R)log.M + log. N = ?
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) m n m n m m n n m n mn n n n a a a m n R a a m n R a a a m n R ab a b n R + − = = = = 指数运算法则 ： loga M log + a N = ?
探究：对数的运算性质思考1：装将指数式 M=αP,N=α'化为对数式,结合指数的运算性质能否将 M.N=αP.α'=ap+q化为对数式？由 M=αP,N=α'得 p=log.M,q=log. N由 M.N=αP.α'=αp+q得 p+q=log.(M.N)从而得出 log。(M·N)=log。M +log。N(a>0,且a±1,M>0,N>0)
, p q M a N a = = 探究：对数的运算性质 p q p q M N a a a + = = 思考1： 化为对数式， 结合指数的运算性质能否将 化为对数式？ 将指数式 由 , p q M a N a = = 得 log , log a a p M q N = = 由 p q p q M N a a a + = = 得 log ( ) a p q M N + = 从而得出 log ( ) log log a a a M N M N = + ( 0, 1, 0, 0) a a M N 且
思考3:由指数式 M" =(αP)"=α"p思考2：结合前面的推导，由指数式又能得到什么样的结论？MTobNM"=(αP)" =αnp由 又能得到什么样的结论？得 log. M" = np= nlog. MM=αP-9 得试一试：由N(a>0,且a±1,M>0,neR)Mloga= p-q= log. M - log. NN(a>0,且a±1,M>0,N>0)
思考2：结合前面的推导，由指数式 p p q q M a a N a − = = 又能得到什么样的结论？ 试一试:由 p p q q M a a N a − = = 得 log log log a a a M p q M N N = − = − ( 0, 1, 0, 0) a a M N 且 ( ) n p n np M a a = = 又能得到什么样的结论？ 由 ( ) n p n np M a a = = 得 log log n a a M np n M = = (a 0, a 1,M 0,n R) 且 思考3：由指数式
学习新知上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形：然后再根据对数定义将指数式化成对数式。(I)log.(MN) = log. M + log. N①简易语言表达：“积的对数=对数的和M②有时逆向运用公式(2)loga= log. M-log. NN(0,+8)③真数的取值范围必须是(3)log. Mn = nlog. M④对公式容易错误记忆，要特别注意：log.(MN) + log. M ·log. N,loga(M ±N)+ log.M ±log. N
上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利 用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。 ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”. ②有时逆向运用公式 ③真数的取值范围必须是 (0,+) ④对公式容易错误记忆，要特别注意： log (MN) log M log N, a a a log a (M N) log a M log a N 学习新知 (1)log ( ) log log (2)log log log (3)log log a a a a a a n a a MN M N M M N N M n M = + = − =
1. 用 log x,loga y,loga z表示下列各式xy(1) loga(2) loga解: (1)log,=log (x)-log,==loga x+log, y-log, ==1og. ()-1og, (2)loga3/= log, x + loga Vy - log. /z=2log, x+=loga y-=log. 2
( ) 2 3 log ,log ,log 1 log ; (2)log a a a a a x y z xy x y z z ( ) ( ) 2 2 3 3 2 log log log a a a x y x y z z = − 1 1 2log log log 2 3 a a a = + − x y z 2 3 log log log a a a = + − x y z (1 log log log log log log ) a a a a a a ( ) xy xy z x y z z = − = + − 1.用 表示下列各式 解：
例2求下列各式的值：(2) 1g /100(1) log2(4' ×25)解 : (1) log,(47 ×25) = log, 47 +log, 2= 7log, 4 +5log, 2 = 7× 2 + 5×1=1922(2）) lg /100 =lg1055【变式练习】1.求下列各式的值：6 =log, 2=1 (3 )log,3 +logs = logs(3×=)= log, 1= 0(1 ) 1og, 6-1log, 3 =log2号= log, 3-' = -1( 4 ) log; 5 -log; 15= log: (2 ) lg5+lg2 =lg(5×2)=lg10=115
例2 求下列各式的值： （1） （2） 7 5 2 log (4 2 ) 5 lg 100 （2） 5 lg 100 2 5 = lg10 2 5 = 解：(1) 7 5 2 log (4 2 ) 7 2 = log 4 5 2 +log 2 2 = 7log 4 2 +5log 2 = + = 7 2 5 1 19 （1） （4） （3） （2） 1.求下列各式的值： 3 3 log 5 log 15 − lg5 lg2 + 5 5 1 log 3 log 3 log 6 log 3 2 2 − 2 2 + 6 log log 2 1 3 = = = = = = lg(5 2) lg10 1 5 5 1 log (3 ) log 1 0 3 = = =1 3 3 5 log log 3 1 15 − = = = − 【变式练习】
思考4：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗？log.Nlog.N :log.a(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1;N>0)证明设 log。N= p由对数的定义可得：N=αP= log. N = log, aP = log. N= plog.a,log,Nlog.Nlog. N =即证得=p:log.alog.a这个公式叫做换底公式
思考4：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗? log log log c a c N N a = (a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; N>0) 证明：设 由对数的定义可得： , p N a = 即证得 loga N p = log log p = c c N a log log , = c c N p a log log c c N p a = log log log c a c N N a = 这个公式叫做换底公式
例.利用对数的换底公式化简下列各式(1)log. c. log. a(2)log2 3 - log3 4 - log4 5 .logs 2(3)(log4 3 + log: 3)(log, 2 + logg 2)1gc. 1ga = 1; (3)(log, 3 + log, 3)(log;2 + log, 2)解:(1)log.c.log。a =IgaIgcg31g31g2+1g4(2)log, 3 . log; 4 log4 5 . log, 2g4lg8g3g9Ig3lg3lg2ig21g3 . 1g4. 195.192 =1;lg2g3lg32g2g2 lg3 lg4 lg5lg3lg3lg23lg23lglg355lg331g2461g221g3
2 3 4 5 4 8 3 9 (1)log log (2)log 3 log 4 log 5 log 2 (3)(log 3 log 3)(log 2 log 2) a c c a + + (1)log log a c 解: c a = lg lg 1; lg lg c a a c = 2 3 4 5 (2)log 3 log 4 log 5 log 2 lg3 lg 4 lg5 lg 2 1; lg 2 lg3 lg 4 lg5 = = 例.利用对数的换底公式化简下列各式 4 8 3 9 (3)(log 3 log 3)(log 2 log 2) + + 2 3 2 lg3 lg3 lg 2 lg 2 ( )( ) lg 2 lg 2 lg3 lg3 = + + lg3 lg3 lg 2 lg 2 ( )( ) 2lg 2 3lg 2 lg3 2lg3 = + + 5lg3 3lg 2 5 . 6lg 2 2lg3 4 = = lg3 lg3 lg 2 lg 2 ( )( ) lg 4 lg8 lg3 lg9 = + +