4.21指数函数的概念
4.21 指数函数的概念
问题探究对于幂α（α>O），我们已经把指数x的范围拓展到了实数：上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法：下面继续研究其他类型的基本初等函数
对于幂 ，我们已经把指数 的范围拓展到了实 数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研 究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究 其他类型的基本初等函数． 问题探究
A地景区B地景区问题探究时间／年人次/万次人次/万次年增加量/万次年增加量/万次问题 1随着中国经济高速增长，20016002783120026099309人民生活水平不断提高，旅游成了2003113562034411200463138339越来越多家庭的重要生活方式：由20056111042744于旅游人数不断增加，A，B两地920066504754866111528532007景区自2001年起采取了不同的应对1020086715886020096811065567措施，A地提高了景区门票价格，74201069110729而B地则取消了景区门票118220117028112012711990392右表给出了A，B两地景区2001年2013721101 0051027321120141118113至2015年的游客人次以及逐年增加量7431112620151.244
问题１ 随着中国经济高速增长， 人民生活水平不断提高，旅游成了 越来越多家庭的重要生活方式．由 于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地 景区自2001年起采取了不同的应对 措施，Ａ地提高了景区门票价格， 而Ｂ地则取消了景区门票． 右表给出了Ａ，Ｂ两地景区2001年 至2015年的游客人次以及逐年增加量． 问题探究
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图人次万次人次历次130013001100110090090070070050050030030020012003200520072009201120132015时间／年20012003200520072009201120132015时间/年图4.2-1图4.2-2观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）：B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利 于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客 人次的图 观察图象和表格，可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长）， 年增加量大致相等（约为１０万次）；Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量 越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的。能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到3092002年游客人次～1.11,2782001年游客人次2003年游客人次344做减法可以得到游客人次的年增～ 1.113092002年游客人次加量，做除法可以得到游客人次的年增长率。增加量、增长率是刻画2015年游客人次1244~ 1.11事物变化规律的两个很重要的量：11182014年游客人次结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通 过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请 你试一试． 从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一 个常数． 做减法可以得到游客人次的年增 加量，做除法可以得到游客人次的 年增长率．增加量、增长率是刻画 事物变化规律的两个很重要的量．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长，因此，B地景区的游客人次近似于指数增长：显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：1年后，游客人次是2001年的1.11倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍：3年后，游客人次是2001年的1.113倍；x年后，游客人次是2001年的1.11×倍如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么①y = 1.11* (x e[0, +))这是一个函数，其中指数是自变量
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，Ｂ地景区 的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人 次的变化规律可以近似描述为： 1 １年后，游客人次是２００１年的 1.11 倍； ２年后，游客人次是２００１年的 倍； ３年后，游客人次是２００１年的 倍； . x年后，游客人次是２００１年的 倍． 如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么 ① 这是一个函数，其中指数 是自变量． 2 1.113 1.11 1.11x 1.11 0, ( )) x y x = + x
问题2当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”·按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为独，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
问题２ 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比 率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半， 这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含 量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的 生物体内碳14含量看成1个单位，那么
死亡1年后，生物体内碳14含量为（1-p）1；死亡2年后，生物体内碳14含量为（1-p)2；死亡3年后，生物体内碳14含量为（1-p）3；死亡5730年后，生物体内碳14含量为（1-p）5730根据已知条件，（1-p)5730=,从而1-p=()5730,所以p=1-()5730.设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么y=（1-p)×，即y=（()5730），（xE[0，+））:这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以1-（)5730减率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减
如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和（)57302，那么函数y=1.11×和y=(()5730)可以表示为y=α~的形式，问题：以上两个函数有何共同特征？（1）均为幕的形式：（2）底数是一个正的常数（3）自变量在指数位置指数函数的定义：函数y=a(a>0且a±1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
指数函数的定义： 函数 y = a (a 0 a 1) x 且 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。 问题：以上两个函数有何共同特征？ （1）均为幂的形式； （2）底数是一个正的常数 （3）自变量在指数位置
指数函数的定义：函数=α(α>0且a≠l)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。注意：(1）定义域必须是实数集R；(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项；(3）指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y=5·a（a>0且1）不是指数函数；(4)底数a的范围必须是a>0且a1
注意： 指数函数的定义：函数 y = a (a 0 a 1) x 且 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。 (1)定义域必须是实数集R； (2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项； (3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·a x (a>0且 a≠1)不是指数函数； (4)底数a的范围必须是a>0且a≠1