《泛函分析》第七讲闭图像定理
《泛函分析》 第七讲 闭图像定理
定义11）设X,Y是为任意点集，称XxY =((x,y):xeX,yeY)是X与的积集.若为某个映射，称集合G(T) = ((x, Ty) : x E X)c X ×Y为T的图像
定义 1 1) 设 是为任意点集，称 X Y x y x X y Y = ( , ) : , X Y, 是 x 与 y 的积集.若为某个映射，称集合 G T x Ty x X X Y ( ) ( , ) : = 为 T 的图像
2)若(X,P),(Y,P2)为度量空间，以p((xi, y),(x2, y2)) = p(x,x2) + p(y1, y2),V(xi,y),(x2, y2) E XxY为X×Y的度量函数，X×Y为度量空问称TX>Y为闭映射，若G(T)是 X×Y中 闭集
2) 若 为度量空间，以 ( 1 1 2 2 1 2 1 2 ) 1 1 2 2 ( , ),( , ) ( , ) ( , ), ( , ),( , ) x y x y x x y y x y x y X Y = + 1 2 ( , ),( , ) X Y 为 X Y 的度量函数， X Y 为度量空间. 称 T X Y : → 为闭映射，若 G T( ) 是 X Y 中 闭集
例 连续函数空间 C[a,b] 上的微分算子是闭算子,令M ={x EC[a,b]:x'eC[a,b], 这里x表示x 的导数，则M提C[a,b]的线性流行.定义Tx= x',VxE M.易见 T是从M 到C[a,b]的线性算子
例 连续函数空间 C a b , 上的微分算子是闭算子. 令 ，这里 表示 的导数，则 是 C a b , 的线性流行.定义 M x C a b x C a b = , : , x x M Tx x x M = , . 易见 T 是从 M 到 C a b , 的线性算子
设x,EM,n=1,2,.,使Xn →Xo,Txn →Yo即 xn一致收敛于xo,x,的导函数x一致收敛于y由数学分析可知，x= yo.则xo EM,且Txo = o. 即T是闭算子. 但是容易知道T不是有界的：
设 使 即 一致收敛于 ， 的导函数 一致收敛于 0 0 , . x x Tx y n n → → , 1,2, , x M n n = xn x0 xn xn 0 y . 由数学分析可知， 则 且 即 是闭算子. 但是容易知道 不是 有界的. 0 0 x y = . 0 x M , Tx y 0 0 = . T T
定理1（闭图像定理设X,Y是Banach空间，T：X→Y是线性算子，若T是闭算子，则T连续证明：定义P : G(T) > X,P(x,Tx) = x,V(x,Tx)EG(T)则P是线性的、到上的
定理 1 (闭图像定理) 设 是Banach空间， 是线性算子， 若 是闭算子，则 连续. X Y, T X Y : → T T 证明：定义 : ( ) , ( , ) , ( , ) ( ). P G T X P x Tx x x Tx G T → = 则 P 是线性的、到上的
P还是一一的.实际上，若 P(xi,Tx)=P(x2,Tx2)即X = X2，从而(Xi,Tx)=(x2, Tx2).故P-1存在,P-lx =(x,Tx), Vx E X.现在 P(x,Tx)l =x≤(x,Tx),故/Pl≤ 1.根据逆算子定理，P-有界，从而Tx≤x+Tx=(x, Tx)=p-Ix≤P-1lxl, Vx E X即T≤P-，T连续
P 还是一一的.实际上，若 1 1 2 2 P x Tx P x Tx ( , ) ( , ) = 即 x x 1 2 = ，从而 ( , ) ( , ) x Tx x Tx 1 1 2 2 = .故 P −1 存在， 1 P x x Tx x X ( , ), . − = 现在 P x Tx x x Tx ( , ) ( , ) , = 故 P 1. 根据逆算子定理， P −1 有界，从而 1 1 ( , ) , . Tx x Tx x Tx P x P x x X − − + = = 即 T P −1 ， T 连续
推论1设X,Y是Banach空间，T：X一→Y是线性算子，若 T是闭算子且T(X)在Y 中是第二纲的， 则 T是到上的开算子
推论1 设 是Banach空间， 是线性算子， 若 是闭算子且 在 中是第二纲的，则 是到上的开算子. X Y, T X Y : → T T X( ) Y T
要懂得闭图像定理的好处，可对线性算子T考虑下面三个叙述：1)xn → Xo;2)Txn →> o;3)Txo = yo:
要懂得闭图像定理的好处，可对线性算子 考虑 下面三个叙述： 0 0 0 0 1) ; 2) ; 3) . n n x x Tx y Tx y → → = T
定理2设A 是从Hilbert空问H到自身的处处定义的线性算子.如果(Ax, y) =(x, Ay), Vx, yE H则A是有界的.证明：若 limx,=xo,lim Ax,=yo，则对于任何yEHn>on→00(Axn, y) = (xn2 Ay),n = 1,2,从假设有
定理2 设 是从Hilbert空间 到自身的处处定义的 线性算子.如果 则 是有界的. ( , ) ( , ), , , Ax y x Ay x y H = A H A 证明： 若 ，则对于任何 从假设有 ( , ) ( , ), 1,2, , Ax y x Ay n n n = = 0 0 lim , lim n n n n x x Ax y → → = = y H