第四章 微分中值定理与导数的应用一一微分中值定理
第四章 微分中值定理与 导数的应用 ―—微分中值定理
费马定理（1）极值和极值点的定义：设函数y=f(x)在某个U(xo,）中有定义，且VxU(xo,），恒有f(x)≤f(x），则称x=x是f(x）的一个极大值点，称f(x）是f(x）的一个极大值。若 VxEU(xo,)，恒有f(x,)≤f(x)，则称x=X。是f(x)的一个极小值点，称f（x）是f（x）的一个极小值。极大值点和极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值
费马定理 （1）极值和极值点的定义： 恒有 ，则称 是 的一个极大值点， 设函数 在某个 中有定义， 若 ，恒有 ， 的一个极小值点，称 是 的一个极小值。 极大值点和极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。 且 ， 称 是 的一个极大值。 则称 是
观察到的事实：若曲线在局部最高点或者最低点（即极值）处存在切线则必是水平切线。（2）费马定理：若函数f(x）在点x=x。处取得极值，且f(x）存在，则f(x)=0。解正面证与反面证均可，主要是利用极限保序性（或保号性）
（2）费马定理： 观察到的事实： 则必是水平切线。 若函数 在点 处取得极值， 解 正面证与反面证均可，主要是利用极限保序性（或保号性）。 若曲线在局部最高点或者最低点（即极值）处存在切线， 且 存在，则
（3）推论：设函数f(x）在区间I上可导，且f(x）在I上的最值可以在区间I内的点x=处取到，则f(x）在I内存在零点x=。解主要用到：最值在区间内部取到，则是极值
解 （3）推论： 内的点 处取到， 设函数 在区间 上可导， 主要用到：最值在区间内部取到，则是极值。 且 在 上的最值可以在区间 则 在 内存在零点
a+b例 设f(x)eC[a,b)nD(a,b) ,且f(a)· f(b)>0 ,f(a)· j证明：存在e(a,b)，使得f()=0。解线索：由图形易判断，函数最值中至少有一个在区间内部取到。a+b不妨设f(a)>0 ，f(b)>0，J2由f(x)C[a,b] 得到f(x) 在[a,b] 存在最小值m ，a+b所以函数在区间内部取到最小值。且m≤2
例 设 ， 解 证明：存在 ，使得 。 不妨设 ， ， 。 且 ， 由 得到 在 存在最小值 ， 线索：由图形易判断，函数最值中至少有一个在区间内部取到。 所以函数在区间内部取到最小值。 且 ，
例利用费马定理证明“奇数次代数方程必有实根”。解要利用费马定理，需要把函数看成导函数：设P2n-i(x）是2n-1 次多项式，构造P2n(x)使得Pzn(x)=P2n-1(x)，接下来证明P2n(x)可取到最小值或者最大值
例 利用费马定理证明“奇数次代数方程必有实根” 。 解 设 是 次多项式， 构造 使得 ， 接下来证明 可取到最小值或者最大值。 要利用费马定理，需要把函数看成导函数：
罗尔中值定理（1）罗尔定理：设函数y=f(x）满足：(a)f(x)eC[a,b) ; (b)f(x)eD(a,b) ; (c) f(a)= f(b) ,则3e(a,b)，使得f'()=0 。解利用费马定理
罗尔中值定理 （1）罗尔定理： 设函数 满足： 则 ，使得 。 解 （a） ；（b） ；（c） ， 利用费马定理
(2）推论：若f(x)eC[a,b]nD(a,b)，且在开区间(a,b)内f'(x)0 ，则在闭区间[a,b]上f(x）是单射函数，从而必存在反函数。解利用罗尔定理
（2）推论： 解 若 ， 则在闭区间 上 是单射函数，从而必存在反函数。 利用罗尔定理。 且在开区间 内
（3）罗尔定理的几何含义以及条件的不可或缺性：不连续不可导端点值不同
（3）罗尔定理的几何含义以及条件的不可或缺性： 不连续 不可导 端点值不同
（4）罗尔定理的应用：（a）零点存在性例证明方程x3-3x+1=0在区间（0,1）内有且仅有一个实根。解先用连续函数介值定理证明零点的存在性，再用罗尔定理证明零点的唯一性
解 （4）罗尔定理的应用： （a）零点存在性 例 证明方程 在区间 内有且仅有一个实根。 先用连续函数介值定理证明零点的存在性， 再用罗尔定理证明零点的唯一性