长治学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）秩为1的矩阵的性质总结整理及证明

秩为1的矩阵的性质总结整理及证明练习1：秩为1的矩阵的性质总结整理及证明说明：各题使用的相同符号涵义相同(1)设A是nXn矩阵，且r(A)=1，则αi(a)A=αβT，其中α=βT=（b，b,，..b），并且反过来也成立（其中Canα，β是n维非零列向量)(b) A"=kA, 其中k=tr(A) =[α,β)=a,b +a,b,++a,b,=Za,b,（2）设A为2×2的矩阵，证明：如果A=0,1≥2，那么（3）设A是nxn矩阵，且r(A)=1,A"=[tr（A)]"-1A,其中tr(A)=βTα（4）设A是nxn矩阵，且r(A)=1,则A是所有特征值是0.0，(4)=α.b,月-1个（5）设A是矩nxn阵，且r(A)=1，则(a）当tr(A)=0时，说明A不可相似对角化(b）当tr(A)±0时，A的特征值为0和tr(A)，且重数如下：0(n -1重) tr(A)=Z a,b,(1重)-【性质1】设A是nxn矩阵，且r(A)=1,则第1页共5页

第 1 页共 5 页 秩为 1 的矩阵的性质总结整理及证明 练习 1：秩为 1 的矩阵的性质总结整理及证明 说明：各题使用的相同符号涵义相同. (1)设 A 是 n×n 矩阵，且 r(A)=1，则 (a) A= T  ，其中        n 2 1      ， T （b1，b2，bn），并且反过来也成立(其中 ， 是 n 维非零列向量). (b) A 2=kA，其中           n i n n i i tr A a b a b a b a b 1 1 1 2 2 k ( ) ,   （2）设 A 为 2×2 的矩阵，证明：如果 A  O,l  2 l ，那么 （3）设 A 是n n矩阵，且rA  1, A tr  A   A n n  1  ,其中     T tr A  . （4）设 A 是n n矩阵，且 rA  1 ,则 A 是所有特征值是  1个 0,0,. 0 n  ，     n i a i b i tr A 1 （5）设 A 是矩n n阵，且rA 1，则 (a) 当trA  0时，说明 A 不可相似对角化. (b) 当trA  0时，A 的特征值为 0 和trA，且重数如下： 0  1重 ，   1重  1    n i i i n tr A a b 【性质 1】设 A是n n矩阵,且r(A) 1,则

β=(b,bs,"",b），并且反过来也成立（其中(a)A=αβ，其中0aα，β是n维非零列向量）(b)A*=kA 其中k=tr(A)-[a,β)=a,b+a,b, +.+a,b,-Za,b.,i=l【参考证明】：（a）1)先证正过来推的结论，即已知r(A)=1则A=αβT.因为r(A)=1，所以必定有某行，不妨设为第i行，使得其它各行都是它的倍数.设这第i行为（b,b,，…,b,），而第1行，第2行，，第n行分别是它的a,α2..,a,倍（这时a,=1)，于是：(abab,..a,bn)aa,ba,b,... a,b.[(b,b2.. b.)Aabab,...abn)a.2)再证明反过来推的结论，即已知A=αβT,则r(A)=1.因为A=αβT,将β写成元素形式，则α(b,b2,…,b,)=(bα,bα,…,b,α)观察可得矩阵(bα,b,α,..b,α)的每一列都是α的倍数，所以它的秩要么等于1，要么等于0，下面只需要说明秩不等于0：因为行向量βT是零向量，所以必定至少存在一个元素不等于0，不妨设b,±0：又因为α不是零向量，那么bα也不是零向量，所以r(b,α,b,α,…,b,α)0(b）由(a)可知:oatbib2,,bna.a.第2页共5页

第 2 页共 5 页 (a) T A   ,其中        n a a a  2 1  ,   n T b ,b , ,b   1 2  ,并且反过来也成立（其中 ， 是n 维非零列向量）. (b)A 2=kA 其中    ,  . 1 1 1 2 2         n i n n i i k tr A   a b a b  a b a b 【参考证明】 :（a）1)先证正过来推的结论，即已知rA 1 则 T A  .因为rA 1，所以必定有某行，不妨设为第 i 行，使得其它各 行都是它的倍数.设这第 i 行为 , , , ) 1 2 n （b b  b ，而第 1 行，第 2 行，.，第 n 行分别是它的 n a , a , , a 1 2  倍（这时 1 i a ），于是:  , , . 1, 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n n n b b b a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b A                        2)再证明反过来推的结论, 即已知 T A   则 rA 1.因为 T A   将  写成元素形式, 则  , , ,   , , , .  b1 b2  bn  b1 b2  bn 观察可得矩阵    n b ,b ,b 1 2 的每一列都是 的倍数, 所以它的秩要么等 于 1, 要么等于 0, 下面只需要说明秩不等于 0:因为行向量 T  是零向量, 所以必定至少存在一个元素不等于 0,不妨设  0 i b . 又因为 不是零向量, 那么b1 也不是零向量, 所以  , , ,  0. r b1 b2  bn  b 由a可知:     n n n n b b b a a a b b b a a a A , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2                 

Caab,+a,b,+..+a.b.)b,b,.,b.).Can(b,b,..,b,)= kA=(ab +a,b, +...+a.b.anabab,abnaba,b,...ab且Abi,b....,b.).：(aba,bz...a,bh)所以k=a,b, +a,b, +...+a,b, = tr(A)【性质2】：设A为2×2的矩阵，证明：如果A'=0,1≥2，那么A?=0【参考证明】因为A'=0，所以A=A"=0,故|A=0,A不是满秩而A是2×2矩阵，所以r(A)<21)若r(A)=0,则A=0，显然有A2=0.2)若r(A)=1,则A°=kA,所以A"=k-A=0因为A±0，故k=0，所以A?=0.【性质3】：设A是nxn矩阵，且r(A)=1，则A"=[r(A)}-"A，其中tr(A)=βTα【参考证明】：由前面结论可知：A=αβT（注意α,β是n维非零向量）A" - (αβ")- (aβ"Yaβ"). (aβ)aβT)n个相乘注意到：第3页共5页

第 3 页共 5 页      b b b  kA a a a a b a b a b a b a b a b b b b a a a n n n n n n n n                      , , , , , , 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1       且                 n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a A          1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 , , , 所以k a b a b a b trA  1 1  2 2  n n  【性质 2】 :设 A 为2 2的矩阵，证明：如果 A  0,l  2 l ，那么 0 2 A  . 【参考证明】 :因为  0 l A ，所以   0 l l A A ,故 A  0, A不是满秩. 而 A是2 2矩阵，所以rA  2 1)若rA  0 ,则 A  0 ，显然有 0 2 A  . 2)若rA 1,则 A 2 A  k ,所以 A 0 1   l l A k . 因为 A  0 ，故k  0 ，所以 0 2 A  . 【 性 质 3 】 : 设 A 是 n n 矩 阵 ， 且 rA 1 , 则 A trA A n n1  , 其 中     T tr A  【参考证明】 :由前面结论可知： T A   （注意,  是 n 维非零向量）           n个相乘 T T T T n n T A        注意到：

βTα=(b,b2,",bna,b,+a,b,+a,b.a.所以A" =(αβT )" =(αβT)(αβT)...(αβ)(αβT)n个相乘=α(βTα)(βTα)(βTα)...(βTα)(βTα)(βTα)β-1个相乘=(βTα)(βTα)(βTα)...(βTα)(βTα)(βTα)αβn-1个相乘=[tr(A]"- A这里注意βα是数，可以移到最前面【性质4】：设A是nxn矩阵，且r(A)=1，则A的所有特征值是0.0...,. .tr(4)- Za.b,-n-1个【参考证明】：由已知结论：解向量个数=n-r(A)=n-r注意到：Ax=0=Ox=(A-O)x=0.表明方程Ax=Ox所有的非零解都是0的特征向量，进而说明0对应有n-1个线性无关的特征向量，即0的重数需要大于等于n-1，这里应用了如下结论：设入是A的m重特征值，a对应有k个线性无关的特征向量，其中m叫代数重数，k叫做几何重数，则有代数重数大于等于几何重数，即m≥k所以A中至少有0,0,.0,特征值，又由特征值和与迹的关系可知：n-1个第4页共5页

第 4 页共 5 页 n n n n a b a b a b a a a b b b            1 1 2 2 2 1 1 2 T ( , , , )    ， 所以 tr A A n T T T T T T T T T T T T T n T n T T T T 1 T [ ( )] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) A ( ) ( )( ) ( )( )                                          这里注意  T 是数，可以移到最前面. 【 性 质 4 】 : 设 A 是 n  n 矩 阵 ， 且 r(A) 1 ， 则 A 的 所 有 特 征 值 是  个 ， ， n 1 0 0 0   . i n i i tr A a b   1 ( ) 【参考证明】:由已知结论: 解向量个数 n  r(A)  n  r 注意到: Ax  O  Ox  (A O)x  O . 表明方程 Ax  Ox所有的非零解都是 0 的特征向量，进而说明 0 对应有n 1 个线性无关的特征向量，即 0 的重数需要大于等于n 1，这里应用了如下 结论: 设 是 A 的 m 重特征值， 对应有 k 个线性无关的特征向量，其中 m 叫代 数重数，k 叫做几何重数，则有代数重数大于等于几何重数，即m  k . 所以 A中至少有  个 ， ， n 1 0 0 0   特征值，又由特征值和与迹的关系可知： n 个相乘 n-1 个相乘 n-1 个相乘

A的所有特征值是：0,0..0,tr(A)=a,bi=ln-1个【性质5】：设A是nxn矩阵，且r(A)=1，则(a)当tr(A)=0时，说明A不可相似对角化(b)当tr(A)≠0时，A的特征值为0和tr(A)，且重数如下：0(n-1重)，tr(A)=Zab, (1重)s【参考证明】：首先给出相似对角化的充分必要条件是：方阵A有n个线性无关的特征向量，如果A有重特征值，则代数重数=几何重数.(a)当tr(A)=0时，即A的所有特征值是0,0,.,0,，所以已知0所对应的特n个征向量是方程Ax=Ox的所有的非零解，又该方程的基础解系的个数是n-1个，所以可得0对应的线性无关的特征向量有n-1个.由相似对角化的充分必要条件可知：A不可相似对角化O= Ax=αβTx=α(βx)= βx=0所以解出方程0=βTx=b,x+b,x,+..+b,x,的非零解即可.(b）当tr（A）主0，不同特征值有2个，又因为不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，所以此时方阵A有n个线性无关的特征向量，由相似对角化的充分必要条件可知：此时A可相似对角化第5页共5页

第 5 页共 5 页 A 的所有特征值是:  个 ， ， n 1 0 0 0   i n i i tr A a b   1 ( ) . 【性质 5】:设 A是n n矩阵，且r(A) 1，则 (a) 当 tr(A)=0 时，说明 A 不可相似对角化. (b) 当 tr(A)≠0 时，A 的特征值为 0 和 tr(A),且重数如下： 0( n-1 重)，tr(A)= i n i i a b 1 （1 重） 【参考证明】：首先给出相似对角化的充分必要条件是：方阵 A 有 n 个线性 无关的特征向量，如果 A 有重特征值，则代数重数=几何重数. (a)当 tr(A)=0 时，即 A 的所有特征值是  个 ， ， n 0 0  0 ，所以已知 0 所对应的特 征向量是方程 Ax=Ox 的所有的非零解，又该方程的基础解系的个数是 n-1 个，所以可得 O 对应的线性无关的特征向量有 n-1 个.由相似对角化的充分 必要条件可知：A 不可相似对角化. O  Ax  x   x x  0 T T T     所以解出方程 n n T  x  b x  b x  b x 1 1 2 2 0  的非零解即可. (b)当 tr(A)≠0，不同特征值有 2 个，又因为不同的特征值对应的特征向量 是线性无关的，所以此时方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，由相似对角 化的充分必要条件可知：此时 A 可相似对角化