第二章行列式81引言教学目的了解行列式产生的背景，掌握二级，三级行列式的定义重点二级，三级行列式的定义教学过程解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容对于二元线性方程组[am +a2=bi,[ai,+a2x2=b2,当aa22-a220时，此方程组有唯一解，即b,a22 -aizb2高 =arb,-azb=aa22-i221aa22-2a2我们称aa22-a2a2为二级行列式，用符号表示为a a222221=a2a22于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式[ana2#0[a21a22]时，该方程组有唯一解，即b[brai2aub23a21a22Xi =X2ana12ai2ai[a21a22a22a21
第二章 行列式 §1 引言 教学目的 了解行列式产生的背景，掌握二级，三级行列式的定义. 重 点 二级，三级行列式的定义. 教学过程 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程 占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方 程组. 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组 + = + = , , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 当 a11a22 − a12a21 0 时，此方程组有唯一解，即 , . 11 22 12 21 11 2 12 1 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b a b x a a a a b a a b x − − = − − = 我们称 a11a22 − a12a21 为二级行列式，用符号表示为 21 22 11 12 11 22 12 21 a a a a a a − a a = . 于是上述解可以用二级行列式叙述为： 当二级行列式 0 21 22 11 12 a a a a 时，该方程组有唯一解，即 21 22 11 12 21 2 11 1 2 21 22 11 12 2 22 1 12 1 , a a a a a b a b x a a a a b a b a x = =
对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组a,+a2x+axg=b,a21+a22x2+a23x=b2[ag1x, +ax +ag=b,称代数式aa22+a2a21+a132-a2-a2a2a3-1g,为三级行列式，用符号表示为：aai23a23aa23+a2+a2ia32-aa22-ai22a3-a22=a2122[a3a32a3[aiai2a13当三级行列式d=a21+0a22a23[a3a32a33解为时，上述三元线性方程组有唯一解，d,d,d=X2X3ddd[b,bar3aub,a23anai2b,b,其中d,=b2,d, =a23,d,=a22a23a21a22a21bsb,ab,a3a32a33a31ag2在这一章我们要把这个结果推广到n元线性方程组aix+ai2x2+...+ainx,=bi,a2ix,+a2x2+...+a2nx,=b,anx+an2X2+..+amxn=b.的情形为此，首先给出n级行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要内容
对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 + + = + + = + + = . , , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 称代数式 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 为三 级行列式，用符号表示为： 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a = 当三级行列式 0 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = a a a a a a a a a d 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 , , , 3 3 2 2 1 1 d d x d d x d d x = = = 其中 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 , , a a b a a b a a b d a b a a b a a b a d b a a b a a b a a d = = = . 在这一章我们要把这个结果推广到 n 元线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , 的情形.为此，首先给出 n 级行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主 要内容
82排列教学目的掌握排列的有关术语，熟练掌握逆序数计算法和对换改变排列的奇偶性.重点逆序数计算法、对换改变排列的奇偶性难点对换改变排列的奇偶性教学过程一、排列的定义定义1由1,2,",n组成的一个有序数组称为一个n级排列显然12.·n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的：其它的排列或多或少地破坏自然顺序定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数排列jjj,的逆序数记为t(ijzjn)定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列.应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般也称为n级排列.对这样一般的n级排列，同样可以定义上面这些概念二、排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部n级排列两两配对，使每两个配成对的n级排列在这个对换下互变定理1对换改变排列的奇偶性这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列
§2 排列 教学目的 掌握排列的有关术语，熟练掌握逆序数计算法和对换改变排列 的奇偶性. 重 点 逆序数计算法、对换改变排列的奇偶性. 难 点 对换改变排列的奇偶性. 教学过程 一、排列的定义 定义 1 由 1,2, ,n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列. 显然 12n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的 顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前 面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就 称为这个排列的逆序数. 排列 n j j j 1 2 的逆序数记为 ( ) 1 2 n j j j 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇 排列. 应该指出，我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列， 一般也称为 n 级排列.对这样一般的 n 级排列，同样可以定义上面这些概念. 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排 列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么 排列就还原了.由此得知，一个对换把全部 n 级排列两两配对，使每两个配 成对的 n 级排列在这个对换下互变. 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列
推论在全部n级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n/2个定理2任意一个n级排列与排列12·n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性
推论 在全部 n 级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 n!/ 2 个. 定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12n 都可以经过一系列对换互变， 并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性
83n级行列式教学目的掌握n级行列式的定义和定理3.1，掌握三角形行列式及其值重点n级行列式的定义难点n级行列式的定义及其应用教学过程一、n级行列式的概念在给出n级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义我们有Jan a2(1)=aa22 -ai221[a21a22a23a21a22a23a3132a33(2)=a22++ag2-2223-22从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成(3)asazi,a3jg其中jij2j,是1，2，3的一个排列.可以看出，当jij2j是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当jij2Jj是奇排列时带有负号定义4n级行列式ad2.ana2ia22.a2n(4):：aman2...am
§3 n 级行列式 教学目的 掌握 n 级行列式的定义和定理 3.1，掌握三角形行列式及其值. 重 点 n 级行列式的定义. 难 点 n 级行列式的定义及其应用. 教学过程 一、 n 级行列式的概念 在给出 n 级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义. 我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − (1) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a (2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每 一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展 开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符 号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般 形式可以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j , (3) 其中 1 2 3 j j j 是 1，2，3 的一个排列.可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时.对应的项 在(2)中带有正号，当 1 2 3 j j j 是奇排列时带有负号. 定义 4 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (4)
等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积(5)aja2z.anjn的代数和，这里jj.j,是1,2…,n的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当jjj,是偶排列时，（5)带有正号，当jJj2j是奇排列时，（5)带有负号.这一定义可写成aa2...ana21a22.a2nZ(-1)(aya2-m (6):Jij-j.aman2...am这里√表示对所有n级排列求和，Ji.j.定义表明，为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号由定义看出，n级行列式是由n!项组成的例1计算行列式0001020I0300400Oana2.. ain0a22.a2例2计算上三角形行列式(7).....00...amaa12...ain0a22...a2m解(8)aa22...amm:..loo.. am这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积
等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 njn a j a j a 1 1 2 2 (5) 的代数和，这里 n j j j 1 2 是 1,2, ,n 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带 有符号；当 n j j j 1 2 是偶排列时，(5)带有正号，当 n j j j 1 2 是奇排列时，(5) 带有负号.这一定义可写成 = − n n n j j j j j nj j j j n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) (6) 这里 n j j j 1 2 表示对所有 n 级排列求和. 定义表明，为了计算 n 级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列 元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列 指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出， n 级行列式是由 n! 项组成的. 例 1 计算行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 . 例 2 计算上三角形行列式 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 . (7) 解: nn nn n n a a a a a a a a a 11 22 22 2 11 12 1 0 0 0 = (8) 这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积. 特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式 的值等于主对角线上元素的乘积
容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的个数.二、行列式的性质在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般地，n级行列式中的项可以写成an.an""ani.其中i2i，jij2j.是两个n级排列.利用排列的性质，不难证明，（11)的符号等于(1) (42)+(.)按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成auai2..ama21a22..a2nZ(-1)()a,a,2a,:hi..4aman2...am由此即得行列式的下列性质：性质1行列互换，行列式不变.即auainana21a12...anla2ia22a2na12a22an2.::...:...:anammamnainan2...a2n性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立，例如由（8)即得下三角形的行列式a100.0a21a22...=aa22"--am:：目...amanan2
容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一 个数. 二、行列式的性质 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排 起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的， 一般地， n 级行列式中的项可以写成 n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 其中 n n i i i j j j 1 2 1 2 , 是两个 n 级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的 符号等于 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n i i i + j j j − 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是 对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来， 于是定义又可以写成 = − n n n i i i i i i n i i i n n nn n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) 由此即得行列式的下列性质： 性质 1 行列互换，行列式不变.即 n n nn n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 = 性质 1 表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的 性质，对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式 nn n n nn a a a a a a a a a 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 =
84n级行列式的性质教学目的掌握行列式的性质4、性质5，熟练掌握性质1、2、3、6、7.重点性质1、2、3、6、7.难点灵活地应用行列式的性质计算行列式教学过程行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题，n级行列式一共有n!项，计算它就需做个乘法.当n较大时，nl是一个相当在的数字直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中n个元素（譬如ai,4i2",am)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之，n级行列式的n!项可以分成n组，第一组的项都含有αi，第二组的项都含有α，等等.再分别把i行的元素提出来，就有anai2..aina a. (1)=a.A,+a2A,+.+amAm1！aniam2.amm其中A,代表那些含有a的项在提出公因子au之后的代数和.至于A.究竟是哪一些项的和暂且不管，到s6再来讨论.从以上讨论可以知道，A,中不再含有第i行的元素，也就是A,Az2",A.全与行列式中第i行的元素无关.由此即得ainaai2ailai2ain：:目性质2：kaaka2...kam=kaitai2ain::::::antammanlamnan2an2
§4 n 级行列式的性质 教学目的 掌握行列式的性质 4、性质 5，熟练掌握性质 1、2、3、6、7. 重 点 性质 1、2、3、6、7. 难 点 灵活地应用行列式的性质计算行列式. 教学过程 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题. n 级行列式 一共有 n! 项，计算它就需做个乘法.当 n 较大时， n! 是一个相当在的数字.直 接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此有必要进一步讨论行列式的 性质.利用这些性质可以化简行列式的计算. 在行列式的定义中，虽然每一项是 n 个元素的乘积，但是由于这 n 个元 素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中 n 个元 素 ( 譬 如 ai ai ain , , , 1 2 )来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因 之， n 级行列式的 n! 项可以分成 n 组，第一组的项都含有 i1 a ，第二组的项都 含有 i2 a 等等.再分别把 i 行的元素提出来，就有 i i i i i n i n n n n n n n a A a A a A a a a a a a a a a = + ++ 1 1 2 2 1 2 21 22 2 11 12 1 (1) 其中 Aij 代表那些含有 ij a 的项在提出公因子 ij a 之后的代数和.至于 Aij 究竟 是哪一些项的和暂且不管，到§6 再来讨论.从以上讨论可以知道， Aij 中不 再含有第 i 行的元素，也就是 Ai Ai Ain , , , 1 2 全与行列式中第 i 行的元素无关. 由此即得. 性质 2 : n n n n i i i n n n n n n i i i n n a a a a a a a a a k a a a k a k a k a a a a 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 =
这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式令k=0，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零性质3:ana12ainauauai2ara12ain.-...:::::::::bib2bb+cib,+C2...bn+cn...cC2Cn...::::::：:antamnan2aunanlan2....anlan2..ann这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号例1计算n级行列式abb...bbab...bd=bba...b111:bbb..a例2计算行列式-231503201298532由于行列戒，上（下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质，把行列式化成上（下）三角形行列式进行计算例3一个n级行列式，假设它的元素满足
这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于 用这个数乘此行列式. 令 k = 0 ，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零. 性质 3: n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a b c b c b c a a a 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 + + + = + . 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的 和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形. 性质 4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是 说两行的对应元素都相等. 性质 5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 性质 7 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 例 1 计算 n 级行列式 b b b a b b a b b a b b a b b b d = 例 2 计算行列式 5 2 3 503 201 298 − 2 3 1 . 由于行列戒，上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是 利用行列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算. 例 3 一个 n 级行列式，假设它的元素满足
aj=-aji,i,j=1,2,,n证明，当n为奇数时，此行列式为零
aij = −a ji , i , j = 1,2, ,n 证明，当 n 为奇数时，此行列式为零