第六章线性空间本章采用公理化的方法，将几何空间推广为线性空间，然后比照着线性空间的几何模型展开讨论。线性空间是众多研究对象共同的抽象化的产物，是最基本的数学概念之一，其理论和方法在数学的各分支以及物理、化学、计算机科学、管理学等领域都有广泛的应用.81集合·映射教学目的理解集合、相等、子集、交、并与积的概念，熟练掌握元素法证明集合相等.理解映射、单射、满射、双射的概念，熟练掌握映射的乘法和相等，理解代数运算和代数系，重点元素法证明集合相等，难点单射、满射、双射的判定，交换图的初步应用教学过程一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用aeM表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用aM表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成M=(a|a具有的性质不包含任何元素的集合称为空集，记作如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即aEM当且仅当aEN
第六章 线性空间 本章采用公理化的方法，将几何空间推广为线性空间，然后比照着线性 空间的几何模型展开讨论．线性空间是众多研究对象共同的抽象化的产物， 是最基本的数学概念之一，其理论和方法在数学的各分支以及物理、化学、 计算机科学、管理学等领域都有广泛的应用． §1 集合·映射 教学目的 理解集合、相等、子集、交、并与积的概念，熟练掌握元素法证 明集合相等.理解映射、单射、满射、双射的概念，熟练掌握映射的乘法和 相等，理解代数运算和代数系. 重 点 元素法证明集合相等， 难 点 单射、满射、双射的判定，交换图的初步应用. 教学过程 一、集合 集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆 东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用 aM 表示 a 是集合 M 的元素，读为： a 属于 M .用 aM 表示 a 不是集合 M 的元素，读为： a 不属于 M . 所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一 个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述 法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 设 M 是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成 M = a | a具有的性质. 不包含任何元素的集合称为空集，记作 . 如果两个集合 M 与 N 含有完全相同的元素，即 aM 当且仅当 a N
那么它们就称为相等，记为M=N如果集合M的元素全是集合N的元素，即由aEM可以推出aEN，那么M就称为N的子集合，记为McN或N-M两个集合M和N如果同时满足MCN和NCM.，则M和N相等设M和N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为MNN属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并记为MUN.二、映射设M和M是两个集合，所谓集合M到集合M'的一个映射就是指一个法则，它使M中每一个元素a都有M中一个确定的元素α与之对应.如果映射α使元素aEM与元素aEM对应，那么就记为o(a)=a,a就为a在映射下的像，而a称为a在映射下的一个原像M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换关于M到M'的映射?应注意1）M与M'可以相同，也可以不同；2）对于M中每个元素a，需要有M'中一个唯一确定的元素a与它对应；3）一般，M中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射集合M到集合M的两个映射α及t，若对M的每个元素a都有(a)=t(a)则称它们相等，记作α=t.例1M是全体整数的集合，M是全体偶数的集合，定义o(n)= 2n,neM,这是M到M'的一个映射
那么它们就称为相等，记为 M = N . 如果集合 M 的元素全是集合 N 的元素，即由 aM 可以推出 a N ，那 么 M 就称为 N 的子集合，记为 M N 或 N M . 两个集合 M 和 N 如果同时满足 M N 和 N M .，则 M 和 N 相等. 设 M 和 N 是两个集合，既属于 M 又属于 N 的全体元素所成的集合称 为 M 与 N 的交，记为 M N . 属于集合 M 或者属于集合 N 的全体元素所成的集合称为 M 与 N 的并， 记为 M N . 二、映射 设 M 和 M 是两个集合，所谓集合 M 到集合 M 的一个映射就是指一个 法则，它使 M 中每一个元素 a 都有 M 中一个确定的元素 a 与之对应.如果 映射 使元素 a M 与元素 aM 对应，那么就记为 (a) = a , a 就为 a 在映射 下的像，而 a 称为 a 在映射 下的一个原像. M 到 M 自身的映射，有时也称为 M 到自身的变换. 关于 M 到 M 的映射 应注意： 1） M 与 M 可以相同，也可以不同； 2）对于 M 中每个元素 a ，需要有 M 中一个唯一确定的元素 a 与它对 应； 3）一般， M 中元素不一定都是 M 中元素的像； 4） M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射. 集合 M 到集合 M 的两个映射 及 ，若对 M 的每个元素 a 都有 (a) = (a) 则称它们相等，记作 = . 例 1 M 是全体整数的集合， M 是全体偶数的集合，定义 (n) = 2n, n M , 这是 M 到 M 的一个映射
例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义O,(A)=AI,AEM这是M到P的一个映射例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义2(a)=aE,aePE是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射例 4 对于 f(x)e P[x],定义o(f(x)= f'(x)这是P[x]到自身的一个映射例5设M，M'是两个非空的集合，α是M中一个固定的元素，定义o(a)=ao ,aeM这是M到M'的一个映射例6设M是一个集合，定义o(a)=a ,aeM即把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为1m例7任意一个定义在全体实数上的函数y= f(x)都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形对于映射可以定义乘法设α及T分别是集合M到M'，M'到M"的映射，乘积to定义为(to)(a)= t(o(a) ,ae M ,即相继施行α和的结果，To是M到M"的一个映射对于集合集合M到M'的任何一个映射α显然都有IMO=lM=0
例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 1 (A) =| A|, AM . 这是 M 到 P 的一个映射. 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 2 (a) = aE ,aP. E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射. 例 4 对于 f (x) P[x],定义 ( f (x)) = f (x) 这是 P[x] 到自身的一个映射. 例 5 设 M ，M 是两个非空的集合， 0 a 是 M 中一个固定的元素，定义 (a) = a0 ,a M . 这是 M 到 M 的一个映射. 例 6 设 M 是一个集合，定义 (a) = a ,a M . 即 把 M 的每个元素都映到它自身，称为集合 M 的恒等映射或单位映射， 记为 M1 . 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数 y = f (x) 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. 对于映射可以定义乘法,设 及 分别是集合 M 到 M ，M 到 M 的映 射，乘积 定义为 ( )(a) = ( (a)) ,a M , 即相继施行 和 的结果， 是 M 到 M 的一个映射. 对于集合集合 M 到 M 的任何一个映射 显然都有 1M =1M =
映射的乘法适合结合律.设α,t,分别是集合M到M"，M'到M"，M到M"的映射，映射乘法的结合律就是(yt) =y(to)设是集合M到M'的一个映射，用a(M)代表M在映射α下像的全体，称为M在映射下的像集合，显然a(M)c M.如果α(M)=M"，映射α称为映上的或满射.如果在映射α下，M中不同元素的像也一定不同，即由ai±az一定有(a)(a),那么映射就称为1-1的或单射一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射对于M到M'的双射可以自然地定义它的逆映射，记为α-l,因为α为满射，所以M'中每个元素都有原像，又因为α是单射，所以每个元素只有一个原像，定义-(a)=a,当o(a)=a'显然，α-是M到M的一个双射，并且α-'g =1m,00-" =1m".不难证明，如果,t分别是M到M"，M到M"的双射，那么乘积to就是M到M"的一个双射
映射的乘法适合结合律.设 , , 分别是集合 M 到 M ，M 到 M ，M 到 M 的映射，映射乘法的结合律就是 () = ( ). 设 是集合 M 到 M 的一个映射，用 (M ) 代表 M 在映射 下像的全体，称为 M 在映射 下的像集合.显然 (M ) M . 如果 (M ) = M ，映射 称为映上的或满射. 如果在映射 下， M 中不同元素的像也一定不同，即由 a1 a2 一定有 ( ) ( ) a1 a2 ,那么映射 就称为 1−1 的或单射. 一个映射如果既是单射又是满射就称 1−1 对应或双射. 对于 M 到 M 的双射 可以自然地定义它的逆映射，记为 −1 .因为 为 满射，所以 M 中每个元素都有原像，又因为 是单射，所以每个元素只有 一个原像，定义 a = a a = a − ( ) , ( ) 1 当 . 显然， −1 是 M 到 M 的一个双射，并且 M M − − =1 , =1 1 1 . 不难证明，如果 , 分别是 M 到 M ，M 到 M 的双射，那么乘积 就是 M 到 M 的一个双射
S2线性空间的定义与简单性质教学目的了解线性空间的几何背景，熟练掌握线性空间的定义，掌握其简单性质.重点难点线性空间的定义教学过程一、线性空间的定义，例1在解析几何里，讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的1°按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算；2°解析几何中规定的实数与向量的乘法是RXV3到V3的一个运算3°由知道，空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律例2．数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律，定义1令V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，，对于V中任意两个向量α与β，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为α与β的和，记为=α+β.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一个数k与V中任一个元素α，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为8=kα。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间。加法满足下面四条规则：：1)α+β=β+α;2)(α+β)+=α+(β+);3）在V中有一个元素0，VαV,都有α+0=α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；
§2 线性空间的定义与简单性质 教学目的 了解线性空间的几何背景，熟练掌握线性空间的定义，掌握其简 单性质. 重点难点 线性空间的定义 教学过程 一、线性空间的定义. 例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可 以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象 的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的. 1 0 按平行四边形法则所定义的向量的加法是 V3的一个运算; 2 0 解析几何中规定的实数与向量的乘法是 R×V3到 V3的一个运算. 3 0 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律. 例 2. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘 法满足上述规律. 定义 1 令 V 是一个非空集合， P 是一个数域.在集合 V 的元素之间定 义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于 V 中任意 两个向量 与 ,在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应,称为 与 的 和,记为 = + .在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做 数量乘法；这就是说，对于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素 ,在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应,称为 k 与 的数量乘积,记为 = k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则：: 1) + = + ； 2) ( + ) + = + ( + ) ； 3) 在 V 中有一个元素 0, V ,都有 + 0 = （具有这个性质的元 素 0 称为 V 的零元素）；
4)VαV,βeV,stα+β=O（β称为α的负元素).数量乘法满足下面两条规则：5)lα=α;6) k(lα)=(kl)α ;数量乘法与加法满足下面两条规则7)(k+1)α=kα+lα;8) k(α+β)=kα+kβ;在以上规则中，k,1等表示数域P中任意数；α,β,等表示集合V中任意元素.例3数域P上一元多项式环P[x]，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x]，表示.例4元素属于数域P的mxn矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用Pmx表示例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间。例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间：1）平面上全体向量所作成的集合V，对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法：aα=0,aeR,αeV.2）R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法例8设V是正实数集，R为实数域.规定α④β=αβ(即α与β的积)
4) V, V,st + = 0 ( 称为 的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 = ; 6) k(l) = (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) (k + l) = k + l ; 8) k( + ）= k + k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； , , 等表示集合 V 中任意元 素. 例 3 数域 P 上一元多项式环 P[x] ,按通常的多项式加法和数与多项式 的乘法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于 n 的多项 式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 n P[x] 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘 法，构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P 表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数 域上的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空间: 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如下定义 的纯量乘法: a = 0,a R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和数与 多项式的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定 = (即 与 的积)
aα=α"（即α的a次幂)，其中α,βeV,aeR.则V对于加法和数乘O作成R上的线性空间二线性空间的简单性质线性空间的元素也称为向量，当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母α,β,y,..代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母a,b,c,.代表数域P中的数.1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的.3. 0α =0;k0=0;(-1)α =-α4.如果kα=0,那么k=0或者α=0
a ⊙ = a (即 的 a 次幂), 其中 , V,a R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵 义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 , , , 代表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b, c, 代表数域 P 中的数. 1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的. 3. 0 = 0;k0 = 0;(−1) = −. 4.如果 k = 0 ,那么 k = 0 或者 = 0
83维数·基与坐标教学目的熟练掌握基、维数、坐标的概念和求法重点难点基的概念和求法教学过程一、向量的线性相关与线性无关定义2设V是数域P上的一个线性空间，αj,αz",α,(r≥1)是组向量，k,kz",k,是数域P中的数，那么向量a=ka +k,α,++ka,称为向量组αα2,α,的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组a,αz,,α,线性表出.定义3设(1)a1,2,",α,(2)βr,β2...β,是V中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的定义4线性空间V中向量α,α2,",α,(r≥1)称为线性相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k,k2,,,，使(3)kα+k2.αz+...+k,a,=0如果向量α1α2",α,不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组αiα2,α,称为线性无关，如果等式（3）只有在k=kz=k,=0时才成立,几个常用的结论：1.单个向量α线性相关的充要条件是α=0.两个以上的向量
§3 维数·基与坐标 教学目的 熟练掌握基、维数、坐标的概念和求法. 重点难点 基的概念和求法. 教学过程 一、向量的线性相关与线性无关 定义 2 设 V 是数域 P 上的一个线性空间， r ,. , , 1 2 (r 1) 是 一 组向量, r k ,k , ,k 1 2 是数域 P 中的数，那么向量 r r = k11 + k2 .2 ++ k 称为向量组 r ,. , , 1 2 的一个线性组合，有时也说向量 可以用向量组 r ,. , , 1 2 线性表出. 定义 3 设 r ,. , , 1 2 (1) s , , . 1 2 (2) 是 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出， 那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相 线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的. 定义 4 线性空间 中向量 r ,. , , 1 2 (r 1) 称为线性相关，如果在数 域 P 中有 r 个不全为零的数 r k ,k , ,k 1 2 ，使 k11 + k2 .2 ++ krr = 0 (3) 如果向量 r ,. , , 1 2 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组 r ,. , , 1 2 称为线性无关，如果等式（3）只有在 k1 = k2 =kr = 0 时才成 立. 几个常用的结论： 1. 单个向量 线性相关的充要 条件 是 = 0 . 两个 以 上 的 向 量 V V V
αjα2,",α,线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.2．如果向量组αα2…α,线性无关，而且可以被β,β2,.β,线性表出，那么r≤s.由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量3.如果向量组αi,αz",α,线性无关，但αiα2,",αr，β线性相关，那么β可以由被αα2,,α,线性表出，而且表示法是唯一的在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的定义6在n维线性空间V中，n个线性无关的向量sj,82",,称为V的一组基.设α是V中任一向量，于是,2，",n,α线性相关，因此α可以被基81,82,8,线性表出：α=ae,+ae2+..+a,en.其中系数a,a2a是被向量α和基,2,唯一确定的，这组数就称为α在基,2",8下的坐标，记为a,a2",a）由以上定义看来，在给出空间V的一组基之前，必须先确定V的维数定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量α,α2，"",α,，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而αα2"α，就是V的一组基.例1在线性空间P[x],中，1, x, x2,.,x"-
r ,. , , 1 2 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组 合. 2. 如果向量组 r ,. , , 1 2 线性无关，而且可以被 s , , . 1 2 线性表 出，那么 r s . 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量. 3. 如果向量组 r ,. , , 1 2 线性无关，但 1 ,.2 , , r , 线性相关，那 么 可以由被 r ,. , , 1 2 线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空 间的一个重要属性. 定义 5 如果在线性空间 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的 线性无关的向量，那么 就称为 n 维的；如果在 中可以找到任意多个线性 无关的向量，那么 就称为无限维的. 定义 6 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 n , , , 1 2 称为 V 的一组基.设 是 V 中任一向量，于是 1 , 2 , , n , 线性相关，因此 可以 被基 n , , , 1 2 线性表出： a a an n = + ++ 1 1 2 2 . 其中系数 a a an , , , 1 2 是被向量 和基 n , , , 1 2 唯一确定的，这组数就称 为 在基 n , , , 1 2 下的坐标，记为 ( , , , ) a1 a2 an . 由以上定义看来，在给出空间 V 的一组基之前，必须先确定 V 的维数. 定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 n ,. , , 1 2 ，且 V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而 n ,. , , 1 2 就是 V 的一组基. 例 1 在线性空间 n P[x] 中， 2 1 1, , , , n− x x x V V V V
是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它们线性表出，所以P[x],是n维的，而1,x,x2,…,x"-1就是它的一组基例2在n维的空间P"中，显然6} = (1,0, ,0),62 = (0,1, .,0),6,=(0,0,.".,1)是一组基.对于每一个向量α=(ai,a2,a,）,都有α=ao,+ae,+...+a,en所以（af,az,",a,）就是向量α在这组基下的坐标例3如果把复数域K看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的
是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n 的数域 P 上的多项式都可以 被它们线性表出，所以 n P[x] 是 n 维的，而 2 1 1, , , , n− x x x 就是它的一组基. 例 2 在 n 维的空间 n P 中，显然 = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1 n 是一组基.对于每一个向量 ( , , , ) = a1 a2 an ,都有 a a an n = + ++ 1 1 2 2 . 所以 ( , , , ) a1 a2 an 就是向量 在这组基下的坐标. 例 3 如果把复数域 K 看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数 1 就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数 1 与 i 就是一组 基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的