SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª §12.2 2 Fourier ?ê 12.2.1 SÈ ½Â 1 X ´ R þ5m, l X × X R N: (x, y) ∈ X × X → hx, yi ∈ R ¡ X þSÈ, eéu?¿ x, y, z ∈ X , α, β ∈ R, k 1 ◦ hx, xi > 0, hx, xi = 0 = x = 0. 5 2 ◦ hx, yi = hy, xi é¡5 3 ◦ hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi V5 ½Â SÈ5m¡SÈm. 1/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª 3SÈm¥±½ÂêÚål. X ´ R þSÈm. éu x ∈ X , - kxk = p hx, xi. K kxk ´ X þê. éu x, y ∈ X , - d(x, y) = kx − yk, K d(x, y) ´ X þål. x Ú xn ´ X ¥:, e lim n→∞ d(xn, x) = 0, K¡ {xn} Âñu x. eUìùÂñ, m X ´ (=, X ¥Ä Âñ X ¥), K¡ X ´ FËA(Hilbert)m. x, y ∈ X . e hx, yi = 0, K¡ x y , P x ⊥ y. 2/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª Ún 1 (Schwarts Ø ª) x, y ´SÈm X ¥. Kk |hx, yi| 6 kxk kyk. ª¤á = x, y 5'. y² Ø x, y Ñ". é?¿¢ê t k 0 6 ktx − yk 2 = htx − y, tx − yi = t 2kxk 2 − 2thx, yi + kyk 2 , Ïdù'uCþ t gªOª, =, 4hx, yi 2 − 4kxk 2kyk 2 6 0, Ï |hx, yi| 6 kxk kyk. ª¤á=3¢ê t ¦ tx − y = 0, =, x, y 5'. 3/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2Â Fourier ?ê 5 V4õª M ´ X ¥f8, eé?¿ x, y ∈ M, k hx, yi = 0, x 6= y 1, x = y, K¡ M ´ X 58. X ¥ {xn} ´58, Ò¡5X. Ún 2 58´5Ã'. y² {e1, e2, · · · , en} ´5, a1e1 + a2e2 + · · · + anen = 0. K ak = hakek, eki = ha1e1 + · · · + anen, eki = h0, eki = 0. ùÒ`² {e1, e2, · · · , en} ´5Ã'. 4/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª Ún 3 (½n) x, y ´ X ¥ x ⊥ y. Kk kx + yk 2 = kxk 2 + kyk 2 . /, x1, x2, · · · , xn ´ X ¥p, Kk kx1 + x2 + · · · + xnk 2 = kx1k 2 + kx2k 2 + · · · + kxnk 2 . y² ¯¢þ, e j 6= k, Kk hxj, xki = 0, Ï X n j=1 xj 2 = DX n j=1 xj, X n k=1 xk E = X n j=1 X n k=1 hxj, xki = X n j=1 hxj, xji = X n j=1 kxjk 2 5/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2Â Fourier ?ê 5 V4õª Gram-Schmidt IOz {xn} ´ X ¥5Ã'. ±E5X {en} ¦ ek ´ {x1, · · · , xk} 5|Ü. 1Ú: e1 = x1/kx1k. 1Ú: - v2 = x2 − hx2, e1ie1. K v2 6= 0, v2 ⊥ e1. - e2 = v2/kv2k. 1nÚ: b {e1, e2, · · · , en−1} ®EÐ. - vn = xn − X n−1 k=1 hxn, ekiek. K vn 6= 0, vn ⊥ ek k = 1, 2, · · · , n − 1. - en = vn/kvnk. 6/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª 12.2.2 2 Fourier ?ê {ϕ1, · · · , ϕn, · · · } ´SÈm X ¥|5X, éu f ∈ X ¡ an = hf, ϕni f 2 Fourier Xê. ¡ P∞ n=1 anϕn f 2 Fourier ?ê, P f ∼ X ∞ n=1 anϕn. ¡/X Gn = X n k=1 αkϕk (αn Ñ´¢ê) n g ϕ−õª. 3¤k n g ϕ−õª¥, 2ÂFourier ?êc n Ú Sn = X n k=1 akϕk f ålá. ¯¢þ, Ï 7/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª ∆n = kGn − fk 2 = DX n k=1 αkϕk − f,X n k=1 αkϕk − f E = kfk 2 − 2 X n k=1 akαk + X n k=1 α 2 k = kfk 2 + X n k=1 (αk − ak) 2 − X n k=1 a 2 k > kfk 2 − X n k=1 a 2 k , Ò¤á = αk = ak (k = 1, 2, · · · , n) ¤á. Ïd, k X ∞ k=1 a 2 k 6 kfk 2 . (12.1) ù¡2 Fourier ?ê Bessel Ø ª. 8/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª 12.2.3 58 ½Â 2 X ´SÈm, M ´ X 58, e M ܤ 5m span(M) 3 X ¥È, = span(M) = X , K¡ M ´ 58. ½n 1 X ´SÈm. e M ´ X 58, K x ⊥ M =⇒ x = 0. (12.2) y² x ∈ X x ⊥ M. Ï M ´ , ¤±3 xn ∈ M, ¦ xn → x, =, kxn − xk → 0. 9/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
SÈ Schwarts Ø ª ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õª Ï kxn − xk 2 = hxn − x, xn − xi = kxnk 2 − 2hx, xni + kxk 2 = kxnk 2 + kxk 2 > kxk 2 , ¤±7k kxk = 0, Ï x = 0. ½n 2 X ´FËAm. e M = {ϕ1, ϕ2 · · · } ´ X 5 X, K M ´ 5X¿©7^´: é?¿ f ∈ X , k Parseval ª X ∞ k=1 a 2 k = kfk 2 , (12.3) Ù¥ ak = hf, ϕki ´ f 2 Fourier Xê. 10/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ