½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N §10.4 n È© Ii = [ai, bi ] (i = 1, 2, · · · , n) ´ n 4«m, ¡ F = I1 × I2 × · · · × In ⊂ R n n «m½ n N, ÙNȽ σ(F) = Y n i=1 (bi − ai). f(x1, x2, · · · , xn) ´½Â3 F þ n ¼ê. T ´²1u Rn ¥I²¡ ²¡|¤©, §ò F ©¤kõ n N F1, F2, · · · , Fm, 3zN Fj ¥: Pj, Riemann Ú S(f, T ) = X m j=1 f(Pj)σ(Fj). e© T °Ý kT k = max 16j6m {diam(Fj)} ªu", þ¡Úªk4 1/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N A, K¡ f 3 F þÈ, A ¡ f È©, P Z · · · Z F f(x1, · · · , xn) dx1 · · · dxn, {P Z F fdσ. f ´½Â3k.« D ⊂ Rn þ¼ê. fD ´ f 3 Rn þ" òÿ, e fD 3 n N F ⊃ D þÈ, K¡ f 3 D þÈ. È©P Z · · · Z D f(x1, · · · , xn) dx1 · · · dxn, {P Z D fdσ. ±½Â n "ÿ8Ú n kNÈ8. 2/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N ½Â 1 V ⊂ Rn ´8Ü. XJé?¿½ ε > 0, 3k ½ n «m {Ik, k ∈ N} ¦ V ⊂ [ k∈N Ik, X ∞ k=1 σ(Ik) 6 ε, (ùp σ(Ik) L« Ik NÈ), @o¡ V (n ) "ÿÝ8, {¡"ÿ8. e þ¡ Ik Ik, K V ¡"NÈ8. ½n 1 (1) õê8´"ÿ8, õê"ÿ8¿8´"ÿ8; (2) k"NÈ8¿8´"NÈ8; (3) B ´"NÈ8 du B ´"NÈ8; (4) B ⊂ Rn ´k.48. K B ´"ÿ8 du B ´"NÈ8; (5) Rn ¥ n − 1 1wN´"NÈ8. ½n 2 (Lebesgue ½n) f(x1, · · · , xn) ´ n 4«m I þk.¼ê, @o f 3 I þÈ¿©7^´: f mä: N´"ÿ8. 3/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N ¤¢ n È©, Ø \¡: , þ!nÈ©vk «O. n N F þk.¼ê f È¿©7^´ f mä: N ´ n "ÿ8. ÏdëY¼ê3Nþo´È. 3?1\gÈ©, @ý©ÛÙ«A:, ÚÚ/ü$È©ê, Åg?1È©. ~ Xéu n N F = I1 × I2 × · · · × In þëY¼ê f(x1, · · · , xn), §È ©±z\gÈ© Z · · · Z F f(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn = Z b1 a1 dx1 Z b2 a2 dx2 · · · Z bn an f(x1, · · · , xn)dxn. ªm>È©^S±´?¿. 4/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N ½n 3 (\gÈ©) V ⊂ Rn ´kNÈk.48, f ´ V þëY¼ ê. éu V ¥: x = (x1, · · · , xn) (1) XJ (x1, · · · , xn−1) ∈ D ⊂ Rn−1 , k ϕ1(x1, · · · , xn−1) 6 xn 6 ϕ2(x1, · · · , xn−1), Ù¥ ϕ1, ϕ2 ´ D þëY¼ê, @ok Z V fdσ = Z · · · Z D dx1 · · · dxn−1 Z ϕ2(x1,··· ,xn−1) ϕ1(x1,··· ,xn−1) f(x1, · · · , xn−1, xn)dxn. (2) XJ xn ∈ [a, b] , k (x1, · · · , xn−1) ∈ Dxn ⊂ Rn−1 , @ok Z V fdσ = Z b a dxn Z · · · Z Dxn f(x1, · · · , xn−1, xn)dx1 · · · dxn−1. 5/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N ½n 4 (n È©úª) Ω ´ Rn ¥m8, 8Ü ∆ ⊂ Ω kNÈ, N ϕ : xi = xi(u1, u2, · · · , un), (i = 1, 2, · · · , n) 3 ∆ þ´K, = ϕ 3 ∆ ´ C1 , ∂(x1,··· ,xn) ∂(u1,··· ,un) 6= 0, @oéu½Â3 Ω = ϕ(∆) þëY¼ê f, k Z · · · Z ϕ(∆) f(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn = Z · · · Z ∆ f ◦ ϕ(u1, · · · , un) ∂(x1,··· ,xn) ∂(u1,··· ,un) du1 · · · dun. 6/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N (1) n ü/NÈ ¤¢ n ü/´m Rn ¥ù:8 Sn(a) = {(x1, · · · , xn) : x1, · · · , xn > 0; x1 + · · · + xn 6 a} n = 1 , Ò´4«m [0, a]¶ n = 2 , Ò´ Oxy ²¡þ± (0, 0), (a, 0), (0, a) º:n/. 3nm¥, ü/Ò´ u1¿± (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a) º:o¡N. O§NÈ σ(Sn(a)), ± O¼ê f ≡ 1 3þ¡È© σ(Sn(a)) = Z Sn(a) dσ » C xi = ati, i = 1, · · · , n, Kk ∂(x1, · · · , xn) ∂(t1, · · · , tn) = a n , 7/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N =r> a ü/ ¤> 1 ü/, ùp (t1, · · · , tn) ∈ Sn(1), σ(Sn(a)) = Z Sn(a) dσ = a n Z Sn(1) dσ = a nσ(Sn(1)). 5¿, éu½ t ∈ [0, 1], Sn(1) tn = t ´8Ü (t1, . . . , tn−1) t1 > 0, · · · , tn−1 > 0, t1 + · · · + tn−1 6 1 − t . ù´> 1 − t n − 1 ü/ Sn−1(1 − t). 8/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N Ïd\gÈ© σ(Sn(1)) = Z 1 0 dt Z · · · Z Sn−1(1−t) dt1dt2 · · · dtn−1 = Z 1 0 σ(Sn−1(1 − t))dt = Z 1 0 (1 − t) n−1σ(Sn−1(1))dt = σ(Sn−1(1)) Z 1 0 (1 − t) n−1dt = 1 n σ(Sn−1(1)) ùÒ4íúª. Ï σ(S1(1)) = 1, ¤± σ(Sn(1)) = 1 n! , σ(Sn(a)) = a n n! . 9/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
½Â \gÈ© úª n ü/ n ¥N (2) n ¥NÈ Bn(a) = {(x1, · · · , xn) : x 2 1 + · · · x 2 n 6 a 2}, ¡±:¥%!± a » n ¥N. éu n = 1, 2, 3, Bn(a) ©OéAþ4«m!²¡þ Ún m¥N. » 1 ¥N¡ü ¥N. aqü/NÈO, k σ(Bn(a)) = Z Bn(a) dσ = a n Z Bn(1) dσ = a nσ(Bn(1)) 5¿, éu½ tn−1 = u, tn = v, u2 + v 2 6 1, §¥N Bn(1) ´d÷v t 2 1 + · · · + t 2 n−2 6 1 − u 2 − v 2 :¤, ¤ ± ´ n − 2 ¥N Bn−2( √ 1 − u2 − v 2). 10/12 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ