Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n §12.3 Fourier ?êþÂñ5 ½Â 1 Sn ´Ã¡?ê X ∞ n=1 an, Ü©Ú, = Sn = a1 + a2 + · · · + an. - σn = S1 + S2 + · · · + Sn n . (12.1) e lim n→∞ σn = σ ´k, K¡?ê X ∞ n=1 an 3þ¿Âe (½3 Ces`aro ¿ Âe) Âñ σ. P X ∞ n=1 an = σ (C). (σ ¡?êþ). w, e X ∞ n=1 an Âñ s, K§3þ¿ÂeÂñ s. ؽé. ~X, X ∞ n=1 (−1)n−1 = 1 2 (C). d?êÏ~¿Âe¿ØÂñ. 1/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n y f(x) ´ [−π, π] þȽýéȼê. an, bn ´Ù Fourier Xê, = f(x) ∼ a0 2 + X ∞ n=1 an cos nx + bn sin nx . Kò Fourier Xê½ÂLª\ Fourier ?êÜ©Ú, Tn(x) = a0 2 + X n k=1 ak cos kx + bk sin kx = 1 2π Z π 0 f(x + t) + f(x − t) sin(n + 1 2 )t sin t 2 dt P T0(x) = a0 2 , Ï σn(x) = 1 n X n−1 k=0 Tk(x) = 1 2nπ Z π 0 f(x + t) + f(x − t) X n−1 k=0 sin(k + 1 2 )t sin t 2 dt. 2/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n Ï X n−1 k=0 sin (k + 1 2 )t = sin2 nt 2 sin t 2 , (12.2) ¤± σn(x) = 1 2nπ Z π 0 f(x + t) + f(x − t) sin nt 2 sin t 2 2 dt. (12.3) AO, - f = 1, K Tn = 1, ¤± σn(x) = 1, dþª, 1 = 1 nπ Z π 0 sin nt 2 sin t 2 2 dt. (12.4) dd, ¿Uì Dirichlet Âñ5½naqy²{, ±y²e¡ Fej´er  ñ½n. 3/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ½n 1 (ȼê Fej´er ½n) ¼ê f(x) ± 2π ±Ï, 3 [−π, π] þ ȽýéÈ. e f(x) 3 x0 ?k4 f(x0 − 0) Úm4 f(x0 + 0), K 3 x0 ? f(x) Fourier ?ê3þ¿ÂeÂñu f(x0+0)+f(x0−0) 2 . y² P s = f(x0+0)+f(x0−0) 2 , ϕ(t) = f(x0 + t) + f(x0 − t) − 2s. â (12.3), (12.4) σn(x0) − s = 1 2nπ Z π 0 f(x0 + t) + f(x0 − t) − 2s sin nt 2 sin t 2 2 dt = 1 2nπ Z π 0 ϕ(t) sin nt 2 sin t 2 2 dt (12.5) Ï f 3 x0 4Úm4Ñ3, , é?¿ê ε, 3 δ ∈ (0, π) ¦ 4/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n |f(x0 + t) − f(x0 + 0)| < ε 2 , (0 < t < δ) |f(x0 − t) − f(x0 − 0)| < ε 2 , (0 < t < δ). Ïd |ϕ(t)| < ε, (0 < t < δ). y3r (12.5) ¥È©©¤üÜ©, k σn(x0) − s = 1 2nπ Z δ 0 ϕ(t) sin nt 2 sin t 2 2 dt + 1 2nπ Z π δ ϕ(t) sin nt 2 sin t 2 2 dt = I1 + I2 e¡©Oé I1, I2 O. 5/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n |I1| 6 1 2nπ Z δ 0 |ϕ(t)| sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 ε 2nπ Z δ 0 sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 ε 2nπ Z π 0 sin nt 2 sin t 2 2 dt = ε 2 . |I2| 6 1 2nπ Z π δ |ϕ(t)| sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 1 2nπ Z π δ |ϕ(t)| 1 sin t 2 2 dt 6 1 2nπ sin2 δ 2 Z π 0 |ϕ(t)| dt = A n , Ù¥ A = 1 2π sin2 δ 2 Z π 0 |ϕ(t)| dt 6/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ´~ê. n > 2A ε , Òk |I2| < ε 2 . Ïd |σn(x0) − s| < ε. u´ lim n→∞ σn(x0) = s. íØ 1 ¼ê f(x) ± 2π ±Ï, 3 [−π, π] þȽýéÈ. e f(x) 3 x0 ?k4 f(x0 − 0) Úm4 f(x0 + 0), 3 x0 ? f(x) Fourier ?êÂñu s, K7k s = f(x0+0)+f(x0−0) 2 . y² e3 x0 ? f(x) Fourier ?êÂñu s, K§UþÂñu s. â Fej´er ½n, f(x) Fourier ?êUþAÂñu f(x0+0)+f(x0−0) 2 . , s = f(x0 + 0) + f(x0 − 0) 2 . 7/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ½n 2 (ëY¼ê Fej´er ½n) f(x) ´± 2π ±ÏëY¼ê. K f(x) Fourier ?ê3þ¿ÂeÂñu f(x). y² â (12.5), k σn(x) − f(x) = 1 2nπ Z π 0 ϕx(t) sin nt 2 sin t 2 2 dt (12.6) Ù¥ ϕx(t) = f(x + t) + f(x − t) − 2f(x). Ï f(x) ´ (−∞, +∞) þëY¼ê ± 2π ±Ï, ¤± f(x) 3 (−∞, +∞) þëY. Ïd3 M > 0 ¦ |f(x)| 0, 3 δ ∈ (0, π) ¦ |f(x) − f(y)| < ε 2 (|x − y| < δ). , 0 6 t < δ , k |ϕx(t)| < ε é x ∈ R ¤á. 8/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n ò (12.6) ªmàÈ©¤ü: 1 2nπ Z δ 0 ϕx(t) sin nt 2 sin t 2 2 dt + 1 2nπ Z π δ ϕx(t) sin nt 2 sin t 2 2 dt = I1 + I2. ¿©O?1O, |I1| 6 1 2nπ Z δ 0 |ϕx(t)| sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 ε 2nπ Z δ 0 sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 ε 2nπ Z π 0 sin nt 2 sin t 2 2 dt = ε 2 . d |f(x)| < M, |ϕx(t)| < 4M. , |I2| 6 1 2nπ Z π δ |ϕx(t)| sin nt 2 sin t 2 2 dt 6 1 2nπ Z π δ 4M 1 sin δ 2 !2 dt 6 2M n sin2 δ 2 . 9/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fej´er ½n1 Fej´er ½n1 %C½n1 %C½n2 Parseval ½n , n > 4M/ ε sin2 δ 2 , k |σn(x) − f(x)| 6 |I1| + |I2| < ε 2 + ε 2 = ε, (x ∈ R). ùÒy² σn(x) 3 (−∞, +∞) þÂñu f(x). ½n 3 (Weierstrass nõª%C½n) f ∈ C[−π, π] ÷v f(−π) = f(π). K f(x) 3 [−π, π] þ^nõª%C. y² Ï f(x) 3 [−π, π] ëY, f(−π) = f(π), ¤± f(x) ±ò ÿ¤ (−∞, +∞) þ± 2π ±ÏëY¼ê. â Fej´er ½n, f(x) Fourier ?êÜ©Úþ σn(x) 3 (−∞, +∞) þÂñu f(x). du σn(x) ´ n − 1 gnõª. Ïd f(x) 3 (−∞, +∞) þ, AO´3 [−π, π] þ ^nõª%C. y. dnõª/ª%C½n, ±íÑêõª/ª%C½n. 10/16 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ