《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第11章 曲线积分和曲面积分（4/7）

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ §11.4 1.­¡È© 11.4.1 ­¡½• Ï~·‚¤„äk>.­¡Ñkýڇý!½ (éuvk>. µ4­¡5`) kpýÚ ýƒ©. éuùkVý­¡, XJ‡hÖ úhÖ­¡,ý, ‡¦ØL­¡>., ´ÃØXۏجhÖ ,ý. x y z P O P' 1/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ , , ¿š¤k­¡Ñ´Xd. ‡;.~f‰/M¨obius ‘0. ò /’^ ABCD Û= 180◦ , 2÷ AB Ú CD ü>Êå5, ¦ A Ú C ­Ü, B Ú D ­Ü, Ò ù«‘/. ùž, XJhÖúl?¿: m©hÖ, ¦ØI‡L>.Ҍò M¨obius ‘¤k/ëY/hÖH, =ù«­¡k‡ý¡œÏd, ·‚I‡3êÆþy­¡Vý5½ü ÿ5, ²(­¡½•. A B D C 2/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ  S 1w­¡, Ïd3z: M Ñkš"{•þ ~n(M). w,† ~n(M) •ƒ‡•þ −~n(M) ´ S 3 M {•þ, §‚ц­¡ƒ ²¡R†. é?: M0 ∈ S, ½ S 3 M0 {•þ¥‡, P ~n(M0). ?Š^ S þL M0 4­‚ L. 4: M l M0 Ñu÷ L £Ä, 3 M ² Lz:‡{•þ ~n(M) ¦ ~n(M) ëYCz, XJ M £ M0 ž, {•þo´ ~n(M0), Ò¡ M0 ´­¡ S Vý:, XJ­¡þz :Ñ´Vý, K¡­¡´ÜVý­¡. ÄK, Ò¡ S ´Üüý­¡. 3/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ Vý­¡½•  S ´n‘m¥‡Vý1w­¡. éu S þ?: M0 kü‡ü {• ~n(M0) Ú −~n(M0), ‡½Ù¥‡ ~n(M0), KÏ LëYwÄ, Ҍ±(½­¡þ¤k: M ?ƒéA ~n(M). ù­¡ þ¤k:ÚÏLþ¡{¤{•Ò´ S ý. ƒ‡ýÒ ´­¡þ¤k: M Ñ{• −~n(M). ­¡ S 3†‹IXeäkëꐧL« ~r = ￾ x(u, v), y(u, v), z(u, v)
(u, v) ∈ D ž, §ü‡{•þ´ ±~r0 u × ~r0 v = ±  ∂(y, z) ∂(u, v) , ∂(z, x) ∂(u, v) , ∂(x, y) ∂(u, v)  ùžŒ±½Ù¥‡Lý•, ,‡ÒLKý•. S.þ, ·‚ ÀJ ~n = ~r0 u × ~r0 v |~r0 u × ~r0 v | Š•ü {•þ. 4/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ AO­¡L« S : z = f(x, y) (x, y) ∈ D wªL«ž,  ~n = ￾ −f 0 x , −f 0 y , 1
q (f 0 x ) 2 + (f 0 y ) 2 + 1 §† Oz ¶•Yb. Ïd¤•ý¡­¡þý, , ý¡eý. éuµ4­¡, {•þ• ¡@ý¡ ý, ,ý¡Sý. ~ X±:%¥ x 2 + y 2 + z 2 = R2 , ٍ• ý{•þ ~n = (x, y, z) R = ~r R . 5/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ Vý­¡>.½• kž, ·‚I‡ò­¡•†Ù>­‚•ƒ N, NK´­¡•†>.­‚•¤mÃX, =mÃ- †{•þ±ž, Ù¦o‡Þ­•†>.­‚•. ù, (½ ­¡•ÒŒ±(½>.•; ‡L5(½ >.• ±￾, Ò(½ ­¡•. S1 S2 XJ­¡ S ´dVý­¡ S1 Ú S2 © ¤.  S1 >.•(½￾, KA S2 •¦ S1 Ú S2 ú
>.üýkƒ‡r•, ùÒ´© ­¡•N. dõÜVý­¡©¤­¡ S ½•AUþãK3 kú
>.f­¡ƒmN. 6/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ 11.4.2 1.­¡È© 6ÏþOŽ  S ´6„| ~v ¥Ü½•1w­¡. ¦ü žmS 6L S 6þ. d, ò S ©¤k‡¿©k¡È­¡¡ S1, S2, · · · , Sn. 3z‡­¡¡ Si þ, 6„|Cq‡~•þ ~vi = ~v(Mi) (Mi ∈ Si), Si þü {• ~n Cqü ~•þ ~ni = ~n(Mi). P Si ¡ ȏ ∆Si, Kü žmS6L Si 6þCq ~v(Mi) · ~n(Mi)∆Si. Ï ü  žmS6L S 6þCq X n i=1 ~v(Mi) · ~n(Mi)∆Si. XJé S ©°Ýªu"ž, þ¡Úªk4 A, Kù‡4A TÒ´¤¦6„|¥ü žmS6 L S 6þ. S S i ~ni ~vi 7/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ ½Â 1  S ´n‘m•þ| F~ ¥Ü½•1w­¡, ~n ´ S þü  {•. ò S ©¤k‡¿©k¡È­¡¡ S1, · · · , Sn. 3z‡ ­¡¡ Si þ: Mi , ŠÚª X n i=1 F~(Mi) · ~n(Mi)∆Si, Ù¥ ∆Si  Si ¡È. XJ©°Ý (­¡¡†»¥Œö) ªu "ž, ØØ Mi 3 Si ¥XÛÀ, þ¡ÚªÑk½4 A, @où‡4  A Ò¡•þ| F~ 3k•­¡ S þ1.­¡È©, P ZZ S F~ · dS~ = ZZ S F~ · ~ndS, (11.1) Ù¥ dS~ = ~ndS ¡k•¡È‡. 3Ôn¥>Ïþ!^ÏþÑ´1.­¡È©. 8/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ  F~ = (P, Q, R), {• ~n † x ¶, y ¶, z ¶Y©O α, β, γ, Ï ~n = (cos α, cos β, cos γ). dž F~ · ~ndS = P cos αdS + Q cos βdS + R cos γdS. -    dy ∧ dz := cos αdS, dz ∧ dx := cos βdS, dx ∧ dy := cos γdS, (11.2) (dy ∧ dz ´k•­¡‡ dS~ 3 yz ²¡þÝK) K F~ 3 S þ1.­ ¡È©ŒL ZZ S F~ · dS~ = ZZ S P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. (11.3) ù´1.­¡È©,‡~^Lˆª, kžÎÒ ∧ ØÑ. 9/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Vý­¡ ­¡½• >.½• k•­¡È© ­¡È©5Ÿ ­¡ S ´Ü1w­¡, ¿…äkëꐧL«ž ~r = ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D. ¡È‡ dS = |~r0 u × ~r0 v |dudv. XJ­¡½ýü {•þ ~n = ~r0 u × ~r0 v |~r0 u × ~r0 v | . Kk•¡È dS~ = ~ndS = ~r0 u × ~r0 v |~r0 u × ~r0 v | dS = (~r0 u × ~r0 v )dudv. dS~ ©þ/ªXe: dS~ =  ∂(y, z) ∂(u, v) dudv, ∂(z, x) ∂(u, v) dudv, ∂(x, y) ∂(u, v) dudv , =k•¡È‡3n‡‹I²¡þÝK dy ∧dz = ∂(y, z) ∂(u, v) dudv, dz ∧dx = ∂(z, x) ∂(u, v) dudv, dx∧dy = ∂(x, y) ∂(u, v) dudv. 10/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ