B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª 13.4.2 Γ ¼ê B ¼ê9Ù5 ½Â 1 ¹ëCþ x È© Γ(x) = Z +∞ 0 t x−1e −tdt, ¤½Â'u x ¼ê, ¡ Γ ¼ê (Gamma ¼ê). ÏL¹ëCþ x, y È© B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt, ¤½Â'u x, y ¼ê, ¡ B ¼ê (Beta ¼ê). Ïùü¼ê´d Euler 3¦) ©§Ú\, ¤±q¡ Euler ¼ê½ Euler È©. 1/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 1 Γ(x) ½Â´ (0, +∞), ´ (0, +∞) þëY¼ê. y² rÈ©©¤üÜ©, Γ(x) = Z 1 0 t x−1e −tdt + Z +∞ 1 t x−1e −tdt. é?¿ β > α > 0, α 6 x 6 β, k t x−1e −t 6 t α−1e −t , 0 α ´?¿üê, ¤± Γ(x) 3 (0, +∞) k½Â ëY. 2/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 2 Γ ¼êk?¿ ê. y² x ∈ [α, β]. ·I* ȼêé x ¦ k gêÈ© Z +∞ 0 t x−1e −t (ln t) kdt = Z 1 0 t x−1e −t (ln t) kdt + Z +∞ 1 t x−1e −t (ln t) kdt. |^½n 1 ¥Ó{, k |t x−1e −t (ln t) k | 6 (−1)k (ln t) k t 1−α t ∈ (0, 1], t x−1e −t (ln t) k 6 t β−1e −t (ln t) k t ∈ [1, +∞). þ¡üØ ªm>Ñ´È, Ï t → 0 + , (ln t) k ªuá Ý, '?Û t γ , γ > 0 ú. t → +∞ , t x−1 (ln t) k ªuáÝ, ' Øþ e t . ¤±±y²þãÈ©3 [α, β] þ´Âñ, ½n¤á, Γ (k) (x) = Z +∞ 0 t x−1e −t (ln t) kdt. 3/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 3 (Γ ¼ê4íúª) Γ(x + 1) = xΓ(x), x > 0. y² d©ÜÈ©{ Γ(x + 1) = Z +∞ 0 t xe −tdt = −t xe −t +∞ 0 + x Z +∞ 0 t x−1e −tdt = xΓ(x). EA^þ¡4íúªB Γ(x + 1) = x(x − 1)· · ·(x − n + 1)Γ(x − n + 1), n − 1 1 Γ ¼êOo± 8(O 0 < x < 1 Γ ¼ê. AO x = n (n g,ê) Òk Γ(n + 1) = n(n − 1)· · · 1 · Γ(1) = n!, ù´Ï Γ(1) = R +∞ 0 e −tdt = 1. 4/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª d , Γ 1 2 ½½Ñ. ùL3È© Γ 1 2 = Z +∞ 0 t −1 2e −tdt ¥Cþ t = x 2 = Γ 1 2 = 2 Z +∞ 0 e −x 2 dx = √ π. ddq½Ñ x ê n + 1 2 Γ ¼ê Γ n + 1 2 = n − 1 2 n − 3 2 · · · 1 2 Γ 1 2 = (2n − 1)!! 2 n √ π. 5/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 4 B(x, y) 3 I = (0, +∞) × (0, +∞) þëY, B(x, y) = B(y, x). y² 3 B ¼ê½Âª B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt ¥, XJ x 0 Âñ; 6/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª t → 1 , t x−1 (1 − t) y−1 ∼ (1 − t) y−1 , ¤±1È© y > 0 Âñ. Ò´`, B(x, y) ½Â x > 0, y > 0. éu«m I þ?: (x0, y0), x0 > x1 > 0, y0 > y1 > 0, K x > x1, y > y1 , ÃØ t ´«m (0, 1) þNê, Ñk t x−1 (1 − t) y−1 6 t x1−1 (1 − t) y1−1 , duÈ© R 1 0 t x1−1 (1 − t) y1−1dt Âñ, Ï È© R 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt 3 [x1, +∞) × [y1, +∞) þÂñ, B(x, y) 3 (x0, y0) ëY, d (x0, y0) ?¿5, B(x, y) 3Ù½ÂþëY. C t = 1 − u, = B(x, y) = B(y, x). 7/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 5 (B ¼êáȩL«) é?¿ x > 0, y > 0, k B(x, y) = Z +∞ 0 z y−1 (1 + z) x+y dz. y² d½Â B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt, - t = 1 1+z , =k 1 − t = z 1+z , dt = − dz (1+z) 2 , \Òk B(x, y) = Z +∞ 0 z y−1 (1 + z) x+y dz (x > 0, y > 0). 8/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 6 (B ¼ê4íúª) é?¿ x > 0, y > 1, k B(x, y) = y − 1 x + y − 1 B(x, y − 1). y² l B ¼ê½ÂÑu, d©ÜÈ© B(x, y) = Z 1 0 (1 − t) y−1d t x x = t x (1 − t) y−1 x 1 0 + y − 1 x Z 1 0 t x (1 − t) y−2 dt = y − 1 x Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−2 dt − y − 1 x Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1 dt = y − 1 x B(x, y − 1) − y − 1 x B(x, y). Ïd, B(x, y) = y − 1 x + y − 1 B(x, y − 1). AO, du B(1, 1) = 1, éu m, n ∈ N+ k B(m, n) = (m−1)!(n−1)! (m+n−1)! = Γ(m)Γ(n) Γ(m+n) . 9/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 7 (B ¼ê Γ ¼ê'X, Dirichlet úª) é?¿ x > 0, y > 0, k B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) . y² â B ¼êÚ Γ ¼ê4íúª, Ié x > 1, y > 1 ¹ y²(ؤá. d Γ ¼ê½Â Γ(x)Γ(y) = Z +∞ 0 u x−1e −udu Z +∞ 0 v y−1e −vdv, 3þª¥· v = ut, 2È©gS, Ò Γ(x)Γ(y) = Z +∞ 0 u x−1e −udu Z +∞ 0 u y t y−1e −utdt = Z +∞ 0 t y−1dt Z +∞ 0 u x+y−1e −(1+t)udu. (1) þ¡È©gS´Ün, ùI5¿3 x > 1, y > 1 be, k 10/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ