第二章 极限与连续一一函数的连续性闭区间上连续函数的性质
第二章 极限与连续 ―—函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
函数的连续性（1）函数在一点连续的定义：设函数f(x）满足：(a)lim f(x） 存在;；（隐含条件：f(x）在某个U(x）中有定义）x-→x(b)f(x)存在;(c)lim f(x)= f(x) ,x-→xo则称函数f(x）在x=X，点连续
函数的连续性 （1）函数在一点连续的定义： 设函数 满足： （c） ， （b） 存在； （a） 存在； 则称函数 在 点连续。 （隐含条件： 在某个 中有定义）
（2）函数在一点连续的等价表述：(a) V>0,38>0 ,Vx:x-x,8=l f(x)-f(x)k （b）若记自变量的增量△r=x-X，应变量的增量△y=f(x)-f(x)=f(x+△x)-f(xo），则lim f(x)= f(x) 台 lim f(x, +Ar)= f(x)AX>limAy=0。Ax>0
（2）函数在一点连续的等价表述： （a） ， ， 。 （b）若记自变量的增量 ， 应变量的增量 ，则
（3）函数在一点左、右连续的定义：若limf(x)=f(x），则称f(x）在x=x。点左连续；x-xo若lim f(x)=f(x），则称f(x）在x→xoX=X点右连续；左、右连续统称为单侧连续。易见，函数f(x）在x=x处连续当且仅当f(x）在x=x.处处既左连续又右连续
（ 3）函数在一点左、右连续的定义： 左、右连续统称为单侧连续。 若 ，则称 在 点左连续； 易见，函数 在 处连续当且仅当 在 处 若 ，则称 在 点右连续； 处既左连续又右连续
.2n+11+"+ax，求常数a，使得f(x)x?例设函数f(x）=limx2n +1n-α在x=1点处连续。解关键：1、自变量过程是n→0。2、根据函数定义，给定x，需确定x的函数值f(x），换言之，在计算极限时，x看作定值
解 例 设函数 ，求常数 ，使得 在 点处连续。 关键：1、自变量过程是 。 2、根据函数定义，给定 ，需确定 的函数值 ， 换言之，在计算极限时， 看作定值
xEQX.练习仅在一点连续的函数：f(x)=-x, xeRIQ解
解 练习 仅在一点连续的函数：
（4）函数在区间上连续的定义：若函数f（x）在区间I的内部点点连续在I的端点处单侧连续（若此端点属于I的话）则称f(x）在区间I上是连续的，记作f(x)EC(I）
（4）函数在区间上连续的定义： 若函数 在区间 的内部点点连续， 则称 在区间 上是连续的，记作 。 在 的端点处单侧连续（若此端点属于 的话）
函数的间断性（1）函数在一点间断的定义：设函数f(x）在某个U°(xo,）中有定义。若连续性中的三条至少有一不满足，即limf(x)不存在f(x）在x=x。点无定义x-xo=0
函数的间断性 （1）函数在一点间断的定义： 不存在 设函数 在某个 中有定义。 若连续性中的三条至少有一不满足，即： 在 点无定义
lim f(x) ± f(x)x→xXo-2o=则称x=x。是f(x）的间断点，也称f(x）在x=x。处间断
则称 是 的间断点，也称 在 处间断
若函数f(x）在x=x的某个右邻域[x，x+）中有定义，且lim f(x)≠f(x），则f(x）在x=X。处也间断。x-→xo例如，函数f(x)=(Vx+1)sgnx 的定义域为[0,+oo)，且lim f(x)=1≠f(0)=0，所以x=0 是(Vx+1)sgnx 的间断点。x0类似地，若函数f(x）在x=x。的某个左邻域（x一S,xl中有定义且lim f(x)±f(x)，则f(x)在x=x。处也间断。x-→xo
若函数 在 的某个右邻域 中有定义， 例如，函数 的定义域为 ， 类似地，若函数 在 的某个左邻域 中有定义， 且 ，则 在 处也间断。 且 ，则 在 处也间断。 且 ，所以 是 的间断点