第一章预备知识一一集合不等式
第一章 预备知识 ―—集合 不等式
集合·常用集合及其符号：（1）实数集R，正实数集R+=(x：x>0,xER)，负实数集R（2）有理数集Q，正有理数集Q，负有理数集Q；整数集Z，正整数集Z+，负整数集Z。（3）区间：开区间、闭区间、半开闭区间：有限区间、无限区间
集合 • 常用集合及其符号： （1）实数集 ，正实数集 ，负实数集 ； （2）有理数集 ，正有理数集 ，负有理数集 ； 整数集 ，正整数集 ，负整数集 。 （3）区间： 开区间、闭区间、半开闭区间；有限区间、无限区间
(4）邻域：(a)X。 的 S- 邻域， 记号U(xo,8) : U(xo,)=(x:|x-x,8) 。一x+oxx-8xo(b)x。的邻域，记号U(x）：存在>0，使得U(x)=U(x,)。(c)x 的s-去心邻域， 记号U°(x,):U(x,8)=(x:00，使得U(x)=U°(x,S）
（4）邻域： （a） 的 邻域，记号 ： 。 （b） 的邻域，记号 ：存在 ，使得 。 （c） 的 去心邻域，记号 ： 。 （d） 的去心邻域，记号 ：存在 ，使得
(e)x 的-左邻域:x:x-<x≤x)。-xx.-8X.(f)x的-右邻域：(x:x≤x<x+8)。(g)X。的s-左去心邻域：(x:x。-8<x<x),X。的s-右去心邻域：(x:x。<x<x。+S}。思考：X。的左邻域、右邻域、左去心邻域、右去心邻域该怎么定义？
（e） 的 左邻域： 。 （f） 的 右邻域： 。 （g） 的 左去心邻域： ， 的 右去心邻域： 。 思考： 的左邻域、右邻域、左去心邻域、右去心邻域该怎么定义？
·数集和数集的界：（1）数集：实数集的子集称为数集。（2）非空数集E是有界集的定义：若存在实数M使得VxEE，Ix飞M，则称数集E是有界集而M称为是E的一个界。（不等式中的等号是否成立不是必须的）易见，若E是有界集，则它的界不唯一。思考：无界集该怎么定义？
• 数集和数集的界： （1）数集：实数集的子集称为数集。 （2）非空数集 是有界集的定义： 若存在实数 使得 ， ，则称数集 是有界集， 而 称为是 的一个界。（不等式中的等号是否成立不是必须的） 易见，若 是有界集，则它的界不唯一。 思考：无界集该怎么定义？
（3）非空数集E是有上界集：若存在实数M使得VxEE，x≤M，则称数集E是有上界集，而M称为是E的一个上界。同样地，若E是有上界集，则它的上界不唯一。类似可定义非空数集是有下界集以及数集的下界。定理：非空数集E是有界集当且仅当E既是有上界集又是有下界集
类似可定义非空数集是有下界集以及数集的下界。 （3）非空数集 是有上界集： 若存在实数 使得 ， ，则称数集 是有上界集， 而 称为是 的一个上界。 同样地，若 是有上界集，则它的上界不唯一。 定理：非空数集 是有界集当且仅当 既是有上界集又是有下界集
（4）非空有上界集E的上确界的定义：若实数α满足：（a）VxEE，x≤α，即α是E的一个上界(b）若β是E的一个上界，则β≥α：那么称α是E的上确界，记为supE=α。注：若E不存在上界，则记supE=+oo。类似可定义有下界集E的下确界，下确界用infE表示
（4）非空有上界集 的上确界的定义： 若实数 满足： （b）若 是 的一个上界，则 ， （a） ， ，即 是 的一个上界； 那么称 是 的上确界，记为 。 注：若 不存在上界，则记 。 类似可定义有下界集 的下确界，下确界用 表示
例若非空数集E有上（下）确界，则上（下）确界唯一
例 若非空数集 有上（下）确界，则上（下）确界唯一
（5）确界存在定理：（本教材基点）若我们承认实数集的连续性，即：每个实数都是数轴上的一个点，且数轴上的每个点也是一个实数，那么就可以证明确界存在定理：若非空数集E有上界，则E有上确界：若E有下界，则E有下确界
（5）确界存在定理：（本教材基点） 若我们承认实数集的连续性，即： 那么就可以证明确界存在定理： 每个实数都是数轴上的一个点，且数轴上的每个点也是一个实数， 若非空数集 有上界，则 有上确界；若 有下界，则 有下确界
2n的上、下确界。例求数集E：2n+111解是E 的一个下界；又因为二EE，任何大于的数易见，2221都不是E的下界，所以inf E2易见，1是E的一个上界。反证法（以后会常用）。基于定义的证明。n1 取α←1-α>设αα，所以不是E的上界。+1，则non +1-α
解 例 求数集 的上、下确界。 易见， 是 的一个下界；又因为 ，任何大于 的数 都不是 的下界，所以 ； 易见， 是 的一个上界。反证法（以后会常用）。基于定义的证明。 设 。由于 ，取 ，则 ，所以 不是 的上界