第七章线性变换上一章，我们讨论了线性空间及其结构.本章将从变换的观点讨论线性空间的进一步性质。如无特别声明，本章所考虑的线性空间都是固定数域P上的线性空间.sS1线性变换的定义教学目的掌握线性变换的定义和简单性质重点线性变换的定义难点线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组教学过程一、线性变换的定义线性空间V到自身的映射称为V的一个变换定义1线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域P中任意数k，都有A(α+β)=A(α)+A(β);(1)A(kα)=Ak(α).一般用花体拉丁字母A，B，..表示V的线性变换，A（α）或Aα代表元素α在变换A下的像，定义中等式（1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转9角，就是一个线性变换，用9。表示.如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是(x,y)，那么像9。（α)的坐标，即α旋转0角之后的坐标(x,y)是按照公式
第七章 线性变换 上一章,我们讨论了线性空间及其结构.本章将从变换的观点讨论线性 空间的进一步性质. 如无特别声明,本章所考虑的线性空间都是固定数域 上的线性空间. §1 线性变换的定义 教学目的 掌握线性变换的定义和简单性质. 重 点 线性变换的定义. 难 点 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组. 教学过程 一、线性变换的定义 线性空间 V 到自身的映射称为 V 的一个变换. 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于 V 中任 意的元素 , 和数域 P 中任意数 k ，都有 A ( + )=A ( )+A ( ); A( k )=A k ( ). （1） 一般用花体拉丁字母 A，B，.表示 V 的线性变换，A ( )或 A 代表元素 在变换 A 下的像. 定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与 数量乘法. 例 1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原 点按反时钟方向旋转 角，就是一个线性变换，用 ℐ 表示.如果平面上一个 向量 在直角坐标系下的坐标是 (x, y) ，那么像 ℐ ( )的坐标，即 旋转 角之后的坐标 (x , y ) 是按照公式 P
0 -sinosincoso来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换例2设α是几何空间中一固定非零向量，把每个向量变到它在α上的内射影的变换也是一个线性变换，以Ⅱ。表示它.用公式表示就是(α,)IIa(5)=,α(α,α)这里(α,5),(α,α)表示内积例3线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，即E(α)=α(αeV)以及零变换0，即0(α)=0 (αeV)都是线性变换例4设V是数域P上的线性空间，k是P中的某个数，定义V的变换如下：α→kα,αEV.这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示.显然当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换例5在线性空间P[x]或者P[x],中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用①代表，即D (f(x)) =f'(x)例6定义在闭区间[a,b上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表.在这个空间中变换g (f(x)) =f" f(t)dt
− = y x y x sin cos cos sin . 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 例 2 设 是几何空间中一固定非零向量，把每个向量 变到它在 上 的内射影的变换也是一个线性变换，以 表示它.用公式表示就是 ( , ) ( , ) ( ) = . 这里 (, ),(,) 表示内积. 例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E，即 E () = ( V ) 以及零变换 ℴ，即 ℴ () = 0 ( V) 都是线性变换. 例 4 设 V 是数域 P 上的线性空间， k 是 P 中的某个数，定义 V 的变换 如下： → k , V . 这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用 K 表示.显然当 k =1 时，便得恒等变换，当 k = 0 时，便得零变换. 例 5 在线性空间 P[x] 或者 n P[x] 中，求微商是一个线性变换.这个变换 通常用 D 代表，即 D（ f (x) ）= f (x) . 例 6 定义在闭区间 a,b 上的全体连续函数组成实数域上一线性空间， 以 C(a,b) 代表.在这个空间中变换 ℐ（ f (x) ）= x a f (t)dt
是一线性变换二、线性变换的简单性质：1.设A是V的线性变换，则A(O)=0，A(-α)=-A(α).2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果β是αα2α,的线性组合：β=k,α, +k,α, +...+k,α,,那么经过线性变换A之后，A（β)是A(α,)A(α,),..,A(α,)同样的线性组合：A(β)=k,A(α))+k,A(α,)+...+ k,A(α,)又如果αi,αz,α,之间有一线性关系式ka, +kα,+...+k,a,=0那么它们的像之间也有同样的关系式kA(α,)+k2A(α,)+...+k,A(α,)=03.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组
是一线性变换. 二、线性变换的简单性质： 1. 设 A 是 V 的线性变换，则 A (0)=0, A (− )=-A ( ). 2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果 是 r , , , 1 2 的线性组合： r r = k11 + k22 ++ k , 那么经过线性变换 A 之后，A ( )是 A ( 1 ),A ( 2 ),., A ( r )同样的线性组 合： A ( )= 1 k A ( 1 )+ 2 k A ( 2 )+.+ r k A ( r ) 又如果 r , , , 1 2 之间有一线性关系式 k11 + k22 ++ krr = 0 那么它们的像之间也有同样的关系式 1 k A ( 1 )+ 2 k A ( 2 )+.+ r k A ( r )=0. 3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组
S2线性变换的运算教学目的掌握线性变换的加法，乘法，数乘，逆和多项式重 点线性变换的乘法，逆难点线性变换的多项式教学过程一、线性变换的乘法设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为(αeV).(AB)(α)= A(B (α ))则线性变换的乘积也是线性变换线性变换的乘法适合结合律，即(AB)C=A(BC)但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换D (f(x)) = f'(x) (f(x)) =f, ()dt的乘积D9=，但一般9D对于任意线性变换A，都有AC=&A =A.二、线性变换的加法设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和A+B为(αeV).(A+B)(α)= A (α)+B (α)则线性变换的和还是线性变换，线性变换的加法适合结合律与交换律，即
§2 线性变换的运算 教学目的 掌握线性变换的加法，乘法，数乘，逆和多项式. 重 点 线性变换的乘法，逆. 难 点 线性变换的多项式. 教学过程 一、线性变换的乘法 设 A,B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的乘积为. (AB)( )= A,(B ( )) ( V ). 则线性变换的乘积也是线性变换. 线性变换的乘法适合结合律，即 (AB)C=A(BC). 但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变 换 D（ f (x) ）= f (x) . ℐ（ f (x) ）= x a f (t)dt 的乘积 D ℐ=ℰ，但一般 ℐD≠ℰ. 对于任意线性变换 A，都有 Aℰ=ℰA = A. 二、线性变换的加法 设 A,B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的和 A+B 为 (A+B)( )= A ( )+B ( ) ( V ). 则线性变换的和还是线性变换. 线性变换的加法适合结合律与交换律，即
A+(B+C)=(A+B)+C.A+B=B+A.对于加法，零变换0与所有线性变换A的和仍等于A：A+0=A.对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A)：(αeV).(-A)(α)=- A (α)则负变换（-A）也是线性变换，且A+ (-A) =0.线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA.三、线性变换的数量乘法数域P中的数与线性变换A的数量乘法定义为kA=KA即kA(α)=K(A(α))=KA (α),当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：()A=k (IA),(k + I) A= k A+I A,k(A+B)= k A+ k B,1A=A.线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间
A+(B+C)=(A+B)+C. A+B=B+A. 对于加法，零变换 ℴ 与所有线性变换 A 的和仍等于 A： A+ℴ=A. 对于每个线性变换 A，可以定义它的负变换（-A）： (-A)( )=- A ( ) ( V ). 则负变换（-A）也是线性变换，且 A+（-A）=ℴ. 线性变换的乘法对加法有左右分配律，即 A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA. 三、线性变换的数量乘法 数域 P 中的数与线性变换 A 的数量乘法定义为 k A =KA 即 k A( )=K(A ( ))=KA ( ), 当然 A 还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律： (kl) A= k ( l A), (k + l) A= k A+ l A, k (A+B)= k A+ k B, 1A=A. 线性空间 V 上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间
V的变换A称为可逆的，如果有V的变换B存在，使AB=BA=E这时，变换B称为A的逆变换，记为A-.如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A-也是线性变换既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当n个（n是正整数线性变换A相乘时，就可以用阶AA...A来表示，称为A的n次幂，简记为A”.作为定义，令A°= E.根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：Am+n=A"A",(A")"=Am"(m,n≥O)当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为A-"=(A-")"(n是正整数)值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来(AB)" + A" B".设f(x)=amx" +am-ixm- +...+ao是P[x]中一多项式，A是V的一个线性变换，定义fa)=amA"+am--Am-l+..+aE显然f（A)是一线性变换，它称为线性变换A的多项式不难验证，如果在P[x]中
V 的变换 A 称为可逆的，如果有 V 的变换 B 存在，使 AB=BA=E. 这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A −1 .如果线性变换 A 是可逆的，那么 它的逆变换 A −1 也是线性变换. 既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换 A 重复相乘时， 其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当 n 个（ n 是正整数） 线性变换 A 相乘时，就可以用 n个 AA A 来表示，称为 A 的 n 次幂，简记为 A n .作为定义，令 A 0= E. 根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则： A m+n =A m A n ,(A m ) n =A m n (m, n 0) 当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为 A −n =(A −1 ) n ( n 是正整数). 值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来 (AB) n A n B n . 设 0 1 1 f (x) a x a x a m m m = m + + + − − 是 P[x] 中一多项式，A 是 V 的一个线性变换，定义 f (A)= m a A m + am−1 A m−1 +.+ 0 a E 显然 f (A)是一线性变换，它称为线性变换 A 的多项式. 不难验证，如果在 P[x] 中
h(x)= f(x)+g(x) ,p(x)= f(x)g(x),那么h(A)= f (A)+g (A), p (A)=f (A) g (A)特别地，f (A) g(A)=g (A) f (A).即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的例1在三维几何空间中，对于某一向量α的内射影Ⅱ是一个线性变换．ⅡI，可以用下面的公式来表示：(α,5)Ia(5)=(α,α)其中(α,5),(α,α)表示向量的内积.从图2不难看出，在以α为法向量的平面x上的内射影Ⅱ（）可以用公式()=5-1(5)表示.因此II, =&-I..这里是恒等变换对于平面x的反射R，也是一个线性变换，它的像由公式R (5)=5-21la(5)给出.因此R,=&-2llα:设α,β是空间的两个向量.显然，α与β互相垂直的充要条件为II=0
h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x)g(x), 那么 h (A)= f ( A)+ g ( A), p (A)= f ( A) g ( A). 特别地， f (A) g ( A)= g ( A) f ( A). 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的. 例 1 在三维几何空间中，对于某一向量 的内射影 是一个线性变 换. 可以用下面的公式来表示： ( , ) ( , ) ( ) = . 其中 (, ),(,) 表示向量的内积. 从图 2 不难看出， 在以 为法向量的平面 x 上的内射影 ( ) x 可以用 公式 ( ) ( ) x = − 表示.因此 x = ℰ- . 这里 ℰ 是恒等变换. 对于平面 x 的反射 ℛ x 也是一个线性变换，它的像由公式 ℛ ( ) 2 ( ) x = − 给出.因此 ℛ x =ℰ-2 . 设 , 是空间的两个向量.显然， 与 互相垂直的充要条件为 = ℴ
例2在线性空间P[a],中，求微商是一个线性变换，用の表示.显然有D"=0.其次，变换的平移aepf(a)-→f(a+a)也是一个线性变换，用9。表示.根据泰勒展开式α?a(n-l (2);f(a+a)= f(a)+af'(a)+ f"(a)+...21(n-1)因之9，实质上是4的多项式：q9,=t+aD+%D"-ID?++2!(n- 1)!
例 2 在线性空间 P n [] 中，求微商是一个线性变换，用 D 表示.显然有 D = n ℴ. 其次，变换的平移 f () → f ( + a) a P 也是一个线性变换，用 ℐ a 表示.根据泰勒展开式 ( ) ( 1)! ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 1 − − − + = + + + + n n f n a f a f a f af , 因之 ℐ a 实质上是℄的多项式： ℐ a =ℰ+ a D+ 2! 2 a D 2 +.+ ( 1)! 1 − − n a n D n−1
83线性变换和矩阵教学目的熟练掌握线性变换和矩阵的关系，掌握相似矩阵的定义和简单性质。重点难点线性变换和矩阵的关系教学过程一、线性变换关于基的矩阵设V是数域P上n维线性空间.j,62,,8,V的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系空间V中任意一个向量可以被基，626,线性表出，即有关系式(1)5=X6+X26+.+Xen其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像A与基的像A8,A62，A8,之间也必然有相同的关系：AE=A(Xe+Xe2+...+X,on)(2) =x,A(s)+X,A(s,)++x,A(s,)上式表明，如果知道了基8,62，,6,的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说1．设8,62，,6,是线性空间V的一组基，如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即A6,=B6,,i=1,2,.,n那么A=B结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
§3 线性变换和矩阵 教学目的 熟练掌握线性变换和矩阵的关系，掌握相似矩阵的定义和简单 性质。 重点难点 线性变换和矩阵的关系 教学过程 一、线性变换关于基的矩阵 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间. n , , , 1 2 V 的一组基，现在建立线性 变换与矩阵关系. 空间 V 中任意一个向量 可以被基 n , , , 1 2 线性表出，即有关系式 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的坐标.由于线性变换保持 线性关系不变，因而在 的像 A 与基的像 A 1 ,A 2 ,.，A n 之间也必然有 相同的关系： A =A（ n n x + x ++ x 1 1 2 2 ） = 1 x A( 1 )+ 2 x A( 2 )+.+ n x A ( n ) (2) 上式表明，如果知道了基 n , , , 1 2 的像，那么线性空间中任意一个向 量 的像也就知道了，或者说 1. 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基，如果线性变换 Å 与 ℬ 在这 组基上的作用相同，即 A i =B i ， i = 1, 2 , ,n , 那么 A= B. 结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定. 下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2．设61,62…5,是线性空间V的一组基，对于任意一组向量α,α2",α一定有一个线性变换A使A8,=α,i=1,2,.,n.定理1设,62是线性空间的一组基，α,α2…α,是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换A使As,=α,i=1,2,,n.定义2设8,62，,8,是数域P上n维线性空间V的一组基，A是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：A8=a6+a212+..+anenA82=a26+a2282+...+an6n,As,=ainG+a2n,++amen用矩阵表示就是A (81,62,",8,) =(A(8), A(6,), ,A(8,))(5)=(81,82,..,8.)A其中aai2...ama21a22.a2nA=anam..am矩阵A称为线性变换A在基8,8,6下的矩阵例1设6j,62,,m是n(n>m)维线性空间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基6，62，,8,指定线性变换A如下A8, =8,,i=1,2,..,m[As, =0,i=m+1,,n.如此确定的线性变换A称为子空间W的一个投影不难证明
2. 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基，对于任意一组向量 n , , , 1 2 一定有一个线性变换 Å 使 A i = i i = 1, 2 , ,n . 定理 1 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基， n , , , 1 2 是 V 中任意 n 个向量.存在唯一的线性变换 Å 使 A i = i i = 1, 2 , ,n . 定义 2 设 n , , , 1 2 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，A 是 V 中 的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： = + + + = + + + = + + + . , , 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 n n n nn n n n n n A a a a A a a a A a a a 用矩阵表示就是 A（ n , , , 1 2 ）=（A( 1 )，A( 2 )，.， A( n )） = ( 1 , 2 , , n )A (5) 其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 矩阵 A 称为线性变换 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵. 例 1 设 m , , , 1 2 是 n (n m) 维线性空间 V 的子空间 W 的一组基， 把它扩充为 V 的一组基 n , , , 1 2 .指定线性变换 A 如下 = = + = = 0 , 1, , . , 1 ,2 , , , A i m n A i m i i i 如此确定的线性变换 A 称为子空间 W 的一个投影.不难证明