n/ n / Stokes úª T©/ª §11.7 ©/ªÈ©ÚT©/ª 11.7.1 nm©/ªÈ© 1. k« D ⊂ R3 , ëYþ| F~ = (P, Q, R) : D → R3 . q L ⊂ D ´^k1w, Ùëê§ ~r = ~r(t), α 6 t 6 β, ¿ ëê O\ L , Kk ✂ L P dx + Qdy + Rdz = ✂ L F~ · d~r = ✂ β α (F~ ◦ ~r) · ~r0 (t) dt. P ω = P dx + Qdy + Rdz, §´½Â3 D þg©/ª. þª ±¤ ✂ L ω = ✂ β α (F~ ◦ ~r) · ~r0 (t) dt. (11.1) 1/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
n/ n / Stokes úª T©/ª 2. k« V ⊂ R3 , ëYþ| F~ = (P, Q, R) : V → R3 . q S ⊂ V ´¡k1w¡, Ùëê§ ~r = ~r(u, v), (u, v) ∈ D, ¿ ë êO\ S N, Kk ☎ S P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = ☎ S F~ · ~ndS = ☎ D P ∂(y, z) ∂(u, v) + Q ∂(z, x) ∂(u, v) + R ∂(x, y) ∂(u, v) dudv. P ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, §´½Â3 V þg©/ª. þ¡È©±¤ ✂ S ω = ☎ D P ◦ ~r ∂(y, z) ∂(u, v) + Q ◦ ~r ∂(z, x) ∂(u, v) + R ◦ ~r ∂(x, y) ∂(u, v) dudv. (11.2) 2/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
n/ n / Stokes úª T©/ª 3. k« V ⊂ R3 , ëY¼ê P : V → R3 . q Ω ⊂ V ´ V ¥k áN (NL¡{ ), Ùëê§ ~r = ~r(u, v, w), (u, v, w) ∈ D, ¿ ëêO\ Ω N, Kk ✝ Ω P dx ∧ dy ∧ dz = ✝ D P ◦ ~r ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) dudvdw. P ω = P dx ∧ dy ∧ dz, §´½Â3 V þng©/ª. þ¡È©±¤ ✂ Ω ω = ✝ D P ◦ ~r ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) dudvdw. (11.3) 3/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
n/ n / Stokes úª T©/ª 11.7.2 n m©/ªÈ© 3 n m Rn ¥, Pþ x = (x1, x2, · · · , xn), ¡ X i1,··· ,ip ai1,··· ,ip (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxip (11.4) p g©/ª, ai1,··· ,ip (x) ´ n ¼ê, IÒ i1, · · · , ip ¥zÑ Õá/l 1 n. þª±{P X I aI(x)dxI, (11.5) ùp I = (i1, · · · , ip) §z©þl 1 n. ½ dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi dxi ∧ dxi = 0. (11.6) 4/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
n/ n / Stokes úª T©/ª Ïd, (1) ±¤ ω = Xai1,··· ,ip (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxip (11.7) ùp¦Ú´é·Ü^ 1 6 i1 < i2 < · · · < ip 6 n I?1. Rn ¥ p ¡ S këêL« Φ : x1 = x1(u1, · · · , up) · · · · · · xn = xn(u1, · · · , up) Ù¥ u = (u1, · · · , up) ∈ E ⊂ Rp , E ¡ S ëê, ¿ xi = xi(u1, · · · , up) (i = 1, · · · , n) k ëY ê. ¤± S Ò´l E ⊂ Rp → Rn C1 þ¼ê. 5/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
n/ n / Stokes úª T©/ª ω ´ (4) ¥ p g©/ª: ω = Xai1,··· ,ip (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxip . ½Â ω 3 S þÈ© ✂ S ω = ✂ E X i1,··· ,ip ai1,··· ,ip (Φ(u)) ∂(xi1 , · · · , xip ) ∂(u1, · · · , up) du1 · · · dup (11.8) §´ E þ p È©. p ©O 1, 2 Ú 3 , ·Ò1.È©, 1.¡È© Oúª, ÚnÈ©úª. 6/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
n/ n / Stokes úª T©/ª 11.7.3 Stokes úª/ª ek L ´m« V ¥k¡ S >., =, L = ∂S, ω = P dx + Qdy + Rdz ´ V þ1wg©/ª, Kâ Stokes úª, k ☞ ∂S P dx + Qdy + Rdz = ☎ S ∂R ∂y − ∂Q ∂z dy ∧ dz+ ∂P ∂z − ∂R ∂x dz ∧ dx + ∂Q ∂x − ∂P ∂y dx ∧ dy, ù±¤ ☞ ∂S ω = ☎ Ω dω. 7/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
n/ n / Stokes úª T©/ª ek¡ S ´m« V ¥káN Ω >., =, S = ∂Ω, ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ´ V þ1wg©/ª, Kâ Gauss úª, k ✍ ∂Ω P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = ✝ Ω ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂Z dx ∧ dy ∧ dz. ù±¤ ✍ ∂Ω ω = ✝ Ω dω. 3 n m¥, ·kXe Stokes úª: ✂ ∂Ω ω = ✂ Ω dω, (11.9) ùp ω ´ p g©/ª, Ω ´ p + 1 (p 6 n − 1) ¡. 8/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
n/ n / Stokes úª T©/ª 11.7.4 T©/ª p g (p > 1) ©/ª ω ¡T©/ª (½ ©/ª), e3 p − 1 g©/ª θ, ¦ ω = dθ, =, T©/ª´,©/ª ©. â Poincar´e Ún, ©/ªüg ©$¤", Ïd, ω T ©/ª7^´: dω = 0. 3nm¥, g©/ª ω = P dx + Qdy + Rdz ´Ä´T ©/ª, duþ| F = (P, Q, R) ´Äk³¼ê; g©/ª ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ´Ä´T©/ª, duþ | F = (P, Q, R) ´Äkþ³. lþ!?Ø, ©/ª´Ä´T©/ª¯Kþ|¤ 3m(k', ¿ØU=l7^ dω = 0 5ä. 9/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
n/ n / Stokes úª T©/ª 3 xy ²¡þ, e©/ª ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy ´T, K¡©§ P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (11.10) ¡ ©§. d3³¼ê ϕ(x, y), ¦ dϕ = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Ïdþ¡§Ò´ dϕ = 0. , §)´ ϕ(x, y) = C, Ù¥ C ´?¿~ê. P, Q 3«¥1w, ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 0 , §ÏÈ ©Ò´ ✂ (x,y) (x0,y0) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = C. 10/14 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ